Άσκηση 62 Από δυωνυμικό Ανάπτυγμα ή από το τρίγωνο του pascal(για μαθητες) ξέρουμε ότι $(x+y)^5=x^5+5x^4y+15x^3y^2+15x^2y^3+5xy^4+y^5$ ... Καλησπέρα. Αν και η ιδέα αυτή φυσικά οδηγεί σε λύση, οι δυωνυμικοί συντελεστές δεν είναι σωστοί. Έχετε δίκιο,γυρνάω από ταξίδι τώρα και είμαι από κινητό οπότε τ...

Άσκηση 62 Από δυωνυμικό Ανάπτυγμα ή από το τρίγωνο του pascal(για μαθητες) ξέρουμε ότι $(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$ $=x^5+y^5+5xy(x^3+y^3)+10x^2y^2(x+y)$ $=x^5+y^5+5xy((x+y)^3-3xy(x+y))+10x^2y^2(x+y)$ $=x^5+y^5+5xy(x+y)^3-5x^2y^2(x+y)$ Τώρα αν θέσουμε όπου $x=[x],y=\{x\},[x]+\{x\...

Άλλη μια λύση για το πρόβλημα 6 η οποία βέβαια χρησιμοποιεί την συνέχεια της παραγωγού(όπου γενικά δεν χρειαζοταν στο πρόβλημα) την οποία αναρτώ μόνο για λόγους πληρότητας Έστω $g(x)=f(x)-xf'(x)-k$ ($g$ συνεχής) $g(a)=-af'(a)$ $g(b)=-bf'(b)$ Αν $f'(a),f'(b)$ ετεροσημα έχουμε λύση Αλλιώς έστω(χωρίς β...

Καλησπέρα σας.Πρόσφατα άρχησα να σκέφτομαι την μελλοντική μου πορεία.Θελω από τα τέλη του 2ου έτους να μπω σε κάποιο ερευνητικό προγράμμα για προπτυχιακούς φοιτητές(REU) Στην Ελλάδα νομίζω δεν έχουμε τέτοια προγράμματα και το καλύτερο που μπορείς να κάνεις είναι να συμμετάσχεις σε ένα project ενός κ...

Άσκηση 26 Αφού πρώτα δείξετε την (γνωστή, άλλωστε) ταυτότητα $\displaystyle{1-\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{3}-\dfrac {1}{4}+...+ \dfrac {1}{2n-1} -\dfrac {1}{2n}=\dfrac {1}{n+1}+\dfrac {1}{n+2}+...+ \dfrac {1}{2n} }$ να συμπεράνετε με χρήση αθροισμάτων Riemann ότι $\displaystyle{1-\dfrac {1}{2}+\dfrac ...

Άσκηση 23 Έστω $a>1$. Να βρεθούν τα όρια 1)$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \left ( a^{\frac {1}{n} }+ a^{\frac {2}{n}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\right ) $ 2)$\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \dfrac {1}{n} \ln \left ( a^{\frac {n}{1} }+ a^{\frac {n}{2}}+ ...+ a^{\frac {n}{n} }\ri...

Άσκηση 138
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:




Σημείωση:Πρόκειται για ένα αρκετά γνωστό ολοκλήρωμα και δεν ξέρω αν έχει ξανααναφερθεί εδώ.

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:



Σημείωση: Αυτή η άσκηση είναι από τον διαγωνισμό Berkeley Math Tournament του 2024

$x^8-x^5+x^2-x+1=x[x^4(x^3-1)+x-1]+1=x(x-1)[x^4(x^2+x+1)+1]+1\geq$ $\geq x(x-1)+1=x^2-x+1>0$ , αφού προφανώς : $x^4(x^2+x+1)+1\geq1 , \forall x\in \mathbb{R}$ Κι όμως , η λύση αυτή είναι λανθασμένη ! Βρείτε το λάθος :oops: Δεν είχα δει ότι γράψατε λανθασμένη και έλεγα να του πω τώρα ότι έχει λάθος ...

