Μερικές παρατηρήσεις. Διαγωνισμός που παίρνει 15-20 συμμετέχοντες από μια μόνο χώρα μάλλον εκ φύσεως δεν μπορεί να γεννά απαιτήσεις στους διαγωνιζόμενους. Θα σας πρότεινα απλά να χαίρεστε την εμπειρία, εφόσον υπήρξε χρηματοδότηση. Άσχετο, που δεν ανακοινώνονται κιολας αν γίνονται προκριματικοί για α...

Έχοντας περάσει μία εβδομάδα γεμάτη refresh στο site στης Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας, έχω να πω οτι τα χέρια μου κοντεύουν να βγάλουν φούσκες...Ας μην μας αφήνουν στην αγωνία αν δεν χρειάζεται και αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην βαθμολόγηση θα ήταν καλό να λυθεί το συντομότερο δυνατόν.Πραγματικ...

Ορέστη. Μπορείς να δεις σε πια κατηγορία θεμάτων εντάσσεται? (εννοώ όλα τα προβλήματα εντάσσονται σε κάποιο συγκεκριμένο μάθημα σχετικό με ένα θέμα). Οπότε αν βρεις το θέμα, ίσως βρούμε τον τρόπο σκέψης πίσω από το πρόβλημα. (Αν και εξακολουθώ να νομίζω ότι πρέπει να θέσουμε παραμέτρους χρησιμοποιών...

Όσον αφορά την επίλυση της άσκησης. Δουλεύοντας με ΑΜ-ΓΜ, καταλήγουμε κάποια στιγμή σε πάρα πολλές πράξεις ανάμεσα στις οποίες υπάρχει όντως ένα . Δεν δοκίμασα να κάνω αντικατάσταση, ξέρει κανείς αν θα έπρεπε?

Όχι , όχι , όχι . Επαναλαμβάνω , εσύ απέρριψες την περίπτωση $a,c >1$ . Πώς το έκανες αυτό ; Εγώ αρχικά είδα πως αν $a=2$ ή $c=2$ ή $a,c=2$ υπήρχε άτοπο. Θα έπρεπε δηλαδή να πω ότι $a,c<2$, αντί για $a,c<1$, έχεις δίκιο πως είναι λάθος. Απλά, δοκίμασα με ΑΜ-ΓΜ, και δεν έγινε τίποτα (οδηγήθηκα σε πο...

orestis26 έγραψε:Όχι , όχι , όχι . Επαναλαμβάνω , εσύ απέρριψες την περίπτωση . Πώς το έκανες αυτό ;

Εγώ αρχικά είδα πως αν ή ή υπήρχε άτοπο. Θα έπρεπε δηλαδή να πω ότι , αντί για , έχεις δίκιο πως είναι λάθος.

orestis26 έγραψε:Αν , τότε , από υπόθεση που δίνει . Πού είναι το άτοπο ;

Εδώ πήρες μάλλον .

Λάθος μου. Εννοώ .

Θεωρούμε τους $a,b,c \geq 0$ ώστε $(ab)^2+(bc)^2 +1 \leq 3b$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή της $K= \displaystyle\frac{1}{(a+1)^2}+\displaystyle\frac{4b^2}{1+2b^2}+\displaystyle\frac{8}{(c+3)^2}$. (δεν έχω λύση) (Η άσκηση είναι από το Aops αναπάντητη ) Παραθέτω μια προσέγγιση. Από την $(ab)^2+(bc)^2 +1...

Αν για τους θετικούς πραγματικούς ισχύει ,να βρείτε την μικρότερη δυνατή τιμή της .

orestis26 έγραψε:sot arm η έχει ανάποδη φορά από αυτή που λες.

nick math τι ακριβώς εννοείς ; Γράψε μας ολοκληρωμένη λύση.

Εννοώ πως το προκύπτει με αντικατάσταση όπου το .

Απλά: δίνεται ότι με αντικατάσταση...

Αν $x,y,z$ θετικοί και $xyz=x+y+z+2$ , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $K=x^2+y^2+z^2$ Από AM-GM : $(\frac{x+y+z}{3})^{3}≥xyz=x+y+z+2$ $(1)$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}≥3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}$ $(2)$. Αφού ζητάμε την μικρότερη δυνατή τιμή της $K$, θα πρέπει να πάρουμε την ισότητα στην $(2)$ και στην...

Δεν αλλάζει η φορά της ανίσωσης, επειδή έκανα αντικατάσταση?

Μια τελευταία προσπάθεια με διαφορετικό τρόπο από τις υποδείξεις (δεν γνωρίζω cauchy schwarz). Από ΑΜ-ΓΜ: $\frac{ab}{1+c}+\frac{bc}{1+a}+\frac{ac}{1+b}≥3\sqrt[3]{{\frac{(abc)^{2}}{abc+ab+ac+bc+a+b+c+1}}}$$(1)$. Από ΑΜ-ΓΜ λαμβάνουμε πάλι:$\frac{1}{27}≥abc$,$ab+ac+bc≥\frac{1}{3}$. Οπότε η$(1)$γίνεται$...

Σωστά, αλλά χρειάζεται εξήγηση. Θα προσπαθήσω να εξηγήσω όσο καλύτερα μπορώ. Από τα δεδομένα της εκφώνησης έπεται ότι $a,b,c$ είναι ρητοί κλασματικοί. Παρατηρούμε πως για να πετύχουμε την μέγιστη τιμή θα πρέπει οι αριθμητές των κλάσματων να παίρνουν την μεγαλύτερη δυνατή τιμή. Συνεπώς θα πρέπει οι ...

Πιστεύω είναι

[quote="Soteris"] Πρόβλημα 1 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$, που ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2}}$ Παραθέτω την λύση μου. $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ $(1)$ Καταρχάς, παρατηρο...

Από τη φετεινή ολυμπιάδα της Ρουμανίας, ας δούμε το επόμενο θέμα(Τάξη VI). ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί $a,b$ αν γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί $\displaystyle \frac {a+1}{b}, \frac {b+2}{a}$ είναι συγχρόνως φυσικοί . Μπ Παραθέτω την λύση μου. Καταρχάς γίνεται αντιληπτό από την εκφώνηση ότι $a,...

Yποθέτουμε (χωρίς βλάβη της γενικότητος) ότι $c>b>a$ Αφού οι $a,b,c$ είναι διαδοχικοί περιττοί έπεται ότι: $b=a+2$ & $c=a+4$. Και αντικαθιστώντας στο $a^2+b^2+c^2$, έχουμε $3a^2+12a+20$. Αφού δίνεται από την εκφώνηση ότι to $a^2+b^2+c^2$ ισούται με έναν αριθμό της μορφής $zzzz$ , πρέπει το άθροισμα ...