Θα πω κάποια πράγματα. Σε κάθε περίπτωση δεν καταλαβαίνω το ύφος και την ειρωνία κάποιων προς το μέρος μου, τη στιγμή που εγώ γράφω, ή τουλάχιστον προσπαθώ να γράφω με ένα ουδέτερο και όχι προσβλητικό ύφος. Γενικά το θέμα είναι πως βλέπει τα πράγματα ο καθένας μας. Εγώ πιστεύω ότι για να αντέξει μι...

Αρκετά δύσκολα θέματα κατά τη γνώμη μου. Η δυσκολία τους πάντως δεν έγκειται στις ιδέες που χρειαζόταν αλλά στις πολλές πράξεις οπότε ποιοτικά θα τα χαρακτήριζα χαμηλού επιπέδου. Απ την άλλη μεριά θα πρέπει κάθε φορά να ξεχωρίζουν οι άριστοι από τους πολύ καλούς και ταυτόχρονα να μπορούν οι καλά δι...

Καλησπέρα. Μάλλον χτες ήμουν αλλού και οι πράξεις μου ήταν για τα πανηγύρια... Πρώτο ερώτημα: $\displaystyle{g'(x) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$ Δεύτερο ερώτημα: Η δοθείσα εύκολα δίνει, για $x>0$ πως $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{x}} \right)' = {e^x},\forall x > 0 \Rightarrow f'(x) = ...

Πράγματι τό ΠΑΤ: $\displaystyle{ h'=-h^2-h^{3/2}, \quad h(0)=1, }$ δέν ἔχει σταθερή λύση. Ὅμως, δέν ἔχει λύση ὁρισμένη ἐφ᾽ ὅλου τοῦ $\mathbb R$, καθ´ ὅτι ἡ λύση αὐτοῦ εἶναι γνησίως φθίνουσα, καί ἀπειρίζεται σέ κάποιο ἀρνητικό ἀριθμό (Γιατί;) Ἡ ἄσκηση ζητᾶ $f$ ὁρισμένη ἐφ᾽ ὅλου τοῦ $\mathbb R$ . Ἡ μ...

Καλημέρα. Διαχωρίζω περιπτώσεις γιατί το θεώρημα που χρησιμοποιώ ισχύει (απ'ότι ξέρω) σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Έχεις κάποια αντίρρηση γι'αυτό; Η οικογένεια συναρτήσεων που δίνω επαληθεύει ή δεν επαληθεύει αυτά που θέλει η εκφώνηση; υ.γ: προσθήκη με μπλε χρώμα. εχεις απολυτο δικιο, ...

Καλησπέρα. Μάλλον χτες ήμουν αλλού και οι πράξεις μου ήταν για τα πανηγύρια... Πρώτο ερώτημα: $\displaystyle{g'(x) = x{e^x},\forall x \in \mathbb{R}}$ Δεύτερο ερώτημα: Η δοθείσα εύκολα δίνει, για $x>0$ πως $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{x}} \right)' = {e^x},\forall x > 0 \Rightarrow f'(x) = ...

Πράγματι ἔκανα λάθος. Θέτομε $h=g'$ καί καταλήγομε στό Πρόβλημα Ἀρχικῶν Τιμῶν $\displaystyle{ (h'+h^2)^2=h^3, \quad h(0)=1. }$ Ἄρα ἐπειδή ἡ $h(0)=1$, τότε $h(t)>0$, σέ κατάλληλο διάστημα $J$. Στό $J$ ἡ $h$ ἱκανοποιεῖ ἕνα ἐκ τῶν ΠΑΤ $\displaystyle{ h'+h^2=h^{3/2}, \quad h(0)=1, }$ καί $\displaystyle...

Εστω



και

Επομένως είναι το σημείο με δηλ.

Κατ´ ἀρχάς, ἡ $f$ δέν μηδενίζεται, λόγω συνεχείας, σέ κάποιο ἀνοικτό διάστημα $I$, μέ $0\in I$. Δυνάμεθα μάλιστα νά ἐπιλέξομε τό $I$ ὡς τό μέγιστο ἀνοικτό διάστημα μέ αὐτή τήν ἰδιότητα. συμφωνούμε :) Θέτομε $f=\mathrm{e}^g$, μέ $g :\to\mathββ R$. Τότε εὐκόλως διαπιστοῦται ὅτι ἡ $g$ ἱκανοποιεῖ τό Πρ...

