Η αναζήτηση βρήκε 47 εγγραφές

από christinat
Τετ Νοέμ 25, 2020 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017
Απαντήσεις: 40
Προβολές: 8848

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2017

Θέματα μεγάλων 3)Θέτοντας στην αρχική σχέση (1)$x=y=0$ προκύπτει ότι $g(0)=f(-3f(0))$ Αν $x=0$ τότε $f(-3f(y))=-yf(0)+g(0)$(2) Αν $y=0$ τότε $f(x-3f(0))=xf(0)+g(x)$ Έστω $k=3f(0)$ Οποτε $f(x-k)=xf(0)+g(x)$(3) Θέτω στην αρχική $x=y$: $f(x-3f(x))=g(x)$(4) Έστω $h(x)=f(-3f(x))=-xf(0)+g(0)$ για κάθε πρ...
από christinat
Παρ Οκτ 02, 2020 2:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 2534

Re: ΙΜΟ 2020

Πολλά,παρά πολλά,συγχαρητήρια στην ελληνική αποστολή!Παρά τις ιδιαιτερότητες της φετινής χρονιάς και της μεγάλης δυσκολίας των θεμάτων(πολλή συνδυαστική έπεσε,έλεος),τα πήγατε περίφημα.Μπράβο παιδιά,και εις ανώτερα!
από christinat
Πέμ Ιούλ 02, 2020 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2824

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

2)I)Θέτω $y=x^{n}$ και $I=\int_{0}^{1}\(\frac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1})^{n}dx$ $dy=(\sqrt[n]{x}){}'dx$ ή $dx=\frac{ndy }{y^{1-n}}$ $x=1\rightarrow y=1 /x=0\rightarrow y=0$ Οποτε $I=\int_{0}^{1}(\frac{k}{y+k-1})^{n}\frac{ndy}{y^{1-n}}dy$ ή $I=nk^{n}\int_{0}^{1}(\frac{y}{y+k-1})^{n-1}\frac{dy}{y+k-1}$ Θέτω...
από christinat
Τετ Ιουν 17, 2020 11:26 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Απαντήσεις: 75
Προβολές: 10664

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020

Καλησπέρα, διαβάζω ότι πρέπει να γράψω σε Latex, δεν έχω μάθει ακόμα τι είναι αλλά θα το προσπαθήσω. Μπορεί να βοηθήσει κάποιος στην παρακάτω ερώτηση για το Γ4 στα νέα θέματα; Ποιο είναι το λάθος αν θεωρήσω το $M(a,y)$ και $B(x_b , 0)$ άρα $M(a(t),y(t))$ επομένως $y(t)=\frac{1}{1-a(t)}=>y^\prime(t)...
από christinat
Τετ Ιουν 17, 2020 2:45 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020
Απαντήσεις: 75
Προβολές: 10664

Re: Σχόλια στα Μαθηματικά προσανατολισμού 2020

Ωραία τα φετινά θέματα και κλιμακούμενης δυσκολίας Το θέμα Α απλό(θεωρία) Θέμα Β βατό απλά είχε πολλές πράξεις και εύκολα μπορούσε κάποιος να μπερδευτεί Ήταν όντως ίδιο με το θέμα Β του 2017(με εξαίρεση το Β4) Το Θέμα Γ είχε κι αυτό πολλές πράξεις αλλά μέχρι το Γ3 τα υπο ερωτήματα έβγαιναν εύκολα Γ4...
από christinat
Κυρ Ιαν 12, 2020 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1366

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_{...
από christinat
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1366

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Αφού γράψεις το $P(x)$ ως $a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$,όπου τα $k_{i}$ δηλώνουν τις πολλαπλότητες των (μιγαδικών) ριζών,η εξίσωση γίνεται $a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}=Q(x)^2$. Υπόθεσε προς άτοπο πως υπάρχει $k_{j}$ με $k_{j} \equiv 1...
από christinat
Σάβ Ιαν 04, 2020 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1366

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Μπορεί κάποιος να δώσει μια υπόδειξη για αυτήν την άσκηση;Την προσπαθώ μερες...
από christinat
Πέμ Νοέμ 28, 2019 12:06 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 570

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ανισότητα $Holder$: $S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}}$ ή $S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}$(1) Έστω $A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}$ τοτε $A=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+c)(b+a)}+2\sqrt{(a+c)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}$ ...
από christinat
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:24 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 570

Re: Μέγιστο παράστασης

Από ανισότητα Holder:

S\leq (ab+bc+ca)^{\frac{1}{3}}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{\frac{2}{3}} ή

S\leq \sqrt[3]{(ab+bc+ca)(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}+\sqrt{b+a})^{2}}(1)

Έστω A=(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+a}+\sqrt{a+b})^{2}

τοτε

Από ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου:
από christinat
Τρί Νοέμ 19, 2019 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλαπλάσιο του 7
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 402

