Η αναζήτηση βρήκε 25 εγγραφές

από Chagi
Πέμ Μαρ 28, 2019 12:01 am
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ώρα για επανάληψη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1065

Re: Ώρα για επανάληψη

Για να κλείνει: Γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι για $x=2$ η δοσμένη ισχύει ως ισότητα. Τη μετασχηματίζουμε ως εξής: $ \displaystyle {x^x}{(4 - x)^{4 - x}} \ge 16 \Rightarrow x\ lnx + (4-x)\ ln(4-x) \geq 4\ ln2 \Rightarrow f(x) + f(4-x) \geq 2f(2)$ Αν $x\in (2,4)$ τότε εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ για την $f$ στα...
από Chagi
Τετ Μαρ 27, 2019 8:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ώρα για επανάληψη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1065

Re: Ώρα για επανάληψη

Καλησπέρα !! Για το Β: α) ${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$ με $x>1$. Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της $f$. Αφού $x>1$ προφανώς ο αριθμητής της ${g}' $ είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της $g$ θετική (αφού η $f$ γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$. Οπότε η $g$ γνησ...
από Chagi
Τετ Μαρ 27, 2019 4:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Ώρα για επανάληψη
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1065

Re: Ώρα για επανάληψη

Καλησπέρα !! Για το Β: α) ${g}'(x)= \frac{(x+1)\ln(x+1)-x\ lnx }{x(x+1)(\ln(x+1)^2)}$ με $x>1$. Θα εκμεταλλευτούμε τη μονοτονία της $f$. Αφού $x>1$ προφανώς ο αριθμητής της ${g}' $ είναι θετικός και άρα και η παραγωγός της $g$ θετική (αφού η $f$ γνησίως αύξουσα στο $(1,\,+\infty)$. Οπότε η $g$ γνησί...
από Chagi
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειος κύβος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 574

Re: Τέλειος κύβος

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$. Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου. Η Άσκηση είναι απλή για $n=1$ άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για $n\geq 2$, $2^{n}+3^{n}=k^{2}$ ΜΕ $k$ περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το $2,3$ οπότε έχουμ...
από Chagi
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέλειος κύβος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 574

Τέλειος κύβος

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού n.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.
από Chagi
Παρ Ιαν 04, 2019 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Μονοτονία
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 1578

Re: Μονοτονία

Καλησπέρα!! :logo: Προσωπικά εγώ θα έλυνα την άσκηση διαφορετικά. Έστω $x_1< x_2$ με $x_1,x_2 \in (-\infty,0)$ και έστω ότι ισχύει: $f^{-1}(x_1)\ge f^{-1}(x_2)$ Τότε λόγω υπόθεσης θα έχουμε $f(f^{-1}(x_1))\ge f( f^{-1}(x_2))$ το οποίο είναι ισοδύναμο με το: $x_1\ge x_2$ Καταλήγουμε έτσι σε άτοπο και...
από Chagi
Παρ Δεκ 28, 2018 11:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Αναζήτηση Ασκήσεων!!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 598

Αναζήτηση Ασκήσεων!!

Καλησπέρα :logo: και χρόνια πολλά!! :mathexmastree: Όντας ανήσυχος μαθητής της Γ' Λυκείου έχω την εξής απορία. Πού θα μπορούσα να βρω ασκήσεις απαιτητικές-δύσκολες, ή πρωτότυπες, που να ξεφεύγουν (ως έναν βαθμό) από τις τυπικές ασκήσεις τις οποίες συναντά κάθε μαθητής Λυκείου κατά τη διάρκεια της πρ...
από Chagi
Παρ Οκτ 05, 2018 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Απορία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 397

Απορία

Καλησπέρα σας!

Πρόσφατα συνάντησα σε άσκηση υπολογισμού ορίου την τεχνική (;) της επαύξησης κλάσματος(τουλάχιστον έτσι αναφερόταν). Γνωρίζει κάποιος αυτήν την τεχνική και αν ναι πως χρησιμοποιείται σε ασκήσεις ορίων;
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.
από Chagi
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:13 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Έκταση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 544

Re: Έκταση

Αναρτώ και τη λύση μου στην οποία δε χρειάζεται να συμπληρώσουμε κάτι πάνω στο ήδη υπάρχον σχήμα. Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $ABS$ έχουμε: $AB^2=BS^2+AS^2-2BS\cdot AS\cos \frac{\pi}{4} \Rightarrow AB^2=16+AS^2-4\sqrt{2}AS$ Αντίστοιχα στο $ASC$: $AC^2=SC^2+AS^2-2AS\cdot SC\cos\frac{\pi}{4} \Rig...
από Chagi
Παρ Ιούλ 13, 2018 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Έκταση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 544

Re: Έκταση

Τελικά είχα αριθμητικό λάθος.

Ευχαριστώ τον χρήστη Doloros για την επισήμανση.

