Για το πρώτο : Έστω $\frac{xyz+1}{x+1}= \frac{yzw+1}{y+1}= \frac{zwx+1}{z+1}= \frac{wxy+1}{w +1} = k$ , για κάποιο $k > 0$ $xyz + 1 =kx + k \Rightarrow xyzw = w(kx + k - 1)$ Ομοίως, λάβαμε ότι $wf(x) = xf(y) = yf(z) = zf(w) = xyzw$ , με $f(x) = kx + k - 1$ Σαφώς $f(x) , f(y) , f(z) , f(w) > 0$ και η...

Πότε θα βγουν τα αποτελέσματα ? Υποτίθεται θα βγαίνανε χθες :lol: Από ότι έχω μάθει η διόρθωση των γραπτών έχει σχεδόν ολοκληρωθεί. Δεν είμαι σίγουρος γιατί "υποτίθεται" ότι θα βγαίνανε χθες. Καλό είναι να μην ακούτε φήμες. Λίγη υπομονή ακόμη... :) Το αστείο είναι ότι πιστέψαμε όλοι τον φιλο μας το...

Πότε θα βγουν τα αποτελέσματα ?
Υποτίθεται θα βγαίνανε χθες
Από ότι έχω μάθει η διόρθωση των γραπτών έχει σχεδόν ολοκληρωθεί.

Πρόβλημα 4: Σε $2023$ χαρτάκια γράψαμε τους αριθμούς $1, 2, 3, \ldots, 2023$ και τα τοποθετήσαμε σε ένα κουτί $A$. Σε $2023$ άλλα χαρτάκια γράψαμε τους αριθμούς $-1, -2, -3, \ldots, -2023$ και τα τοποθετήσαμε σε ένα κουτί $B$. Στην συνέχεια, παίρνουμε τυχαία κάθε φορά ένα χαρτάκι από το κουτί $A$ κ...

Kavousianos Ioannis έγραψε: ↑

Τρί Φεβ 21, 2023 8:05 pm

Ξέρετε μήπως αν υπάρχει κάποια πιθανότητα να βγουν τα αποτελέσματα απόψε?

Θα βγούν πιθανότατα την Πέμπτη ...

Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ? Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ? Καλημέρα! Δεν ξέρω πως γράψανε τα παιδιά διότι δεν έχω επαφές. Γενικά κατά τη γνώμη μου τα θέματα είναι καλά. Πιο συγκεκριμένα για τη δυσκολια των θεμάτων, κατά την ταπεινή μου άποψη, τα θέματ...

Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

Για το 2ο του Λυκείου : Καλησπέρα το $256$ δεν ικανοποιεί την εκφώνηση για $n=1$ δηλαδή είναι απαραίτητο τα ψηφια του αριθμού να είναι μόνο το 2 και το 5; Ναι, εστάλη συμπληρωματικλή οδηγία για αποφυγή παρεξηγήσεων. Τα μοναδικά ψηφία του αριθμού είναι το 2 και το 5. Στο ε.κ λάρισας που ήμουν εγώ, έ...

Για το 2ο του Λυκείου : Ο αριθμός $N$ δεν μπορεί να τελειώνει σε $2$ , διότι κανένα τέλειο τετράγωνο δεν τελειώνει σε $2$. Άρα $N = 222...25 = 20*\frac{10^n - 1}{9} + 5 = y^2 \Leftrightarrow 2^{n+2}5^{n+1} = a(a + 10)$ , με $a = 3y - 5$ Εύκολα $(a , a + 10) = 1 , 2 , 5 , 10$ Αν $(a , a + 10) = 1$ , ...

Πρόβλημα 2. Σε ένα πίνακα είναι αρχικά γραμμένος ο αριθμός $2$. Ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Σε κάθε βήμα, αν στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός $n$, τον σβήνουμε και στη θέση του γράφουμε έναν από τους αριθμούς $2n-2, 3n+3$ ή $n^2-2$. Να εξετάσετε αν μπορούμε μέσα από μια ακολουθία βημάτων ...

Αλλιώς το πρώτο πρόβλημα: με προκύπτει πως περιττός , ενώ αν , με προκύπτει πως άρτιος , άτοπο.
Άρα , που είναι δεκτή λύση διότι

Πρόβλημα 4. Δίνονται $100$ διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle 1 \leqslant a_1 < a_2 < \cdots <a_{100} \leqslant 400\,.$ Για $i = 1, 2, \ldots, 99$ ορίζουμε $d_i = a_{i+1} - a_i$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός $n$ τέτοιος ώστε, για τουλάχιστον $15$ διαφορετικές τιμές του $i$, ...

Για κάθε σημείο $S(x, y )$ του κύκλου με εξίσωση : $(x-6)^2+(y+2)^2=90$ , δείξτε ότι : $x^2+y^2\geq 10$ και $y\leq 3x+10 $ Αν $O$ η αρχή των αξόνων και $A(6 , -2)$ το κέντρο του παραπάνω κύκλου με ακτίνα $R = 3\sqrt{10}$ , τότε : $\sqrt{x^2 + y^2} \geq R - OA = 3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}= \sqrt{10} \L...

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a, \,b >1$ τέτοιοι ώστε για κάθε φυσικό $k$ να ισχύει $[a^k]=[b^k]$. Αποδείξτε ότι $a=b$. (Το $[.]$ δηλώνει ακέραιο μέρος.) Έστω πως $a \neq b$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας $a > b$ με $a - b = c \Leftrightarrow a = b + c$ Παρατηρούμε πως όταν $k \rightarrow \infty$ τότε...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022 2. Στη σειρά στέκονται $12$ ιππότες και $12$ αυλικοί (οι ιππότες λένε πάντα την αλήθεια και οι αυλικοί πάντα ψέματα). Ο καθένας τους αναφώνησε είτε την φράση «Αριστερά από μένα βρίσκονται άρτιος αριθ...

Υπόδειξη για το 3ο της Β λυκείου :

Αν , άτοπο.
Άρα κτλ

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ προς το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΔ = ΑΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Αˆ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: ∆Ζ = ⋅ ΖΓ 2 . Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο ...

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ προς το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΔ = ΑΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Αˆ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: ∆Ζ = ⋅ ΖΓ 2 . Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο ...

Για το 4ο της Γ λυκείου Αρκεί να αποδείξουμε ότι $f'(x) = g'(x)$ . $f(x) = g(x) \Leftrightarrow h(x) = 1 \Rightarrow h^2(x) = 1 \Leftrightarrow h'(x) = 0$ Αφού $g(x) = h(x)f(x)$ τότε $g'(x) = h'(x)f(x) + f'(x)h(x)$ Άρα για κάθε αριθμό $y$ ώστε $f(y) = g(y)$ , ισχύει επίσης ότι $h(y) = 1 , h'(y) = 0$...

Για το 1ο της Β Λυκείου. Για $n = 1$ έχουμε πως $5^2 + 3 - 1 = 27$ , το οποίο είναι πολλαπλάσιο του 9. Έστω ότι ισχύει για κάποιο $n = k , k \geq 1$ . Τότε για $n = k + 1$ έχουμε : $\displaystyle{A =5^{2n + 2} + 3(n + 1) - 1 = 25*5^{2n} + 3n + 3 - 1 }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow A =(24* 5^{2n} ...