Η αναζήτηση βρήκε 514 εγγραφές

από JimNt.
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:52 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Χριστουγεννιάτικη
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 72

Χριστουγεννιάτικη

Να βρεθούν όλες οι f: \mathbb{Z^{+}} \rightarrow \mathbb{Z^{+}} ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων να ισχύει ότι xf(x)+y|f(x)^2+f(y). Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
από JimNt.
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 52

Ομοκυκλικά

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και το ορθόκεντρο H. Αν η AH τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο D και N είναι η προβολή του H στην διάμεσο AM, να προσδιοριστεί σημείο E πάνω στην BC ώστε A,N,E,D ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.
από JimNt.
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: 0-1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 133

Re: 0-1

Είναι άμεσο με επαγωγή στο πλήθος των ψηφίων και λίγη φαντασία για το πώς θα κολληθούν τα κομμάτια στην περίπτωση που έχουμε δύο εξωτερικά $1$αρια ή δύο $0$ικα.(ουσιαστικά και αυτό άμεσα προκύπτει αφού διαφορετικά θα πρέπει σε κάθε substring με αρχή ένα από τα δύο εξωτερικά να υπερτερεί το πλήθος τω...
από JimNt.
Τετ Δεκ 05, 2018 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γιατί Όχι;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 213

Re: Γιατί Όχι;

Κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση... (μάλλον είναι οι προβολές του $E$ στις $AB$ και $CD$) Λίγο βιαστικά: Έστω $S, T$ οι προβολές του $E$ στις $AB, CD$ αντίστοιχα και $R$ το σημείο τομή των $FG$ και $OE$. Έστω ακόμη $K$ το σημείο τομής των $AB, CD$. Καταρχάς αφού $\widehat{ESK}=\widehat{ETK}=90^o$...
από JimNt.
Τρί Δεκ 04, 2018 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γιατί Όχι;
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 213

Γιατί Όχι;

Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma$ κέντρου $O$. Έστω $E$ το σημείο τομής των $CD$ και $BA$ και $EF$, $EG$ τα εφαπτόμενα στον $\Gamma$ τμήματα. Να αποδειχτεί ότι το σημείο τομής των $OE$ και $FG$, οι προβολές του $E$ στις $AD$ , $BC$ και το $E$ είναι ομοκυκλικά. Για μαθητές μέχ...
από JimNt.
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 106
Προβολές: 10188

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΏΝΗΣΗ Αν οι πραγματικοί αριθμοί $x,y,z,w$ είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του $1$ και μικρότεροι ή ίσοι του $5$ και επιπλέον ισχύει ότι $x+y+z+w=8$, Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης $A=x^{...
από JimNt.
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 106
Προβολές: 10188

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Γ' Λυκείου 1 Η αρχική γράφεται (2x^2-x-6)^2=49x^2
Γ' Λυκείου 3 Προσθέτοντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι 3x^3 \ge x+2x^2, παίρνουμε την μοναδική (1,1,1)
από JimNt.
Πέμ Αύγ 30, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 508

Re: Δύσκολη Ανίσωση

:coolspeak: Αν και η ανισότητα είναι ιδιαίτερα αδύναμη η μετατροπή του δεξιού μέλους την καθιστά ωραία.
από JimNt.
Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 508

Re: Δύσκολη Ανίσωση

Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.
από JimNt.
Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 508

Re: Δύσκολη Ανίσωση

Παρ΄όλα αυτά η ανισότητα εξακολουθεί να είναι πολύ ωραία και έχει μια εξαιρετικά ωραία λύση.
από JimNt.
Κυρ Ιουν 10, 2018 10:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 264

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και $f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ $P(y-g(y),y)$ δίνει $yg(y-g(y))=0$ . Συνεπώς, αν $y \neq 0$ είναι σίγουρο ότι $g(y-g(y))=0$ ...
από JimNt.
Παρ Μάιος 11, 2018 7:33 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2018
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1677

Re: BMO 2018

Τα αποτελέσματα εδώ https://bmo2018.dms.rs/results/ Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά Ελλάδας και Κύπρου!
από JimNt.
Κυρ Απρ 01, 2018 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 3324

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Τα θέματα των μεγάλων δεν θα ανακοινωθούν , αφού μάλλον προέρχονται από Shortlists.
από JimNt.
Πέμ Μαρ 22, 2018 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 367

Re: Ανισότητα!

(x,y,z)=(6,2,2)
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6332

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέματα μεγάλων Πρόβλημα 3. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $n,\,m$ με $n<m$ και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ $n$, για τα οποία ισχύει η ισότητα $\displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j|$ για...
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6332

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Για το πρώτο. Ας είναι $a_m=\dfrac{a^2}{b^2}$ και $a_{m-1}=\dfrac{c}{d}$ με $(a,b)=(c,d)=1$ Πρέπει $\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{3c^3+cd^2}{d^3}$. Εύκολα αποδεικνύεται ότι το $3$ δεν διαιρεί κανέναν παρανομαστή από την ακολουθία. Επομένως, είναι $d^{3}=b^{2}$ και $c(3c^2+d^2)=a^2$. Από αυτές προκύπτει ότ...
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6332

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Στο 3 των μικρών το ότι ο b είναι περιττός δεν χρειάζεται νομίζω.
από JimNt.
Παρ Φεβ 23, 2018 3:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: Ελάχιστη τιμή

Datis-Kalali έγραψε:
Παρ Φεβ 23, 2018 3:11 pm
Αν a,b και c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε a+b+c \le 3, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης F=\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}
Προκύπτει σχετικά άμεσα από Jensen ότι το ελάχιστο είναι 2.
από JimNt.
Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 740

Συναρτησιακή

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση f(x)=f(cx+1) για κάθε x \in \mathbb{R} όπου c θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.
από JimNt.
Πέμ Ιαν 25, 2018 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 15788

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Διαφορετικά με νόμο συνημιτόνων στο ABD προκύπτει ότι ADB=45^{o}. Η συνέχεια απλή.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση