Προβλημα 3, Γ Λυκείου:

Εύκολα παίρνουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο των . Έτσι κάθετη στην και κάθετη στην . Έτσι το είναι ορθόκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.

β) Αρκεί η εν λόγω εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην $BC,$ αρκεί δηλαδή $\angle ATP=\angle APT\Leftrightarrow AT=AP.$ Μετά έχω λύση με τριγωνομετρία, θέλω γεωμετρική.. :) Και λίγο πιο απλά: Θεωρούμε τα $M,N$ όπως ο Ορέστης. Λόγω ομοιοθεσίας ισχύει $N-Y-M$ και $A-M-D$. Επίσης είναι $\angle {YTP} = ...

Το πρόβλημα 1 τελειώνει κατευθείαν με , καθώς , άτοπο διότι το δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο

Η δυσκολία των θεμάτων στο αρχικό στάδιο του διαγωνισμού, δηλαδή στον θαλη, μόνο αρνητικό αποτέλεσμα έχει. Τα παιδιά που δεν έχουν κάνει ειδική προετοιμασια ομολογουμένως απομακρυνονται από τους διαγωνισμούς βλέποντας αυτά τα "κινέζικα προβλήματα", τα οποία δεν μπορούν καν να πλησιάσουν. Ίσως θα έπρ...

Συμφωνώ με όλα όσα ειπώθηκαν. Δυστυχώς επιβεβαιωνεται αυτό που εδώ και καιρό έχω προβλέψει: η στροφή από προβλήματα με όμορφες λύσεις και με λογική μέθοδο επίλυσης σε προβλήματα όπως το σημερινό Π3 της Β λυκείου, τα οποία δεν προσεγγιζονται εύκολα λόγω των ΑΠΕΙΡΩΝ περιπτώσεων που πρέπει να λάβει καν...

Επιτρέπεται ο σχολιασμός των θεμάτων χωρίς την ανάρτηση λύσεων η αναφορών σε αυτές;

Δίνεται τρίγωνο $\triangle {ABC}$ με $\angle{A}$ αμβλεία και $\angle{B}=2\angle{C}$. Από το $C$ φέρνουμε κάθετη στην $AC$ που τέμνει την $AB$ στο $T$. Αν $M$ μέσον της $BC$, να δείξετε ότι $\angle{AMB}=\angle{TMC}$. Σημείωση: Πρόκειται για γνωστή άσκηση, οπότε πολύ πιθανό να έχει ξανατεθεί στο :logo:

Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση $p(q+p)=r+120(E)$. είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας. είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!! Αν όλοι είναι περιττοί τότε έχουμε άτοπο από mod 2. Έστω ότι $p=2$. Τότε $r = 0 mod2 \implies r=2$ και...

Βιβλία του Στέργιου έχω μόνο το Ολυμπιάδες μαθηματικών α λυκείου δεν έχω κάποιο άλλο αλλά πάλι καλά δεν είμαστε αν βρω online τα ξενόγλωσσα? Ναι καλά είμαστε, απλά συμβάλλουν αρκετά στην μετάβαση από Juniors σε Seniors (το Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 1&2 Στεργίου και Μπραζιτίκου), οπότε νομίζω αξίζει ν...

ευχαριστώ πολύ.Αν διαβάσω την ύλη της α λυκείου και τα βιβλία Ολυμπιάδες μαθηματικών του Στέργιου και το problem solving strategies Arthur Engel.. είναι καλή αρχή? Δεν θέλω να φορτώσω με έξοδα τους γονείς μου Σίγουρα το βιβλίο που είπες είναι αρκετά καλό. Αν έχεις και τα βιβλία του κ. Στεργιου , τό...

Επαναφορά

Έστω $I$ το έγκεντρο τριγώνου $ABC$ και έστω $D$ το ίχνος της καθέτου από το $I$ στην $BC$. Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ τέμνει την ευθεία $AI$ ξανά στο $M$, και την ευθεία $DM$ ξανά στο $N$. Να δειχθεί ότι οι ευθείες $AN$ και $IN$ είναι κάθετες μεταξύ τους. Πρόκειται στην ο...

Πρόβλημα 5. Να βρείτε όλες τις τριάδες $(a,b,p)$ θετικών ακεραίων με $p$ πρώτο για τις οποίες: $a^p=b!+p$ Καταρχάς, αν $b=1$ τότε έχουμε $a=(1+p)^{1/p}$ και έτσι $1<a<2$, άτοπο. (προκύπτει εύκολα με επαγωγή) Έτσι, $b \geq 2$. Περίπτωση 1: $b \geq p$. Τότε από $FLT$ παίρνουμε $a = a^p = b! + p=0 (mo...

thepigod762 έγραψε: ↑

Πέμ Ιουν 30, 2022 6:36 pm

Όμοια παίρνουμε
, η οποία ισχύει μόνο για

Για ισχύει και προκύπτει η λύση , που είναι και η μοναδική.

Πρόβλημα 4 - Ελλάδα. Αποκαλούμε έναν άρτιο θετικό ακέραιο αριθμό $n$ {\it{καλό}} αν το σύνολο $\{1,2,\dots,n\}$ μπορεί να διαμερισθεί σε $\frac{n}{2}$ υποσύνολα δύο στοιχείων έτσι ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε υποσυνόλου να είναι δύναμη του $3$. Για παράδειγμα, ο αριθμός $6$ είναι καλός, διότ...

Πρόβλημα 2 - Ελλάδα. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε $AH=HD$, όπου $H$ είναι το ορθόκεντρο του $ABC$ και $D\in BC$ είναι το ίχνος του ύψους από την κορυφή $A$. Έστω $\ell$ η ευθεία η οποία διέρχεται από το $H$ και εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $BHC$. Έστω $S$ και $Τ$ ...

Απίστευτο το πόσο απρόβλεπτη είναι η ζωή...πριν 10 μέρες είχαμε μαθήματα γεωμετρίας που ήταν πάντα εξαιρετικά και με πολύ πλάκα...

Θα μας λείψετε κ. Ψύχα.

Συλλυπητήρια στην οικογένεια του

Ένα διαφορετικό τελείωμα για το 1ο των μεγάλων: Αφού δείξουμε όπως ο Μανώλης ότι $KFDEG$ εγγράψιμο, αντιστρέφουμε με πόλο $A$ και δύναμη $AG \cdot AE = AF \cdot AD$. $\rightarrow$ Η ευθεία $AK$ μένει σταθερή. $\rightarrow$ Τα $G,E$ και $F,D$ εναλλάσσονται μεταξύ τους, άρα ο $c(KFDEG)$ παραμένει σταθ...

Για το πρόβλημα 1 των μεγάλων μια ιδέα είναι η εξής:
Δείχνουμε ότι GFKDE εγγράψιμο και αντιστρεφουμε με πόλο Α και δύναμη AE×AG...

Περίεργα θέματα. Η βάση για το μετάλλιο βλέπω να κυμαίνεται λίγο πάνω από 1 θέμα, καθώς αρκετοί έλυσαν το Π2 από ότι φαίνεται.

Πρόβλημα 3. Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο $AB\varGamma$ με $ \angle AB\varGamma >90^{\circ}$ και έστω $(c)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $ \angle BA\varGamma$ τέμνει ξανά τον κύκλο $(c)$ στο σημείο $E$ και την ευθεία $B\varGamma$ στο σημείο $\varDelta$. Ο κύκλος διαμέ...