Εντάξει. Αλλά μετά δεν επιτρέπεται να διαιρέσεις με $f(x)$. έχοντας εξασφαλίσει ότι η $f(x)$ είναι συνεχής και ότι ΔΕΝ είναι μηδεν παντού, δηλ. για κάθε $x$, τότε αν εξαιρέσεις μόνο εκείνα τα $x$ που την μηδενίζουν (αλλά δεν μπορείς βεβαια εκ των πρωτέρων να τα βρεις) γιατι όχι ? γιατι να μην μπορε...

Αντιγράφω ένα μερος της απαντησης μου απτο αλλο νημα. Απτις αρχικές συνθήκες φαίνεται εύκολα ότι τόσο η $f(x)$ όσο και η $f'(x)$δεν μπορεί να είναι ίση με την μηδενική συναρτηση. άρα $f(x),f'(x)\neq 0$ (εννοω ταυτοτικα διαφορο του μηδενος). Αυτό δεν είναι προφανές. εχεις ένα δικιο, αλλα για να το δ...

Αντιγράφω ένα μερος της απαντησης μου απτο αλλο νημα. Απτις αρχικές συνθήκες φαίνεται εύκολα ότι τόσο η $f(x)$ όσο και η $f'(x)$δεν μπορεί να είναι ίση με την μηδενική συναρτηση. άρα $f(x),f'(x)\neq 0$ (εννοω ταυτοτικα διαφορο του μηδενος). Οποτε απτην δοθείσα σχέση παίρνουμε $\displaystyle{{\left( ...

Demetres έγραψε:Λύνεται και χωρίς τις επιπλέον συνθήκες . Επειδή η λύση μου ξεφεύγει λίγο από τα σχολικά το έβαλα ως άσκηση εδώ.

ευχαριστω πολυ φιλε μου, ακριβως αυτη ηταν η ερωτηση μου !

στη περιπτωση που μαλλον η ασκηση ξεφευγει απτα όρια του λυκειου.

χααχχαχα οκ ... ζητω συγγνωμη. το μονο που λεω είναι οτι η ασκηση του λινκ που παραθετετε θα μπορουσε να τεθει έτσι ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση $f$ με την ιδιότητα ${\color{blue}f''(x) }>0$ για κάθε $x\in R$ και $f'(0)=1$ .Να αποδείξετε ότι : Α)Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα . Β) Η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη. Γ...

πραγματι το $f"f'f>0$ δεν είναι ισοδύναμο με το $f(x)>0$, άρα όντως το $f(x)>0$ δεν υπάρχει πουθενά μόνο του σαν δεδομένο στην ασκηση. Ωστοσο αυτο που λέω είναι πως η ίδια άσκηση για να έχει την λύση που δίνετε στο λινκ, ΔΕΝ χρειάζεται να έχει σαν δεδομένο ούτε ότι $f"f'f>0$ ούτε και αυτό που δίνετα...

σε αυτην εδω την ασκηση δεν δινεται, αλλα σε αυτην εδω viewtopic.php?f=53&t=35272&p=162572#p162572 που παρατεθηκε απο εσας σαν λυση της, δινεται με την μορφη .

φιλικα

επιχειρω να απαντησω (κουβεντα να γινεται βασικα). Νομιζω οτι τόσο η πληροφορια $f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0$ και η ισοδυναμη της $f(x)f'(x)f''(x)>0$ στην αλλη βερσιον της ασκησης, ειναι πλεονασμός και δεν χρειάζονται. Απτις αρχικές συνθήκες φαίνεται εύκολα ότι η $f(x)$ δεν μπορεί να είναι ίση με την μη...

Αν για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ , γνωρίζουμε ότι : $f(0)=f'(0)=1$ , $f'(x)>0,f''(x)>0$ και $\left[ f''(x)\right]^2\cdot f(x)=\left [ f'(x)\right]^3 \right) , \forall x \in\mathbb{R}$ , μπορούμε να βρούμε την $f$ ? το δεδομένο $f'(x)>0,f''(x)>0$ και επομένως του $f(x...

ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος ${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)=2f(x)\Leftrightarrow \,{f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)=0\Leftrightarrow$ ${f}'(x)+{{f}^{2}}(x)-2f(x)+1=1\Leftrightarrow {f}'(x)+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow$ $(f(x)-1{)}'+{{\left( f(x)-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \overset{...

εχεις δικιο στην εφαρμογη της γ λυκειου διδασκεται ξεκαθαρα !