Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου. Πρόβλημα 2 Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών $(𝑥, 𝑦)$ που είναι λύσεις του συστήματος: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - 20\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x...

Εξαρτάται τι θεωρείται απάντηση.
Απάντηση για παράδειγμα θα μπορούσε να είναι ότι είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί Fermat.
Το ότι αυτοί δεν είναι γνωστοί είναι άλλου παπά .....

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί που ικανοποιούν την .
( είναι οι συνάρτηση του Euler)

Επαναφορά.

Αρχικά θα δείξουμε, επαγωγικά, ότι $f(2x)> a_n x$(*) για κάθε $x>0$, όπου $a_n=\frac{a_{n-1}^2}{4}+1,n∈N,a_1=1$. 1. Έχω $f(2x)\geq x+f(f(x))>x=a_1 x$, αφού $f(x)>0$,$f(f(x))>0$ για κάθε $x>0$. 2. Έστω ότι η (*) ισχύει για $n=k$, δηλαδή ότι $f(2x)> a_k x$ για κάθε $x>0$. 3. Θα δείξω ότι η (*) ισχύει...

Εστω συνάρτηση για την οποία έχουμε ότι για κάθε .
Να δειχθεί ότι για κάθε .

Εστω φυσικός και πραγματικός ώστε οι να είναι ρητοί.
Να δειχθεί ότι και ο είναι ρητός.

Εστω η ακολουθία των πρώτων αριθμών.
Για να δείξετε ότι

.... Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$ Είναι άμεσο ότι για $ x\geq 1$ ισχύει ότι $ f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι $x=1$ ... Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν $x\geq 1$, τότε $ f(x)\geq x$. Δεν το βλέπεις γιατί δεν ισχύει. Αλλά ισχύει ότι αν $x \geq 1...

Σε ένα τρίγωνο το είναι το έγκεντρο. Εστω οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των
τριγώνων , και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .
Να δειχθεί ότι

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα $\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{mat...

Δίνονται δυο ακολουθίες ,που ορίζονται ως εξής $a_0=a>0,b_0=b>0$ και για $n$ θετικό είναι $a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} ,b_n=\sqrt{a_nb_{n-1}}$. Να βρεθούν τα όρια τους αν υπάρχουν. Τηλέμαχε, το θέμα του Ε.Μ.Π που αναφέρεσαι δεν είναι το ίδιο με το ερώτημα του Σταύρου, αλλά είναι παραλλαγή του. Η ...

Δίνονται δυο ακολουθίες ,που ορίζονται ως εξής
και για θετικό είναι .
Να βρεθούν τα όρια τους αν υπάρχουν.

Δίνεται τρίγωνο $ABC$και έστω $c$ ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Οι εφαπτόμενες του $c$ στα $A,B,C$ σχηματίζουν το τρίγωνο $A_1B_{1}C_{1}$. Τα ύψη του τριγώνου τέμνουν τον $c$ στα $A_2,B_{2},C_{2}$. Να δείξετε ότι $4(ABC)^2=(A_1B_{1}C_{1})(A_{2}B_{2}C_{2})$ ( $(ABC)$ είναι το εμβαδό του τριγώνου).

Εστω τρίγωνο και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.Η τέμνει την στο σημείο .
Ομοια ορίζονται τα σημεία .
Να δείξετε ότι
όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εστω τρίγωνο και σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.Να δείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων
σχηματίζουν τρίγωνο που έχει εμβαδό ίσο με του αρχικού τριγώνου.

Δίνεται τετράγωνο $ ABCD$ και σημείο $K$ στο εσωτερικό του . Αν είναι $KA=5,KB=3,KC=7$ να δειχθεί ότι οι $KB$ ,$KC$ είναι κάθετες. Σκέπτεται κάποιος : Αν, $KB \bot KC$ από το Π. Θ. στο $\vartriangle KBC$ προκύπτει ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι $a = \sqrt {58} $. Κατασκευάζει τετράγωνο $ABCD$ με...

Επαναφορά.
Υπόδειξη 1. Υπόδειξη 2

Εστω $ a_{1},a_{2},.....a_{n},n\geq 5 $ διαφορετικοί ανα δύο ακέραιοι. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο $ P(x)=(x-a_{1})(x-a_{2}).....(x-a_{n})+1 $ δεν μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο δύο μη σταθερών πολυώνυμων με ακέραιους συντελεστές . Τι γίνεται αν είναι $n=2,3,4 $; . Πολλή ωραία άσκηση. Την κρατώ εντό...

Έχουμε τους αριθμούς $\left\{ 1,2,....2015\right\}$ Πόσους το πολύ μπορούμε να διαλέξουμε από αυτούς ώστε να μην υπάρχουν 2 με διαφορά πρώτο αριθμό. Σταύρο, θα εκλάβω εξ ορισμού ότι ο $1$ είναι πρώτος αριθμός (όπως γινόταν στα παλιά βιβλία), δηλαδή ότι δεν υπάρχουν όροι του συνόλου που θα επιλέξουμ...