Θα ήθελα λίγο να ξεκαθαρίσουμε κάποια πράγματα σχετικά με την παραπάνω ανάρτηση. 1)Κάνεις δεν σχολίασε τους βαθμούς κανενός απλώς έγινε αναφορά σε γεγονότα που έγιναν στις τουαλέτες κατά την διάρκεια του διαγωνισμού τα οποία προφανώς υπό κανονικές συνθήκες δεν θα λάμβαναν χώρα 2)Η φράση 'είχαμε 13/4...

Τουλάχιστον του χρόνου στην Κύπρο, είναι σχεδόν σίγουρο πως η οργάνωση και η βαθμολόγηση θα γίνουν στην εντέλεια, από άτομα που όντως τους ενδιαφέρει να προωθήσουν την μαθηματική σκέψη/λογική και να δώσουν μια ευκαιρία σε φοιτητές όπως εμείς να αναπτυξούμε ακόμη περισσότερο της μαθηματική μας ικανότ...

Λύση για το πρόβλημα 2 Από θεώρημα υπολοίπου Taylor(μορφή Lagrange) υπάρχει $c\in (0,x)$ ώστε: $\displaystyle e^x-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}=\frac{e^c}{(n+1)!} x^{n+1}$ τώρα έστω $\displaystyle f_n(x)=\frac{n}{((n+1)!)^{\frac{1}{n}}}e^{\frac{c}{n}-x}x^{1+\frac{1}{n}}$ εύκολα μέσω Stirling βγάζουμε ό...

Πρόβλημα 1: βλέπω οτι το αριστερό μέλος γραφεται: $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left( (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right)\geq 0 \, (1)$ Ενώ για το αριστερό μέλος έχω οτι: $\left( (\frac{a}{2})^2+(bc)^2 \right) \geq 2\frac{a}{2}bc$ άρα $4a^2\left( abc-\frac{a^2}{4}-(bc)^2\right) \leq 0 \, (2)$ Άρα για...

Προβλημα 3: Το ζητούμενο είναι το άθροισμα: $\displaystyle \sum_{k=0}^{1001} \binom{2003}{2k} $ Όμως ξέρω οτι: $\displaystyle \sum_{k=0}^{2003}\binom{2003}{k}=\sum_{k=0}^{1001} \binom{2003}{2k}+\sum_{k=0}^{1001} \binom{2003}{2k+1}=2^{2003} $ Και απο δυωνιμικο ανάπτυγμα ξέρω οτι¨ $\displaystyle 0=(-1...

Εδώ μια λύση χωρίς τριγωνομετρια: έχω ότι $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=1 \, (1)$ Άρα $\frac{a^2+b^2}{(1-b^2)(1-a^2)}+\frac{a^2+c^2}{(1-a^2)(1-c^2)}+\frac{c^2+b^2}{(1-c^2)(1-b^2)}\geq \frac{1-c^2}{(1-b^2)(1-a^2)}+\frac{1-b^2}{(1-c^2)(1-a^2)}+\frac{1-a^2}{(1-b^2)(1-c^2)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1-a^2)(1-...

Ζητώ συγγνώμη για την άμεση λύση που εδώσα χωρίς να δώσω την ευκαιρία και σε άλλα νεότερα παιδιά να την λύσουν.Για αυτό λοιπόν διαγράφω την λύση(για κάποιο λόγο δεν με αφήνει να διαγράψω ολόκληρο το μύνημα)

Αυτή είναι μια κλασσική εφαρμογη της ανισοτητας cauchy schwarz και πάει ως εξής: $\displaystyle (1^2+1^2)\left( \left( a+\frac{1}{a}\right)^2+\left( b+\frac{1}{b} \right)^2\right)\geq \left( a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2 \ (1) $ όμως $\displaystyle a+b\geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow 1\geq 4ab \R...

Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος. Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022....

Για να ολοκληρώσουμε τη λύση του προβλήματος, αν και διαπιστώνω ότι δεν υπάρχει άμεσο ενδιαφέρον. Στην περίπτωση που κανένα γραμματοκιβώτιο δεν πρέπει να μείνει άδειο , υπάρχει έτοιμος τύπος της Συνδυαστικής που δίνει το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την εύρεση των ...

Από εκφώνηση έχω ότι
άρα (1)
άρα (2)
Άρα άρα ο έχει ψηφία
(Σημείωση:Σε καμία ανισότητα δεν ισχύει η ισότητα αφού ο είναι φυσικός)