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Έστω $A=abc(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})$ Αν κάποιος από τους a,b,c διαιρείται με το $7$ τοτε προφανώς $7|A$ Αν όμως ισχύει ότι $(a,7)=1$ και $(b,7)=1$ και $(c,7)=1$ τοτε από μικρό θεώρημα του $Fermat$ προκύπτει ότι $a^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow a^{3}\equiv \pm 1(mod7)$ $b^{6}\equiv 1(mo...
από christinat
Παρ Σεπ 06, 2019 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 737

Re: IMC 2018/2/4

Έστω δυο πολυωνυμα $P,Q\in \mathbb{C}$ Αν τα πολυώνυμα αυτά είναι μονικά τέτοια ώστε $P*Q|P^{2}+Q^{2}+1$ τοτε $degP=degQ$(1) Απόδειξη: Εστω ότι υπάρχουν ζεύγη πολυωνυμων $(P_{i },Q_{i })$ με $degP_{i }\neq degQ_{i }$(2) Υποθέτουμε ότι υπάρχει ζεύγος τέτοιων πολυωνυμων $(P,Q)$ με $degP+degQ<degP_{i }...
από christinat
Πέμ Αύγ 29, 2019 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μοναδική λύση
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2117

Re: Μοναδική λύση

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=...
από christinat
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μοναδική λύση
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2117

Re: Μοναδική λύση

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$ Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει: $D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1) Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\...
από christinat
Τρί Αύγ 27, 2019 12:03 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1043

Re: Διαιρετότητα

Θα δείξουμε ότι οι μοναδικές τιμές που μπορεί να πάρει το $m$ είναι $m=0$ ή $m=1$ ή $m=2$ $(2^{2m+1})^{2}+1=(2^{2m+1}+2^{m+1}+1)(2^{2m+1}-2^{m+1}+1)$ Οι δυο αυτοί παράγοντες είναι περιττοί και η διαφορά τους είναι $2^{m+2}$ Οποτε είναι μεταξύ τους πρώτοι Ισχύει ακόμη ότι $(2^{2m+1})^{2}=4^{2m+1}\equ...
από christinat
Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 8062

Re: IMO 2019

Αν $x=0$ από την συναρτησιακη είναι: $f(f(0))=3f(0)$(1) Αν $y=0$ τοτε $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$(2) Αν $x=0$ $f(0)=f(f(y))-2f(y)$ Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται $f(0)=f(f(x))-2f(x)$(3) Θέτοντας στην σχεση (3) όπου $f(x)=z$ προκύπτει ότι $f(0)=f(z)-2z$ Οποτε $f(x)=2x+f(0)$,για κάθε ακέραιο ...
από christinat
Δευ Ιούλ 01, 2019 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
Θέμα: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019
Απαντήσεις: 44
Προβολές: 7505

Re: Εξετάσεις πρότυπα γυμνάσια 2019

petrosqw, σκέψου και αυτό, τα παιδιά που τερμάτισαν με μισό πόντο διαφορά και δεν μπήκαν αν έμπαιναν δεν θα έμπαιναν με την αξία τους; ή και τα άλλα που είναι μερικούς πόντους πιο χαμηλά; ή ακόμα και εκείνα που κουράστηκαν ή μπλοκάρισαν ενώ είχαν τα φόντα ας πούμε; Είναι μεγάλη συζήτηση αυτή… Στη σ...
από christinat
Τετ Ιουν 26, 2019 7:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Κορυφές τετραγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 789

Re: Κορυφές τετραγώνου

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα “christinat” - Χριστίνα (;). Η άσκηση είναι σχεδόν το Δ θέμα από τις φετινές προαγωγικές του σχολείου μου - δεν ζητούσαμε την εύρεση της ευθείας που χωρίζει το τετράγωνο σε ισοδύναμα σχήματα. Το πιο δύσκολο ερώτημα ήταν ο προσδιορισμός των δύο άλλων κορυφών του τετραγώνου....
από christinat
Τετ Ιουν 26, 2019 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για seemous
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 749

Re: Προετοιμασία για seemous

Αν $0<i<p$ τοτε $\binom{p}{i }=\frac{p!}{i!(p-i)!}$ Ισχύει ότι $p\mid p!$ Επίσης οι παράγοντες στον παρονομαστή είναι μικρότεροι του $p$ Οποτε $\binom{p}{i }\equiv 0$ $mod p$ Άρα $(1+x)^{p}\equiv 1+x^{p}$ $mod p$(1) Εφαρμόζοντας την σχεση (1) t φορές προκύπτει ότι $(1+x)^{p^{t}}\equiv 1+x^{p^{t}}$ $...
από christinat
Τρί Ιουν 25, 2019 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Κορυφές τετραγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 789

Re: Κορυφές τετραγώνου

$\vec{AB}*\vec{BC}=0\Rightarrow (x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B},y_{C}-y_{B})=0\Rightarrow (x_{B}+2,y_{B}-3)(4-x_{B},-1-y_{B})=0\Rightarrow x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-2x_{B}-2y_{B}-11=0$(1) $\left | \vec{AB} \right |=\left | \vec{BC} \right |\Rightarrow \sqrt{(x_{B}+2)^{2}+(y_{B}-3)^{2}}=\sqrt{(4-x_{B...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση