Δεν ήξερα ότι το πρόβλημα αυτό είναι άλυτο, απλώς το επινόησα, μου φάνηκε ενδιαφέρον, προσπάθησα να το λύσω ανεπιτυχώς και το ανέβασα στο mathematica ψαχνωντας για κάποια βοήθεια. Ευχαριστώ πολύ που ασχοληθήκατε!

Με συγχωρείτε, αλλά ήθελα να γράψω , με πρώτο.

Να βρεθούν όλοι οι , τέτοιοι ώστε .
Να προσθέσω ότι αυτό το πρόβλημα το έχω σκεφτεί εγώ προσωπικά και δεν έχω βρει κάποια λύση. Γι'αυτό τον λόγο (είμαστε και σε καραντίνα, κάτι πρέπει να κάνουμε!) το ανεβάζω στο mathematica προσδοκώντας ότι θα ασχοληθήτε με αυτό.

Είναι άμεση εφαρμογή του τύπου του de Polignac. Η μεγαλύτερη δύναμη του $7$ που διαιρεί το $1000!$ είναι το $\sum_{3}^{k=1}\left \lfloor \frac{1000}{7^k} \right \rfloor=164$. Ομοίως η μεγαλύτερη δύναμη του $7$ που διαιρεί το $500!$ είναι το 82. Όμως, $\binom{1000}{500}=\frac{1000!}{(500!)^2}$. Άρα, ...

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος , ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** ΘΕΜΑ 2. Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle x^2+y^2+z^2=x+y+z+1 $ δεν έχει ρητές λύσε...

ΘΕΜΑ 1. Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, $p\ne 3$, και έστω $a,b$ ακέραιοι τέτοιοι ώστε $p|a+b$ και $p^2|a^3+b^3$. Να διεχθεί ότι $p^2|a+b$ ή $p^3|a^3+b^3.$ Καλημέρα και καλή Κυριακή! Μια λύση για το θέμα 1: Ξέρω ότι $p\mid a+b$ και ότι $p{2}\mid a^{3}+b^{3}\Leftrightarrow p^{2}\mid (a+b)(a^{2}+ab+b^{...

Αναφέρεστε στην σταθερά Euler-Masceroni; Ναι. Θα μπορούσατε να παραθέσετε κάποια ενδεικτική λύση; Χαριτολογώντας ισχυρίστηκα ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε το $\ln n$ φυσώντας κεράκια. Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\left (\left ( 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} \right )-\l...

Αρχικά παρατηρώ ότι $\frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62$ Επειδή $k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62$, το $\frac{62}{99}$ θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του $\frac{5}{8}$. Θα βρω τον αμέσως μικρότερο. Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι ...

Αρχικά παρατηρώ ότι $\frac{5}{8}= \frac{k}{99}\Leftrightarrow k=61,875\approx 62$ Επειδή $k=\left \lfloor \frac{99\cdot 5}{8} \right \rfloor+1=62$, το $\frac{62}{99}$ θα είναι το αμέσως μεγαλύτερο κλάσμα του $\frac{5}{8}$. Θα βρω τον αμέσως μικρότερο. Καταλαβαίνω ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι μ...

Υ.Γ. Μπορούμε λοιπόν φυσώντας κεράκια να εκτιμήσουμε το \ln n λαμβάνοντας υπόψη και τη σταθερά \gamma .

Αναφέρεστε στην σταθερά Euler-Masceroni; Θα μπορούσατε να παραθέσετε κάποια ενδεικτική λύση;

Παρατηρώ ότι ο αριθμός των όρων στο δεξιό μέλος είναι ίσο με τον αριθμό των όρων στο αριστερό. Άρα, σκέφτομαι το εξής τέχνασμα: Είναι $n^{2}\geq 1(2n-1)\Leftrightarrow (n-1)^{2}\geq 0$ $n^{2}\geq 2(2n-2)\Leftrightarrow (n-2)^{2}\geq 0$ Επίσης, είναι προφανές ότι $n\geq n$ Άρα, αν συνεχίσω με το ίδιο...

Ναι, το κατάλαβα, απλώς επειδή είμαι καινούριος στο , δεν είμαι εξοικειωμένος με το LaTeX και την έλυσα σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, έκανα αυτή την παραπομπή.

Χριστός Ανέστη
Μία λύση είναι η επίσημη (και εγώ έτσι την έλυσα), που βρίσκεται στο παρακάτω link:
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _final.pdf
Πρόκειται για το τέταρτο θέμα των μεγάλων.

Αρα, δεν υπάρχει λύση διαγωνιστικων μαθηματικών; Χρειάζονται παραπάνω γνώσεις;

Α, τώρα κατάλαβα! Θα διορθώσω την λύση και θα την αναδημοσιεύσω!
Σε ευχαριστώ πολύ Διονύση Αδαμόπουλε!

Όμως εγώ δεν είπα για διαιρέτες του αλλά του
Επίσης, προκύπτει ότι από το διώνυμο του Νεύτωνα ότι
Άρα, νομίζω ότι μάλλον μπορώ να κάνω τον μετασχηματισμό.

Καλησπέρα. Εγώ είμαι μαθητης της Α Λυκείου, άρα ο τρόπος που νομίζω τουλάχιστον έχω προσεγγίσει την άσκηση είναι πιο στοιχειώδης. Επίσης, συγγνώμη αν κάνω λάθος με το LATEX, γιατί είμαι νέος χρήστης του mathematica. Ξεκινάμε, λοιπόν. Αρχικά, παρατηρώ ότι λύση είναι η (n,a)=(1,4) Αρκεί $13^n+3=a^2$ Έ...

Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί της μορφής που είναι τέλεια τετράγωνα, με n φυσικό.
Πρόκειται για πρόβλημα που βρήκα στο aops, αλλά κανείς δεν έχει δημοσιεύσει λύση.