Καποιες νύξεις για το Δ Δ1 Bolzano στην $h(x)=g(x)+x$ στο $[-1,0]$ για ύπαρξη και συνέχεια σε συνδυασμό με μη μηδενισμό της $(g(x)+x)'$ για διατήρηση προσήμου της άρα $g(x)+x$ γνήσια μονότονη στο $[-1,0]$ οπότε μοναδική η ρίζα της στο $(-1,0).$ Δ2. $\displaystyle \lim_{X \to 0^{-}}\frac{f\left ( x \...

Ισότητα τμημάτων.png Προεκτείνουμε την ημιευθεία $NT$ για να τμήσει τον κύκλο $\gamma _2$ ξανά στο $M.$ $\displaystyle \angle NMO\overset{M\in \gamma _2}=\angle TSO\overset{\left ( \chi o\varrho \delta \eta \varsigma -\epsilon \phi \alpha \pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta \varsigma \gamma _2 \right )...

Πρώτη λύση :) Ισογώνιες από παραλληλία.png $\bullet$ Είναι $\displaystyle \begin{Bmatrix} \angle FEY\overset{\left ( XY \overset{\left ( \varrho \iota \zeta \iota \kappa o\varsigma \alpha \xi o\nu \alpha \varsigma \right )}\perp BC\parallel EF \right )}=90^\circ-\angle EYX\overset{\left ( \alpha \k...

Βάζω μία από τις λύσεις μου :) :) Καθετότητα από ομοιότητα!.png $\displaystyle \begin{Bmatrix} \vartriangle KFB\sim \vartriangle EFX\Rightarrow \displaystyle \frac{KF}{FX} =\frac{BF}{FE}& & \\\vartriangle ECL\sim \vartriangle EFX\Rightarrow \displaystyle \frac{EX}{EL}=\frac{EF}{EC} & & \\\angle KFX...

Συντρέχεια AE,BD,KP..png $\bullet$ Έστω $W\equiv IF\cap KB,N\equiv IG\cap KA,S\equiv AE\cap BD.$ Είναι $\angle IEF=\angle \frac{A}{2}=\angle IAF,$ και $\angle IDG=\angle \frac{B}{2}=\angle IBG,$ άρα τα τετράπλευρα $AEFI,BDGI$ είναι εγγράψιμα και από Θεώρημα Reim $IF \parallel BC,$ και $IG \parallel...

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με τις διχοτόμους των $\angle A, \angle B$ να επανατέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\gamma$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα και τα σημεία $G\equiv DE \cap BC,F \equiv DE \cap AC.$ Η εκ του $G$ παράλληλη στην $BE$ τέμνει την εκ του $F$ παράλληλη στην $AD,$ στο σημείο ...

Παράλληλος ευθεία.....png $\bullet$ Έστω $Q\equiv AM\cap BC,Q''\equiv AN\cap BC,Y\equiv KC \cap HM,T\equiv AC \cap HM.$ Είναι $\displaystyle \frac{NE}{HY}\overset{HY \parallel EN}=\frac{EK}{HK}\overset{\left ( \Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle AEH \right )}=\frac{AE}{AH}\o...

Βάζω και τη δεύτερη λύση μου :) :) GH=GY Δεύτερη λύση μου!!!.png $\bullet$ Έστω $Q\equiv FE\cap BC,J\equiv \left ( AHD \right )\cap \left ( ABC \right )\left ( J\not\equiv A \right ),L\equiv \left ( I,IH \right )\cap QH\left ( L\not\equiv H \right ),$ $Q_{2}\equiv \left ( I,IJ \right )\cap QJ\left ...

Σε τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας $BAC$ που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του τριγώνου στο σημείο $D$. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Στις πλευρές $AB$ και $AC$ θεωρούμε τα σημεία $B_{1}$ και $C_{1}$ αντίστοιχα, έτσι ώστε $BB_{1}=BD$ και $CC_{1}= CD$, και στην $AD$ σημε...

Δεύτερη λύση.png $\bullet$ Έστω $S\equiv QX\cap PC,J\equiv PX\cap QB,$ και $W,G$ τα συμμετρικά των $P,Q$ ως προς το $M.$ Αφού $\displaystyle \angle SQG\equiv \angle XQM=\angle BQM\overset{CG \parallel QB}=\angle CGQ\equiv \angle SGQ\overset{MQ=MG}\Rightarrow \vartriangle SMG\sim \vartriangle QMB$ $...