Υ.Γ: Δε γνωρίζω με ποιον τρόπο να παραθέτω ακριβώς το nickname των χρηστών γι΄ αυτό προτίμησα να το γράψω σε Latex.
από Chagi
Πέμ Ιούλ 12, 2018 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Απλή(;)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 481

Απλή(;)

Να λυθεί:

3^x+7^y=10^z όπου x,y,z \in N
από Chagi
Δευ Ιούλ 09, 2018 5:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική εξίσωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 898

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Καλησπέρα, Ευχαριστώ για την προσπάθεια και το χρόνο σου για την λύση του προβλήματος. Μερικές παρατηρήσεις: Προσοχή σε ποιό διάστημα εξετάζεις το $ \phi$ πρέπει να είναι στο διάστημα του προβλήματος και όχι στο $[0,2\pi]$ , μπορεί να επιρεάζει την λύση αν όχι πρέπει να δικαιολογηθεί. Για την εκάστ...
από Chagi
Δευ Ιούλ 09, 2018 12:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική εξίσωση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 898

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση

Καλημέρα σας. Αρχικά θα πρέπει να βρούμε τις διαφορετικές ρίζες που προκύπτουν από τη δοσμένη εξίσωση. Έχουμε: $\cos x- \sin 2x +\sin 4x = a(\cot x+2\cos 3x)$ $\p$ φυσικά με $x\neq k\pi, k\in Z$ Το πρώτο μέλος είναι ίσο με: $\cos x- \sin 2x +\sin 4x = \cos x(1-6\sin x+8\sin x\cos^2 x)$ $\p$ , ενώ το...
από Chagi
Κυρ Ιούλ 08, 2018 11:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 973

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Καλημέρα. Νομίζω το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν "σπάσουμε" κατάλληλα την παράσταση. Έχουμε: $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}$ Παίρνω τα κλάσματα $\frac{a}{b+c+d} $ και $\frac{b+c+d}{a}$ τα οποία είν...
από Chagi
Σάβ Ιούλ 07, 2018 12:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 766

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Γεια σας και πάλι και σας ευχαριστώ για τις συμβουλές. Στην άσκηση τώρα: Αρχικά στη δοσμένη εξίσωση πρέπει να λάβουμε υπόψιν τους περιορισμούς. Συγκεκριμένα πρέπει $\cos(x)\neq0 \Rightarrow x\neq k\pi+\frac{\pi}{2} , k\in Z$ Έχουμε: $\sin\left(\dfrac{4x}{13}\right)\cdot\tan(x)=0$ Η εξίσωση αυτή έχει...
από Chagi
Παρ Ιούλ 06, 2018 5:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 766

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με παραμετρικό διάστημα

Καλησπέρα σας. Θα ήθελα λίγη καθοδήγηση αν γίνεται.

Βρήκα τις ρίζες της εξίσωσης αλλά δεν ξέρω πώς να συνεχίσω.

Καμιά ιδέα;

Σας ευχαριστώ.
από Chagi
Πέμ Ιούλ 05, 2018 10:44 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ακέραιο σύστημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 806

Re: Ακέραιο σύστημα

Η διακρίνουσα του τριωνύμου (ως προς $x$) είναι: $D=49(49+4c)$ και άρα $x=\frac{2c+49\pm 7\sqrt{49+4c}}{2}$ Εκτελώντας τις πράξεις στην περίπτωση του $(+)$ γρήγορα καταλήγουμε σε μια αδύνατη εξίσωση. Δεν μου φαίνεται και πολύ προφανές αυτό το κομμάτι, πως καταλήγεις σε αδύνατη εξίσωση; Μάλιστα η λύ...
από Chagi
Τετ Ιούλ 04, 2018 10:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ακέραιο σύστημα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 806

Re: Ακέραιο σύστημα

Καλησπέρα σας. Αναρτώ τη λύση μου με επιφυλακτικότητα ως προς την εγκυρότητά της. Έχουμε: $6x+15\sqrt{x}=4k+1$ $2x-13\sqrt{x}=4m+1$ Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη προκύπτει ότι: $4x+28\sqrt{x}=4k-4m \Rightarrow x+7\sqrt{x}=k-m$ Προφανώς πρέπει $x\geq0$ και επομένως για να έχει λύση η εξίσωση π...
από Chagi
Τρί Ιούλ 03, 2018 4:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1174

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Θέμα $3$ Για τη συνάρτηση $ f(x)=\kappa\sin (x)+\lambda\cos(x) $ ισχύει ότι : $f(x)\leq\sqrt{\kappa^2+\lambda^2} $ για κάθε $x$ Όμως $\kappa^2+\lambda^2=\sin^2(a)\sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ σχέση $(1)$ Ακόμα ισχύει ότι: $\cos^2(a-b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)+2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos...
από Chagi
Τρί Ιούλ 03, 2018 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1174

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Καλησπέρα, θα ήθελα να ρωτήσω το εξής σχετικά με το θέμα $3$. Αν έχουμε την παράσταση $ \sin^2(a)sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b) $ , τότε είναι λάθος να θέσω $ \sin^2(a)=\sin(\phi) $ και $ \cos^2(a)=\cos(\phi) $ και να δημιουργήσω συνάρτηση έστω $ g(\phi)=\sin^2(b)\sin(\phi)+\cos^2(b)\cos(\phi) , \phi ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση