Στο Δ3 πρέπει να αποδείξεις ότι για να πεις ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Και αποδεικνύεται αφού και γν. φθίνουσα στο με ρίζα της παραγώγου.

Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η ${f}'$ είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η ${f}'$ θα διατηρεί το πρόσημό της στο $R$ είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματο...

Τα θέματα δεν ήταν όλα βατά. Δεν είχαν τόσα τρυκάκια και βοηθητικές συναρτήσεις αλλά απαιτούσαν μεγαλύτερη μαθηματική ικανότητα από άλλα χρόνια. Ένα αρνητικό είναι οι πολλές μονάδες στα Γ2 και Γ4. Πολλοί μαθητές επέμειναν σε αυτά (λόγω πολλών μονάδων) με αποτέλεσμα να χάσουν χρόνο για να πάνε στο Δ....

Για το Δ2 και το Δ4, μια ωραία απόδειξη για το πρόσημο της είναι:

Η κοίλη για χ>0 και η ευθεία είναι εφαπτομένη της στο σημείο άρα για χ>0 έχουμε ότι και η ισότητα ισχύει μόνο στο 0.

Το είχα γράψει και εδώ αλλά ας το γράψω και με κώδικα. Μια άλλη λύση για το Δ2 (α) είναι: Αφού $f(x)$ κυρτή στο $\mathbb{R}$ τότε η $f'(x)$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. Ακόμα: $\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{...

Μια διαφορετική προσέγγιση στο Δ2 α θα μπορούσε να είναι εξής;

Η f θετική στο R (μέσω συνόλου τιμών) και συνεχής κατ' επέκταση το ολοκλήρωμα θα είναι μηδέν αν και μόνο αν τα άκρα είναι ίσα.

Οι ορισμοί στα μαθηματικά χαρακτηρίζονται από την αυστηρότητα τους.Από την στιγμή επομένως που για να είναι σημείο καμπής απαραίτητη προϋπόθεση είναι η αλλαγή του πρόσημου της δεύτερης παραγώγου πολύ κοντά,αν εννοεί κάτι διαφορετικό είναι πλεονασμός που σπάνια συναντάμε σε ορισμούς.Με το ίδιο σκεπτ...

Ίσως έχω παλιά έκδοση και η σελίδα που έδωσα είναι λάθος.Αναφέρομαι στο θεώρημα για το σημείο καμπής που εκεί φαίνεται πως εκατέρωθεν εννοεί το πολύ κοντά.Όπως επίσης και ακριβώς πάνω από το θεώρημα της δεύτερης παραγώγου. Την ίδια έκδοση έχουμε, αλλά δεν καταλαβαίνω που ακριβώς υπονοεί ότι το εκατ...

Νομίζω ότι το πρόβλημα ξεκινάει από την ερμηνεία της λέξης "εκατέρωθεν". Προφανώς(;) το σχόλιο του βιβλίου αναφέρεται στα διαστήματα $\left( \alpha,x_{0}\right)$ και $\left( x_{0},\beta \right)$ που χρησιμοποιεί στα προηγούμενα. Καλό θα ήταν να αναφέρεται. Από εκεί και πέρα νομίζω δεν χρειάζεται με...

math246 έγραψε:Στην σελίδα 276 του σχολικού κατεύθυνσης νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο,ότι εκατέρωθεν έχει το νόημα του πολύ κοντά.

Μπορείς να γίνεις περισσότερο σαφής; Διότι νομίζω πως το βιβλίο δεν το επιβεβαιώνει.

Πολύς λόγος έχει γίνει για το "εκατέρωθεν". Κατά τη γνώμη μου το Α4 α δεν έχει κάποιο πρόβλημα. Το "πρόσημο εκατέρωθεν του α" δεν είναι αντίστοιχο του "πρόσημο κοντά στο α". Το "πρόσημο εκατέρωθεν του α" σημαίνει τα ανοικτά διαστήματα δεξιά και αριστερά του α, μέχρι να βρεθεί μια ρίζα ή ένα σημείο α...