Μια νέα καθετότητα!!.png $\bullet$ $\left ( \ast \ast \right ):$ https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=178&t=79284&p=381994#p381994 Έστω $T\equiv \left ( R,RC \right )\cap \left ( M,MC \right )\left ( T\not\equiv C \right ).$ Είναι $\displaystyle \frac{\sin \angle QSM}{\sin \angle RSM}=\frac...

Καθετότητα ......png Είναι $\displaystyle \frac{QT}{QS}\cdot \frac{XB}{XT}\cdot \frac{MS}{MB}\overset{\left ( \Theta .M\epsilon \nu \epsilon \lambda \alpha o\upsilon \vartriangle BTS \delta \iota \alpha \tau \epsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \overline{QXM} \right )}=1\overset{MS=MB}\Rightarr...

Συντρέχεια κύκλων σε ευθεία η λύση μου !!.png $\bullet$ Έστω $J\equiv FP\cap AM,Q_{1}\equiv EP\cap AM,R_{1}\equiv EF\cap AM,Y\equiv \left ( c_{1} \right )\cap \overline{AHM}\left ( Y\not\equiv H \right ),$ $PN\perp \overline{AHM}\left ( N\in AM \right ).$ Είναι $\displaystyle \begin{Bmatrix} \angle...

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{\gcd\left ( n,k \right )}=\sum_{k=1}^{\prod_{j=1}^{m}p_{j}^{a_{j}}}\left(\frac{1}{\gcd \left ( n,k \right )}\prod_{j=1}^{m}p_{j}^{a_{j}}\right)=\sum_{d|n}^{}d\phi \left ( d \right )=\prod_{1\leqslant j\leqslant m}^{}\frac{p_{j}^{2a_{j}+1}+1}{p_{j}+1},$ λόγω της ...

Εμβόλιμα ερωτήματα Σωτήρη.png $\bullet$ Έστω το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $O\left ( 0,0 \right ),B\left ( -q,0 \right ),C\left ( q,0 \right ),A \left ( p,r \right ),X\left ( d,f \right ),Y\left ( w,z \right ).$ Οι ευθείες $DY_{1}\cap XC\cap BY\equiv S',$ άρα από Θεώρημα Desargues τα τρίγων...

Βέβαια επιτρέπω και είναι και πολύ όμορφο που παραθέσατε αυτές τις πληροφορίες για να τις βλέπουν και οι μαθητές . Να ξεκαθαρίσουμε ότι προφανώς αυτές οι πληροφορίες δε βοηθούν στο συγκεκριμένο πρόβλημα ως ολότητα.

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με διχοτόμους $AD,BE,CF$ που τέμνονται στο σημείο $I,H$ το $A-$ Humpty σημείο του $\vartriangle ABC,$ $G$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $IDHG.$ Η ευθεία $AH$ επανατέμνει τον κύκλο $(AEF)$ στο σημείο $X,$ και έστω $P$ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $EXFP...

Ομοκυκλικότητες..png $\displaystyle \angle CAN\overset{M\in \left ( O_1 \right )}=\angle CMN\overset{M\in \left ( O_2 \right )}=180^\circ-\angle NBD=\angle EBN\Rightarrow N\in \left ( AEB \right )\overset{AB \parallel CQ \left ( \Theta .\textrm{Reim} \right )}\Rightarrow $ $Q\in \left ( ECN \right ...

Κατ' αρχάς να πω ότι με τιμά ιδιαίτερα που ένα θέμα δικής μου κατασκευής άρεσε τόσο :) :) Σωτήρη στο τελευταίο ερώτημα σου πως ορίζεται το Y_{1};; :) (το τρίτο ερώτημα το απέδειξα παρεπιπτόντως στην ανάρτηση #4 :) ) Εμβόλιμα ερωτήματα Σωτήρη.png $\bullet$ Έστω $Q \equiv MN \cap BC, $ από τη λύση μο...

$\bullet$ Έστω $R\equiv \left ( BSY \right )\cap AS\left ( R\not\equiv S \right ),$ έχουμε $\displaystyle \begin{Bmatrix} \angle SRY\overset{SBRY \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle SBY=180^\circ-\angle XBY\Rightarrow \angle ARY=\angle XBY & \\ & \\\angle RAY\equiv \angle ...