Η αναζήτηση βρήκε 551 εγγραφές

από JimNt.
Σάβ Σεπ 07, 2019 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σκακιέρα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 119

Re: Σκακιέρα

Κάθε ντόμινο τέμνει το πολύ $6$ $2 \times 2$ τετράγωνα (και αυτό όταν βρίσκεται στο εσωτερικό $6\times 6$ τετράγωνο. Συνεπώς αν έχουμε $8$ ντόμινος , αυτά τέμνουν το πολύ $6 \cdot 8=48$ τετράγωνα. Όμως έχουμε $49$ τετράγωνα $2\cdot2$. Συνεπώς, κάποιο τετράγωνο παραμένει λευκό έπειτα από την τοποθέτη...
από JimNt.
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 419

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Εστω $x,y\in \mathbb{R}$ Να δείξετε ότι $(x^{3}+(x+y)^{3})(y^{3}+(x+y)^{3})\leq 4(x+y)^{3}$ πότε έχουμε ισότητα; Προφανώς και δεν ισχύει. Θέτω $x=ky$ με $y$, $k$ θετικό. Πρέπει λοιπόν, $y^3(k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3) \le 4(k+1)^3$, που δεν ισχύει για μεγάλα $y$. (αν θέσουμε $k=-1/3$ εφαρμόζεται το ίδι...
από JimNt.
Πέμ Αύγ 29, 2019 1:49 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πίνακας Τελβκολ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 511

Re: Πίνακας Τελβκολ

Είναι από Tournament of Towns του 2019.
από JimNt.
Δευ Αύγ 26, 2019 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 344

Re: Διαιρετότητα

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους $m$ ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους Λέγοντας με 2 το πολύ διαφορετικούς πρώτους εννοούμε και τις δυνάμεις αυτών; Για παράδειγμα: για $m=2$ έχουμε $(2^{2m+1})^2+1=5^2\cdot41$ που αυτός διαιρείται με δύο ...
από JimNt.
Τρί Αύγ 20, 2019 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 448

Re: Συναρτησιακή!

:coolspeak: Η λύση μου είχε μια πιο αριθμοθεωρητική προσέγγιση, αλλά και η δική σου καλή είναι.
από JimNt.
Τρί Αύγ 20, 2019 12:09 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 744

Re: Δύσκολη Διοφαντική!

Δεν εννοούσα αυτό. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί αν έχουμε άπειρες ή πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Μία λύση π.χ είναι η $(3,113,5)$ $3^2+3+113=5^3$. Δείτε την πολύ διαισθητική εικασία: https://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture, -> γιατί το $n^3-2$ ενδέχεται να είναι πρώτος για άπειρες τιμές...
από JimNt.
Δευ Αύγ 19, 2019 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 448

Συναρτησιακή!

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:Z^{+} \rightarrow Z^{+} ,ώστε xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2 για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων (x,y).
από JimNt.
Δευ Αύγ 19, 2019 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Δύσκολη Διοφαντική!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 744

Re: Δύσκολη Διοφαντική!

Δεν νομίζω να λύνεται. π.χ Δεν έχει ούτε μπορεί (?) να αποδειχτεί αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής n^3-2 ή όχι.
από JimNt.
Δευ Αύγ 19, 2019 2:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 356

Re: 4 Ρίζες

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...
από JimNt.
Σάβ Αύγ 17, 2019 8:38 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 342

Re: Περίεργη Ανισότητα

Μένουν να ελεγχθούν τα τα $(2,3,4,5)$ (το $2$ ισχύει αλλά tο αφήνω για τον reader μιας και η ερώτηση επρόκειτο για γενίκευση ) Για $n \ge 6$ σίγουρα δεν ισχύει, αφού μπορούμε να εξασφαλίσουμε $a_i^2 +\dfrac{2n-1}{n-1} <3a_i$ ( μιας και $4(2n-1)<9(n-1)$) για $i= \{1,...,n-1\}$ με $a_i$ σε finite διάσ...
από JimNt.
Τετ Αύγ 14, 2019 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 356

4 Ρίζες

Δίνονται θετικοί πραγματικοί $x_0, y_0, z_0$ ώστε το πρόσημο κάθε παράγοντα του $c=(x_0+y_0+z_0)(x_0+y_0-z_0)(z_0+x_0-y_0)(y_0+z_0-x_0)$ να είναι θετικό. Θεωρούμε θετικό πραγματικό $x_1>x_0$. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση $(x_1+y+z_0)(x_1+y-z_0)(z_0+x_1-y)(y+z_0-x_1)=c$ (ως προς $y$) έχει $4$ πραγματι...
από JimNt.
Τρί Αύγ 13, 2019 10:25 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Εύρεση σημείου σε κύκλο
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 652

