Εφόσον έχει περάσει καιρός και ως τώρα παραμένει στα αναπάντητα θέματα,

Να αποδείξετε ότι για όλα τα

Το πρόβλημα λύνεται με την μέθοδο άλματος Vieta. Έστω $\displaystyle n=\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ Θέτω $\displaystyle m=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}$ Έστω $\displaystyle (a,b)$ το ζευγάρι λύσης με $a\geq b$. $\displaystyle \frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}=2+m \Rightarrow (a+b)(a+b+1)=(2+m)ab...

Αρχικά έχουμε $\displaystyle ZA=\alpha=2, AB=\beta=4, B\Gamma=\gamma=3, \Gamma\Delta=\delta=5$, $\Delta E=\epsilon=1, EZ=\zeta=6, ZB=m, Z\Gamma=n, Z\Delta=p, AE=q$, $A\Delta=r, A\Gamma=s, BE=t, B\Delta=u, \Gamma E=w$. Εφαρμόζοντας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΔΓΒ, ΓΒΑ, ΒΑΖ, ΑΖΕ, ΖΕΔ, ...

Έστω $\alpha$ η μικρότερη πλευρά με $\alpha>0$. Τότε εφόσον οι υπόλοιπες πλευρές είναι διαδοχικοί φυσικοί τότε θα είναι της μορφής $\alpha+1$ , $\alpha+2$ , $\alpha+3$. Επίσης ισχύει $DC<AB$ και $AD<BC$. Οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Είτε $DC=\alpha$ ή $AD=\alpha$. Όταν $DC=\alpha$ τότε έχουμε ...

Νομίζω ότι χάσαμε την ουσία της άσκησης, η οποία είναι εδώ $\displaystyle{-ln(cos(\frac{3}{5}))<\frac{1}{5}$ Όλα τα προηγούμενα είναι το σχεδόν τετριμμένο κομμάτι της ερώτησης. Το αναπόδεικτο είναι αυτό που πραγματικά ρωτάει η άσκηση. Θεώρησα ότι εφόσον είναι σε κατηγορία Γ λυκείου, το όλο νόημα τη...

Έχουμε $\displaystyle{\int tan(x) dx} \Rightarrow \displaystyle{\int \frac{sin(x)}{cos(x)} dx}$ $$ $$ (1). Θέτουμε $u=cos(x) \Rightarrow \frac{du}{dx}=-sin(x)$. Έτσι η (1) γίνεται $\displaystyle{\int -\frac{1}{u} du} =-ln(u)+c=-ln(cos(x))+c$. Οπότε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{5}}...

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Μιχάλη για την υπόδειξη. Λόγω του περασμένου της ώρας, της κεκτημένης ταχύτητας και του ότι πληκτρολόγησα την απάντηση απ το κινητό μου, μου ξεφυγε αυτή η μικρή αλλά πολύ σημαντική λεπτομέρεια. Επίσης είχα γράψει ακόμη μια σειρά η οποία έλεγε $θεωρώ l \neq 0$ την οποία το κι...

Λοιπόν έχουμε $|f(x)-g(x)| \leq xg(x)$ $\Rightarrow \lim_{x \to x_0} |f(x)-g(x)| \leq \lim_{x \to x_0} xg(x)$ $\Rightarrow -x_0l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) -l \leq x_0l$ $\Rightarrow -x_0l +l\leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq x_0l +l$ $\Rightarrow (1-x_0)l \leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq (1+x_0)l$ και ...

Καλησπέρα σας, Είμαι φοιτητής μαθηματικού και αναρρωτιόμουν αν υπάρχουν φοιτητικοί διαγωνισμοί μαθηματικών. Έκανα μια πρόχειρη έρευνα στο mathematica.gr στην κατηγορία διαγωνισμοί για φοιτητές και απ ότι είδα υπάρχει ένας διαγωνισμός IMC. Μπορεί κάποιος να λύσει μερικές απορίες όπως πως γίνεται ο δι...

