Πρέπει να είναι εξαιρετική δουλειά. Καλοτάξιδο!

Το έπιασα. Ο συγγραφέας πρακτικά λέει το εξής: Γνησίως μονότονη $\longrightarrow $ $1-1$ $\longrightarrow $ $\left ( f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \right )$ Και γω πήγα να εφαρμόσω το αντίστροφο που προφανώς κολλάω στο ότι $1-1$ δεν σημαίνει ότι είναι και...

αλλά πολύ περισσότερο κάνεις χρήση της εσφαλμένης πρότασης ότι αν μια συνάρτηση είναι $1-1$ τότε είναι γνησίως μονότονη. Μπράβο βρε Χρήστο γιατί το ίδιο ακριβώς σκεφτόμουν και γω και ήθελα να το γράψω πιο μετά. Από την Γ' λυκείου ξέρουμε ότι κάθε $1-1$ δεν είναι κατά ανάγκη γνησίως μονότονη. Με χαρ...

Ωραία Χρήστο. Σε ευχαριστώ δύσκολη αρκετά ομολογώ είναι. Θα δώσω και τη δική μου προσέγγιση. Αλλά πιστεύω πως είναι εκτός ύλης . Θα δείξω πρώτα ότι είναι γνησίως μονότονη. Έστω $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ με $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )$. Τότε: $\displaystyle{x_{1}-\sqrt{x_{1}^{2...

Δώσε παράδειγμα που έχεις βρει ή μάλλον άσε το παράδειγμα, πρέπει να ψάξει αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο διάστημα που τίθεται ή αν είναι εφικτό στο πεδίο ορισμού της. Τότε θα αποφανθεί αν είναι και γνησίως μονότονη . Πάντως Μάριε από το : Το λέω αυτό γιατί από ότι βλέπω στο σχολικ...

Αν πας στην σελίδα 32 του σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β' Λυκείου θα σου λυθούν όλες οι απορίες. Χρήστο καλησπέρα. Όντως το σχολικό σελ. 32 δίνει απλά τον ορισμό της γνησίως μονότονης συνάρτησης, αλλά μόνο αυτό. Τίποτε άλλο. Μάλιστα οι ασκήσεις που έχει το σχολικό δεν επικεντρώνονται στην έννοια και εξ...

Καλησπέρα στην παρέα του :logo:! Μια ερώτηση θα ήθελα να κάνω. Φέτος ανέλαβα ένα μαθητή Β' λυκείου. Με εξέπληξε το γεγονός ότι παντού στο διαδίκτυο και στα βοηθήματα αναφέρεται: 1) Ο ορισμός της γνησίως μονότονης συνάρτησης (το πρόβλημα μου δεν είναι εδώ) 2) Εκτεταμένη ασκησιολογία γύρω από ικανές σ...

Σελ. 129 The Gabriel Polynomial.

Δεν ξέρω αν πρέπει να κλάψω ή να γελάσω.

Υ.Γ. Ο κανονισμός μας δεν πρέπει να μπλοκάρει τέτοια άτομα; Περισσότερο προπαγάνδα του Μεσαίωνα μου θυμίζει.

Θα συμφωνήσω. Τους ξέφυγε να γράψουν ότι η είναι παραγωγίσιμη στο θέμα Γ στο .

Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:
Φιλικά,
Μάριος

Εντάξει αν αυτό είναι ερώτημα Β1 τότε οι άνθρωποι διδάσκουν στο Princeton. Ειλικρινά θα ήθελα να δω τα ποσοστά, αν και βάζω το χέρι μου στη φωτιά ότι θα είναι άκρως απογοητευτικά. Επίσης, θα ήθελα να σχολιάσω το κακόγουστο ερώτημα Δ4. Ποιος ο λόγος να εμφανιστούν διανύσματα που κρύβουν γεωμετρικές ε...

Όταν βλέπω ανάρτηση του Θάνου λέω κάτι καλό ψήνεται! Για πάμε να δούμε. Ξεκινάω με το πρώτο ερώτημα. (α) Για $x=0$ στη δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση έχουμε: $\displaystyle{\sin f(0)+f^{3}(0)=0}$ Θα αποδείξουμε ότι $f(0)=0$ και άρα το $0$ είναι ρίζα της $f$. Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{g:\m...

Ευχαριστώ και τους δύο πολύ. Προβληματίζομαι στο αν τα παραπάνω μπορούν να ζητηθούν από τους μαθητές της Γ' λυκείου. Μπορεί να είναι μέσα στην ύλη τους αλλά πως κρίνεται την φιλοσοφία μιας τέτοιας ερώτησης για την συγκεκριμένη τάξη;

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:


Η λύση μου είναι με αλλαγή μεταβλητής που είναι εκτός ύλης.

Φιλικά,
Μάριος

Επαναφορά για το τελευταίο ερώτημα για να κλείσει. Γραφικά έχει απαντηθεί από τον Τόλη τον οποίο και ευχαριστώ για την ωραία παρουσίαση της λύσης του!

Φιλικά,
Μάριος

Πολύ κλασική άσκηση αλλά αφού μπαίνουμε σιγά σιγά σε επαναλήψεις είπα να την ανεβάσω. Δίνεται η συνάρτηση $f:\left [0,+\infty \right )\longrightarrow R$ με $f(0)=e$ και: $\displaystyle{f(x)=x\left ( \ln^{2}x-\ln x-1 \right )+e, \hspace{3mm}x>0}$ (α) Να εξετάσετε αν η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσ...

Παρακάτω παραθέτω ένα ερώτημα που συνάντησα στο διαδίκτυο. Σε μια συζήτηση που είχα στην σχολή εκφράστηκε η άποψη ότι το παρακάτω μπορεί αν είναι ένα "καλό" ερώτημα για μαθητές Α' λυκείου. Η προσωπική μου άποψη είναι ότι δεν έχει κάτι ενδιαφέρον μιας και έχει έντονο υπολογιστικό χαρακτήρα και ότι δ...

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με $f(0)=1$ και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$. Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει: $\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι: (α...

Παρακάτω παραθέτω ένα ερώτημα που συνάντησα στο διαδίκτυο. Σε μια συζήτηση που είχα στην σχολή εκφράστηκε η άποψη ότι το παρακάτω μπορεί αν είναι ένα "καλό" ερώτημα για μαθητές Α' λυκείου. Η προσωπική μου άποψη είναι ότι δεν έχει κάτι ενδιαφέρον μιας και έχει έντονο υπολογιστικό χαρακτήρα και ότι δ...

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ με $f(0)=1$ και σύνολο τιμών το διάστημα $\left (0,1 \right ]$. Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει: $\displaystyle{f''(x)=-2\left ( xf'(x)+e^{-x^{2}} \right )}$ τότε να αποδείξετε ότι: (α) Ισχύει $\displaystyle f(x)=e...