Επαναφορά.
Επειδή έλαβα π.μ για να μην υπάρχουν παρεξηγήσεις η σχέση πιο αναλυτικά είναι



Επίσης ο τίτλος αναφέρεται στο Γυμνάσιο του 1975.

Αν θέσουμε $\displaystyle p_{n}(x)=\frac{ ( 1-x^{2} )^{n}}{\int_{-1}^{1} ( 1-x^{2})^{n}dx}$ θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχή στο $0$ και ολοκληρώσιμη ισχύει $\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)p_{n}(x)dx\rightarrow f(0)$ Για να το δείξουμε αρκούν τρεις ιδιότητες π...

Να σημειώσω το ότι έχουμε το χρειάζεται για να έχουμε άπειρο σώμα.

Αν το σώμα είναι πεπερασμένο δεν ισχύει.
π.χ
Αν έχουμε το

και πάρουμε

τότε τα πολυώνυμα είναι ίσα και ως πολυώνυμα.

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\left [ -1,1 \right ]\longrightarrow \mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\left ( 1-x^{2} \right )^{n}\textup{d}x}{\displaystyle \int_{-1}^{1}\left ( 1-x^{2} \right )^{n}\textup{d}x}=f(0)}$ Φιλικά,...

Επαναφορά.
Γνωρίζω δύο λύσεις.
Η μια είναι με σχολική ύλη αλλά σε καμία περίπτωση στο πνεύμα του σχολείου.

Η βασική παρατήρηση και για τις δύο είναι :

Αν θέσουμε

τότε


Θα την αφήσω κάποιες μέρες και μετά θα βάλω τις λύσεις.

Επαναφορά για όλους.

Εστω $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$ τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Αν για $k=0,1,2,...n$ είναι $\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)x^{k}dx=1$ να δειχθεί ότι $\displaystyle \int_{-1}^{1}f^{2}(x)dx\geq \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$ Είναι δυνατόν να έχουμε ισότητα στην παραπάνω ανισότητα; Συμπληρ...

Εστω



Να δειχθεί ότι για κάθε



είναι

Αν οι θετικοί πραγματικοί $a$, $b$, $c$ ικανοποιούν την $abc=1$, αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}$ Λογαριθμούμε και γράφεται $b\log (a+1)+c\log (b+1)+a\log (c+1)\geq 3\log 2$ Αλλά από γνωστό θεώρημα λόγω του ότι η $\log $ είναι αύξουσα προκύ...

exdx έγραψε: ↑

Σάβ Φεβ 16, 2019 3:01 pm

Αν και για κάθε , τότε

Το δεν νομίζω ότι χρειάζεται.
Για νομίζω όλες οι αποδείξεις δουλεύουν

Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης: $\displaystyle{f\left ( x, y \right ) = \left\{\begin{matrix} yx^2 & , & x^2 + y^2 \leq 1 \\\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y \geq 0 \\\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & , & x^2+y^2>1 \quad \text{\gr και} \;\; y <0 \en...

Από την

προκύπτει ότι η μπορεί να ορισθεί στο ώστε να είναι συνεχής
στο
οπότε

Έστω η $f(x)=ln(e^{2x}-1)-ln(2x)$, να υπολογιστεί το όριο $lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{\frac{2}{x}}^{\frac{3}{x}}xf(t)dt$. Η παρακάτω λύση είναι σωστή; Θέτω $\frac{1}{x}=u, u\rightarrow 0$ για $x\rightarrow +\infty$ και αν $F $ μια αρχική της $f$( που υπάρχει αφού η $f$ είναι συνεχής στο $(0,+\...

Μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την αρίθμηση του

Για

θέτουμε

αν

και διαφορετικά.

Η πυκνότητα του συνόλου




μας δίνει το ζητούμενο.

Έστω $A \in \mathbb{R}^{n \times n }$ σταθερός πίνακας και $f\left ( \bar{x} \right )= \bar{x}^\top A \bar{x}\;\;, \;\; \bar{x} \in \mathbb{R}^n$ .Να υπολογιστεί το πολυώνυμο Taylor βαθμού $3$ της $f$ στο $0$. Συμπαθητική ασκησούλα , αν και υπάρχουν και άλλες παρόμοιες εκεί έξω. Από σημερινή εξέτασ...

[quote=peter post_id=125614 time=1334579009 user_id=1354] 3. Έστω $(c_n)$ φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με $nc_n\leq A$ για $n=1,2,\ldots$ και κάποια σταθερά $A>0$. Δείξτε ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ και για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει: $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^n c_k\sin kx \righ...

Έστω $\alpha>0$. Να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+|x|} + \frac{1}{1+|x-\alpha|}}$ Θα μπορούσε να μπει και στο "Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια" Είναι $\displaystyle f(0)=f(a)=1+\frac{1}{1+|a|}$ Αρκεί να δείξουμε ότι $f(x)\leq f(0)$ 1 περίπτωση. $|x|\geq |a| $ η $|x-a...

R BORIS έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 06, 2019 6:22 pm

ΧΒΓ παίρνουμε

Η πρώτη ισότητα δεν ισχύει εν γένει.

Επίσης δεν βλέπω πως χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι

.

Με αφορμή αυτό https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=63835 Εστω $I,J$ ανοικτά διαστήματα και $f:I\rightarrow \mathbb{R},g:J\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε $C_{f}\cap C_{g}= \o$ Εστω $A=(x_{1},f(x_{1}))\in C_{f},B=(x_{2},g(x_{2}))\in C_{g}$ Αν για κάθε $\Gamma \...

Ελάχιστη απόσταση.pngΤο ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία $A,B$ των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται παράλληλες εφαπτόμενες και το $AB$ είναι κάθετο σ' αυτές . Είναι λοιπόν : $2a=\dfrac{1}{b}$ και $\dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b$ , το οποίο δίνει (με χρήση λογισμικού : $b=0.9290784$ και επομένως : $(AB...