1) Φέρνουμε από το $A$ κάθετη $AN$ στην $BC$. Για το εμβαδόν του παραλληλογράμου έχουμε $(ABCD)=BC \cdot AN$. Από την εκφώνηση έχουμε $\frac{AE}{AB}=m \Rightarrow AE=m \cdot AB$. Ακόμη έχουμε $\frac{AZ}{AD}=n \Rightarrow AZ=n \cdot AD$. Για το εμβαδόν του τραπεζίου έχουμε $(BEHC)=\frac{(BC+EH)\cdot...

Από τις ιδιότητες τριγώνων και απο το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι σταθερό και ίσο με $180^\circ$ εχουμε ότι $S\widehat BC=A\widehat BS=A\widehat BP=B\widehat CP=P\widehat CA=A\widehat CS=B\widehat SP=C\widehat PS$. Επίσης προκύπτει ότι $B\widehat AC=B\widehat SC=C\widehat ...

Από τα δεδομένα προκύπτει ότι : Το $20\%$ του πληθυσμού είναι αγόρια με γαλάζια μάτια. Το $10\%$ του πληθυσμού είναι αγόρια με καστανά μάτια. Το $10\%$ του πληθυσμού είναι αγόρια με πράσινα μάτια. Το $30\%$ του πληθυσμού είναι κορίτσια με καστανά μάτια. Το $20\%$ του πληθυσμού είναι κορίτσια με πράσ...

α) Έστω $x$ η πλευρά του αρχικού τετραγώνου. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $LAB, KDA, NCD, MBC$είναι ίσα και το συνολικό εμβαδόν τους ισούται με $4\cdot\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{x}{2}=x^2$ δηλαδή είναι ίσο με το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Οπότε το εμβαδόν του πράσινου τετραγώνου ισούται με το...

Στο κανονικό πεντάγωνο $ABCDE$κατασκευάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο $c$. Τότε εφόσον το τετράγωνο $OCGF$ έχει πλευρά ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου $c$ τότε και το σημείο $F$ θα ανήκει στον κύκλο $c$. Η γωνία $COD$ είναι η κεντρική γωνία κανονικού πενταγώνου άρα $COD=72\textdegree$....

1) Επειδή το ύψος του τριγώνου απ την μια κορυφή, είναι κάθετο προς την απέναντι πλευρά τότε έχουμε : $\lambda_(CE)\cdot \lambda_(AB)=-1 \Rightarrow \lambda_(AB)=1$. Αφού το $A$ ανήκει στην $AB$ τότε θα ικανοποιεί την εξίσωση και έτσι προκύπτει : $AB: y=x-4$ 2)$\lambda_(AA')=\frac{1+5}{-3+1}=-3$.$\...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $AEZ$ έχουμε με βάση το σχήμα που μας δίνεται στην εκφώνηση ότι $AZ>AE$. Έστω $z=BZ, x=\Delta E, y=\Gamma E$. Εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $AEZ$ έχουμε : $(AZ)^2+(AE)^2=(EZ)^2 \Rightarrow (3+z)^2+(2+x)^2=8^2 \Rightarrow$ $\Rightarrow z^2+x^2+4x+6z-51=0...

1)Η έλλειψη έχει κέντρο το $A=(0,0)$ και εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$. 2) $\displaystyle (\Sigma_1)$$\begin{cases} \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=2x \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=\frac{6}{\sqrt{10}}\end{cases}...

Το αρχικό όριο μπορεί να γραφτεί και έτσι : $\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt[6]{(cosx)^\frac{11}{6}}}{x^2}$ και επειδή το όριο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$ τότε εφαρμόζεται ο κανόνας του De L' Hospital και το αρχικό όριο είναι ίσο με : $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{11}{6}\sqrt[6]{(cosx)^5}sinx}{2x}$ το...

Αρχικά να επισημάνω ότι μάλλον έχει γίνει τυπογραφικό λάθος στην εκφώνηση και οτι το σωστό είναι να αποδείξουμε ότι $EB=B\Gamma$. Έχουμε την παραβολή $y^2=12\cdot x \Rightarrow y^2=2\cdot 6\cdot x \Rightarrow p=6$. Η εστία $E$ έχει συντεταγμένες $E=(\frac{p}{2},0) \Rightarrow E=(3,0)$. Το τυχαίο σημ...