Από το Α μέλος της ανίσωσης του επαγωγικού βήματος συνδυάζοντας την επαγωγική υπόθεση, έχουμε ότι: $\displaystyle{\sqrt{k} \frac{a_{k+1}}{\sqrt{1-a_{k+1}}} + \sqrt{k}\sum_{i=1}^{k}{\frac{a_{i}}{\sqrt{1-a_{i}}} \geq \sqrt{k}\frac{a_{k+1}}{\sqrt{1-a_{k+1}}}+\sqrt{k}\frac{\sum_{i=1}^{k}\sqrt{a_i}}{\sq...

Έστω μια ακολουθία από θετικούς πραγματικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε :

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty\frac{\cos\frac{\pi}2 \left(nx^2-\frac{y^2}n\right)\cos \pi xy}{\cosh \pi x\cosh \pi y}dxdy,~n\in\mathbb{N}\tag{1} }$ χρησιμοποιώντας τη θεωρία των υπολοίπων; Για παράδειγμα, όταν $n=3$ $\dis...

Ελπίζω να έκανα την ερώτηση στο σωστό μέρος Για $s\in \mathbb{C},\Re(s)>1 $, θεωρήστε: $\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n^{-ks}}= \prod_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\rho(m)}{m^{ks}}=\prod_{n=2}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{p(j)}{n^{js}} }$ Όπου $\rho(m...

Πάλι τα ίδια. Ζητώ συγνώμη από τους αναγνώστες αλλά θα χρησιμοποιήσω κατά παρέκκλιση αγγλική γλώσσα αφού τα ελληνικά είναι απρόσιτα στον αποδέκτη. Please allow me to repeat something I pointed out when replying your first posting on this forum: I do not understand why you registered at a forum whos...

Νομίζω ότι ξεφύγαμε. Τώρα βλέπουμε μία άσκηση που απευθύνεται ΜΟΝΟ σε μαθητές, αλλά περιέχει μιγαδικούς αριθμούς, απειροσειρές, απειρογινόμενα και προχωρημένη Θεωρία Αριθμών. Έλεος. Άσε που η διατύπωση της άσκησης δεν βγάζει νόημα. Θα παρακαλούσα τους Γενικούς Συντονιστές να επιληφθούν του θέματος ...

Για $s\in \mathbb{C},\Re(s)>1 $, θεωρήστε: $\displaystyle{\prod_{k=1}^{\infty}\prod_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1-n^{-ks}}= \prod_{k=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\rho(m)}{m^{ks}}=\prod_{n=2}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{p(j)}{n^{js}} }$ Όπου $\rho(m)$ είναι η συνάρτηση διαχωρισμού πολλαπλασια...

The $x_{n}$ is defined recursively for some $x_{0}$,$x_{1}$of the type$\displaystyle{\displaystyle{x_{n}=\frac{(n-1)c}{1+(n-1)c}x_{n-1}+\frac{1}{1+(n-1)c} x_{n-2}}}$, where $c>0$. Find it $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}x_{n}}.$ ( ΣΗΜ : Έγινε μεταφορά από τον φάκελο της Α Γυμνασίου, στον οποίο το ...

Συγγνώμη σε όλους για την ανάρμοστη συμπεριφορά μου, και αυτό δεν είναι πρόβλημα διαγωνισμού και ήμουν ο αρχικός OP αυτής της ερώτησης

The $x_{n}$ is defined recursively for some $x_{0}$,$x_{1}$of the type$\displaystyle{\displaystyle{x_{n}=\frac{(n-1)c}{1+(n-1)c}x_{n-1}+\frac{1}{1+(n-1)c} x_{n-2}}}$, where $c>0$. Find it $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}x_{n}}.$ ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ (από τον επιμελητή του φακέλου): Η άσκηση δεν αφορά αυτόν ...