Να αποδειχθεί ότι για κάθε .

Βρίσκω .

Εάν διαιρούσαμε με περιττή δύναμη τότε το ερώτημα θα έβγαινε τζάμι!

Έχω μία ερώτηση. Είτε το χ είναι μικρότερο είτε μεγαλύτερο του $1$ διαιρώντας με το $(x-1)^{2}$ λαμβάνουμε $\frac{f'(x)}{x-1}\geq \frac{g(x)}{(x-1)^{2}}$ και παίρνοντας όρια πλευρικά στο $1^{-}$ και στο $1^{+}$ βγαίνει και στις δύο περιπτώσεις ότι $f''(1)\geq 2$. Δεν έχω καταλάβει τι σημαίνει η φράσ...

Αυτή τη διαίρεση ακριβώς έκανα και εγώ και μου βγαίνει ότι . Το 'ίσον' δεν ξέρω πως προκύπτει.

Να ευρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης: .

Η πρόταση είναι λανθασμένη. Μια συνάρτηση είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση ως προς χ.

ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ!!! ΤΩΡΑ ΑΛΛΑΖΕΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΧΩ ΛΥΣΕΙ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ. ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΥΚΑΙΡΙΑ ΘΑ ΑΝΕΒΑΣΩ ΤΗ ΛΥΣΗ.

Παρακαλώ ελέγξετε αν έχετε δώσει σωστά τον τύπο της συνάρτησης. Είμαι πολύ κοντά στη λύση και μου τη χαλάει το $-\sqrt{x}$ στο τέλος. Αν η συνάρτηση ήταν: $f(x)=\frac{x-1}{lnx}-\frac{1}{3}x\sqrt{x}$, τότε η άσκηση βγαίνει κανονικά. Κάνοντας στο graphing calculator τη γραφική παράσταση της συνάρτησης...

Σωστή είναι η πρόταση. Υπάρχει σταθερά c, και μάλιστα η μηδενική, ώστε ο τύπος της συνάρτησης να είναι: .

Άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε τη συνάρτηση: $g(x)=f(x)+\frac{x^{2}}{2}$, η οποία είναι κυρτή. Εφαρμόζοντας την ανισότητα Jensen $g(\frac{a+b}{2})\leq \frac{g(a)+g(b)}{2}$ για $a=0, b=4$ παίρνουμε $4< 4$, άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Υ.Γ.: Αφού σκέφτηκα ότι η δοσμένη σχέση δεν επαρκεί...

Έχουμε ότι $f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}> 0$ για κάθε $x\epsilon (0,+\infty )$ και, επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο $[0,+\infty )$, προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. $f(A)=[f(0), \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=[0,+\infty )\Rightarrow D_{f^{-1}}=[0,+\infty ...

Ζητώ συγγνώμη, γιατί ξέχασα στις εξισώσεις να βάλω μέσα και αυτούς που ψήφισαν Α , Φ και Τ μαζί ( έστω ΑΦΤ).

Με σύστημα επιπέδου γυμνασίου λύνεται. Δεν ξέρω για ποιά αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού μιλάς. Εγώ μαθητής της Γ' Λυκείου είμαι.

Εγώ με λύση του συστήματος που προκύπτει βρίσκω ότι μόνο Τ απάντησαν 312.

Αν , να αποδείξετε ότι:

.

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με έχει την ιδιότητα:

.

Να βρείτε:

α) τη μονοτονία της συνάρτησης,

β) τον τύπο της συνάρτησης.

Εάν δινόταν η πληροφορία ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο , τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Fermat θα ίσχυε


και αντίστοιχα. Άρα, θα βρίσκαμε τις τιμές του α. Αλλά, επειδή δεν ζητά τις τιμές του α και δεν λέει ότι είναι παραγωγίσιμη, ισχύει
αυτό που είπατε.

Μήπως ο θεματοδότης θα μπορούσε να μας υποδείξει τη λύση του προβλήματος καθώς φαίνεται ιδιαίτερα δύσκολο. Εγώ προσωπικά προσπάθησα να συσχετίσω τη θερμοκρασία με την ταχύτητα, άρα και το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας με την ταχύτητα, χωρίς όμως αποτέλεσμα.

Εγώ είχα στο μυαλό μου τις συναρτήσεις $f(x)=e^{x}-e^{-x}$ και $g(x)=2x$. Οπότε θεωρώντας την συνάρτηση $h(x)=(f-g)(x)$ θα έχουμε ότι: $h'(x)=e^{x}+e^{-x}-2\geq 0$ , διότι $e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\geq 2\Leftrightarrow e^{2x}-2e^{x}+1\geq 0\Leftrightarrow (e^{x}-1)^{2}\geq 0$ , που ισχύει. Άρα η $h$ εί...