Re: Εύρεση σημείου σε κύκλο

Ας είναι $L$ το σημείο τομης των εφαπτομένων στα $B$ και $C$. Τότε αν η $LP$ επανατεμνει τον κύκλο στο $E$ αυτό έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Έστω $M$ το μέσο της $EP$ και $K$ το σημείο τομής της εκ του περικέντρου $O$, $OM$ με την $BC$ τότε αφού $EBPC$ αρμονικό το $K$ είναι το σημείο τομής των εφαπτ...
από JimNt.
Τρί Αύγ 06, 2019 10:52 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πίνακας Τελβκολ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 511

Πίνακας Τελβκολ

Αποκαλούμε έναν πίνακα $n \times n$ Τελβκολ αν μπορούμε να τοποθετήσουμε κάθε έναν από τους ακέραιους $\{1,2,...,n^2\}$ σε ένα ακριβώς κελι του πίνακα ώστε κάθε ζεύγος διαδοχικών να βρίσκεται σε $2$ γειτονικά κελιά και το $n$ να μην διαιρεί καμία διαφορά δύο αριθμών που βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή...
από JimNt.
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1257

Re: IMC 2019

Hello world
από JimNt.
Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολωνέζικη πεταλούδα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 637

Re: Πολωνέζικη πεταλούδα

Αν η τομή των $AC$, $BD$ είναι $X$ τότε με γωνίες λόγω των όμοιων $DSB$, $ASC$ προκύπτει ότι $XADS$, $XBCS$ εγγράψιμα και ότι $P,X,S$ συνευθειακά. Άρα από ριζικούς άξονες $PS$, $AD$, $BC$ συντρέχουν στο $Y$. Με pascal στο $ADDBCC$ έχουμε πως $PS$ συμμετροδιάμεσος στο $DPC$. Άρα αρκεί $SPD$, $SPC$ να...
από JimNt.
Πέμ Ιουν 27, 2019 4:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 327

Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων

Δίνεται μονικό πολυώνυμο δευτέρου βαθμού $P(x)$ με ακέραιους συντελεστές. Να αποδειχτεί (ή να απορριφθεί) ότι αν η $\Delta \neq 0$ τότε το πλήθος των πρώτων $p$ για τους οποίους ισχύει ότι το $P(x)$ είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $\mod p$ για κάθε $x$ (το $0$ θεωρείται τετραγωνικό υπόλοιπο , εδώ τουλάχι...
από JimNt.
Παρ Ιουν 14, 2019 4:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Προφανές ή μήπως όχι;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 311

Προφανές ή μήπως όχι;

Υπάρχει θετικός ακέραιος $n$ ώστε αν τα στοιχεία δύο τυχαίων (στοιχείων και μεγέθους) συνόλων φυσικών ακεραίων ($\mathbb{Z^{+}}, 0$) $A=\{a_1,..,a_m\}$, $B=\{b_1,...,b_m\}$ ικανοποιούν τις σχέσεις $a_1^i+..+a_m^i=b_1^i+...+b_m^i$ για κάθε $i \in \{1,...,n\}$, τότε τα $A$, $B$ αναγκαστικά ταυτίζονται...
από JimNt.
Τετ Μάιος 29, 2019 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σχέση από το πουθενά
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 249

Σχέση από το πουθενά

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$, το ορθόκεντρο του $H$ και το αντιδιαμετρικό του $A$, $A'$ στον περιγεγραμμένο κύκλο του $ABC$. Η παράλληλη από το $H$ ως προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $M$ και την $AC$ στο $I$. Αν $N$ είναι το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων $HA'A$ και $AMI$. Να αποδειχτεί $AM\cdo...
από JimNt.
Τετ Μάιος 29, 2019 9:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1051

Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Καλησπέρα. Όντας νέο μέλος παρακαλώ συγχωρέστε τα οποιαδήποτε λάθη σε Latex και αν υπάρχει λάθος παρακαλώ να αναφερθεί. Έστω: $13^{n}+3=a^{2}$ Αν $n=2n_{1}$ τότε προκύπτει εύκολα η λύση $a=2, n=0$. Αν $n=2n_{1}+1$: $13^{n}+3=a^{2}\Leftrightarrow 13^{2n_{1}+1}+3=a^{2}\Leftrightarrow 13\cdot 13^{2n_{...
από JimNt.
Δευ Μάιος 27, 2019 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 399

Συναρτησιακή

Να βρεθούν όλες οι f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την f(x+f(y))=f(x)+y^2 για κάθε ζεύγος πραγματικών (x,y).

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση