Η αναζήτηση βρήκε 507 εγγραφές

από JimNt.
Πέμ Αύγ 30, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 457

Re: Δύσκολη Ανίσωση

:coolspeak: Αν και η ανισότητα είναι ιδιαίτερα αδύναμη η μετατροπή του δεξιού μέλους την καθιστά ωραία.
από JimNt.
Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 457

Re: Δύσκολη Ανίσωση

Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.
από JimNt.
Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύσκολη Ανίσωση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 457

Re: Δύσκολη Ανίσωση

Παρ΄όλα αυτά η ανισότητα εξακολουθεί να είναι πολύ ωραία και έχει μια εξαιρετικά ωραία λύση.
από JimNt.
Κυρ Ιουν 10, 2018 10:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 234

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και $f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ $P(y-g(y),y)$ δίνει $yg(y-g(y))=0$ . Συνεπώς, αν $y \neq 0$ είναι σίγουρο ότι $g(y-g(y))=0$ ...
από JimNt.
Παρ Μάιος 11, 2018 7:33 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2018
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1592

Re: BMO 2018

Τα αποτελέσματα εδώ https://bmo2018.dms.rs/results/ Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά Ελλάδας και Κύπρου!
από JimNt.
Κυρ Απρ 01, 2018 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 2973

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Τα θέματα των μεγάλων δεν θα ανακοινωθούν , αφού μάλλον προέρχονται από Shortlists.
από JimNt.
Πέμ Μαρ 22, 2018 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 326

Re: Ανισότητα!

(x,y,z)=(6,2,2)
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6035

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Θέματα μεγάλων Πρόβλημα 3. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $n,\,m$ με $n<m$ και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ $n$, για τα οποία ισχύει η ισότητα $\displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j|$ για...
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6035

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Για το πρώτο. Ας είναι $a_m=\dfrac{a^2}{b^2}$ και $a_{m-1}=\dfrac{c}{d}$ με $(a,b)=(c,d)=1$ Πρέπει $\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{3c^3+cd^2}{d^3}$. Εύκολα αποδεικνύεται ότι το $3$ δεν διαιρεί κανέναν παρανομαστή από την ακολουθία. Επομένως, είναι $d^{3}=b^{2}$ και $c(3c^2+d^2)=a^2$. Από αυτές προκύπτει ότ...
από JimNt.
Σάβ Μαρ 03, 2018 3:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 6035

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018

Στο 3 των μικρών το ότι ο b είναι περιττός δεν χρειάζεται νομίζω.
από JimNt.
Παρ Φεβ 23, 2018 3:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 293

Re: Ελάχιστη τιμή

Datis-Kalali έγραψε:
Παρ Φεβ 23, 2018 3:11 pm
Αν a,b και c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε a+b+c \le 3, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης F=\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}
Προκύπτει σχετικά άμεσα από Jensen ότι το ελάχιστο είναι 2.
από JimNt.
Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 706

Συναρτησιακή

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την σχέση f(x)=f(cx+1) για κάθε x \in \mathbb{R} όπου c θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.
από JimNt.
Πέμ Ιαν 25, 2018 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 15574

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

Διαφορετικά με νόμο συνημιτόνων στο ABD προκύπτει ότι ADB=45^{o}. Η συνέχεια απλή.
από JimNt.
Σάβ Ιαν 20, 2018 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018
Απαντήσεις: 95
Προβολές: 15574

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017 - 2018

B Λυκείου 3o Η μέγιστη περιφέρεια ενός κύκλου στο εσωτερικό του ορθογωνίου λαμβάνεται όταν αυτό εφάπτεται σε 2 τουλάχιστον πλευρές και έχει μήκος το πολύ a\pi. Συνεπώς, πρέπει N \pi \ge 12, από όπου έπεται το ζητούμενο.
από JimNt.
Δευ Δεκ 11, 2017 6:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τετράγωνα Περιττών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 474

Τετράγωνα Περιττών

Να αποδεικτεί ότι στο άθροισμα των τετραγώνων 3 περιττών αριθμών μπορεί να προστεθεί το τετράγωνο ενός ακόμα περιττού ώστε το άθροισμα να είναι τέλειο τετράγωνο.
από JimNt.
Τετ Νοέμ 29, 2017 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση ακεραίου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 456

Εύρεση ακεραίου

Υπάρχει πολλαπλάσιο του 103 , x για το οποίο ισχύει: 2^{2x+1} \equiv 2 \mod x;
από JimNt.
Κυρ Νοέμ 26, 2017 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παραμετρική Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 558

Παραμετρική Ανισότητα

Αν a,b,c,d πραγματικοί με abcd=1 να δειχθεί ότι 4^4 \prod{(a^4+1)} \ge (\sum{a}+\sum{\dfrac{1}{a}})^4
από JimNt.
Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Από Βρετανία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 577

Από Βρετανία

Ορίζουμε ως p(n) τον μέγιστο πρώτο παράγοντα του n. Να προσδιόρισετε τις τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z) που αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και ικανοποιούν την σχέση p(xyz) \le 3.
από JimNt.
Σάβ Νοέμ 11, 2017 12:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 17546

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Θέμα 1 /Γ Λυκείου
Για x=a παίρνουμε f(0)=a. Για x=0 παίρνουμε f(f(0))=a \Rightarrow f(a)=a. Συνεπώς, a=0.
από JimNt.
Σάβ Νοέμ 11, 2017 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2017
Απαντήσεις: 167
Προβολές: 17546

Re: ΘΑΛΗΣ 2017

Διαφορετικά. Αν κάθε παίκτης έπαιξε x λεπτά πρέπει 16x=11\cdot 90, που δεν έχει ακέραια λύση.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση