Η αναζήτηση βρήκε 3186 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 20, 2020 10:18 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ο ρόλος των διαμέσων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 450

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

Ευχαριστώ τον Σταύρο για την κάλυψη του παρόντος θέματος. Να πω απλώς, ότι όταν πήγαινα σχολείο μαθαίναμε την παρακάτω ταυτότητα του De Moivre : $\boxed{{a^4} + {b^4} + {c^4} - 2({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}) = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)}$ Και επιπλέον κάναμε την απόδειξη ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Σεπ 18, 2020 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ο ρόλος των διαμέσων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 450

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

Η άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα: α) Να δείξετε ότι $\displaystyle (ABC) = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{m_a}^2{m_b}^2 + {m_b}^2{m_c}^2 + {m_c}^2{m_a}^2} \right) - \left( {{m_a}^4 + {m_b}^4 + {m_c}^4} \right)} $ β) Αν ${m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4,$ ν...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Σεπ 18, 2020 6:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ο ρόλος των διαμέσων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 450

Re: Ο ρόλος των διαμέσων

Θα γράψω την γεωμετρική απόδειξη που χρωστάω. Στην ουσία έχουμε το εξής: Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδό τριγώνου που οι πλευρές του είναι μικρότερες η ίσες από $2,3,4$; 1)Από συμπάγεια η μέγιστη τιμή πιάνεται. Αν αυτή πιάνεται με $(a,b,c)$ όπου $a<2,b<3,c<4$ τότε για $\epsilon >0$ αρκετά μικρό μπορούμ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Σεπ 18, 2020 6:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο διαφορών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 221

Re: Ελάχιστο διαφορών

Δεν ξέρω κατά πόσο η άσκηση ήταν εμπνευσμένη από αυτό . Οχι Δημήτρη δεν προήλθε από το παραπάνω. Πριν καιρό στο facebook ο Α.Κυριακόπουλος είχε βάλει την ίδια άσκηση με 3 η 4 αριθμούς (δεν θυμάμαι ακριβώς). Απλά την είχα γενικεύσει και τώρα που είδα το χαρτί την έβαλα. Η απόδειξη σου μπορεί να γίνε...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Σεπ 18, 2020 12:23 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Από ισότητα ισότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 420

Re: Από ισότητα ισότητα

Για σχολική χρήση (στο φάκελο που βρισκόμαστε) θα πρέπει να ορίζεται η αποδεικτέα σχέση, δηλαδή $x,y>0$ (έτσι κι αλλιώς δεν αληθεύει για $x=y=0$). Τότε όμως δεν ισχύει η υπόθεση. Καθυστερημένα ,αν και ποτέ δεν είναι αργά. Στο σχολικό βιβλίο Δ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θ.ΒΑΒΑΛΕΤΣΚΟΥ -Γ.ΜΠΟΥΣΓΟΥ ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ 1976 σε...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Σεπ 17, 2020 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστο διαφορών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 221

Ελάχιστο διαφορών

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί

a_1,a_2,.....a_n , n>2 ώστε

\displaystyle  \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1

Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο από αυτούς που η απόσταση τους δεν ξεπερνάει

το \displaystyle  \sqrt{\frac{12}{n(n-1)(n+1)}}
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Σεπ 17, 2020 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Μέγιστα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 597

Re: Μέγιστα

2)Για
0<x<1,0<y<1,0<z<1
να βρεθεί το μέγιστο της

\displaystyle  \frac{x(1-x)y(1-y)z(1-z)}{1-(1-xy)z}

Επαναφορά.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Σεπ 17, 2020 10:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Τρίτος γ. τόπος και ... τέλος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 284

Re: Τρίτος γ. τόπος και ... τέλος

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{AB=4}$ και $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο αυτού. Μεταβλητό σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στην περίμετρο του τριγώνου αυτού και για το τρίγωνο $\displaystyle{GMN}$ ισχύει: $\displaystyle{(GM)(GN)=\frac{16}{3} }$ και $\displaysty...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Σεπ 17, 2020 9:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Θέμα: Βύθιση κύβου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 209

Re: Βύθιση κύβου

Ένα σώμα κυβικού σχήματος με ακμή μήκους $\alpha $ και πυκνότητα $\rho$ ισορροπεί μέσα σε ένα υγρό με πυκνότητα $\rho_0>\rho.$ Τη χρονική στιγμή $t = 0$ προσδίδεται στον κύβο κατακόρυφα και προς τα κάτω μια αρχική ταχύτητα $v_0.$ Υποθέστε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή και ίση με $g ,...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Σεπ 17, 2020 1:02 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ιδιότητα Επικαμπυλίου Ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Ιδιότητα Επικαμπυλίου Ολοκληρώματος

lefsk έγραψε:
Τετ Σεπ 16, 2020 7:45 pm
Άρα, αν θα ήθελα να γράψω μια απάντηση θα έλεγα τι; ότι κάνει 0 επειδή.........;
Απάντησε ότι θες.
Οτι είχα να σου γραψω το έγραψα.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Σεπ 16, 2020 7:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ιδιότητα Επικαμπυλίου Ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 198

Re: Ιδιότητα Επικαμπυλίου Ολοκληρώματος

Ερώτημα: Αν η κλειστή καμπύλη $C$ είναι σύνορο της επιφάνειας $S$ και $v$ σταθερό διάνυσμα, τότε τι συμπέρασμα βγάζω για το $\int_{C}^{}v dS$ ; Μπορώ να χρησιμοποιήσω το θεώρημα Green ή το θεώρημα Stokes ή συντηρητικό πεδίο για να πω ότι το ολοκλήρωμα θα κάνει απευθείας $0$; $0$ κάνει και δεν χρειά...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Σεπ 15, 2020 3:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα Riemann
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 610

Re: Ολοκλήρωμα Riemann

Ας το δείξουμε χωρίς η παράγωγος να είναι Riemann ολοκληρώσιμη αλλά απλώς φραγμένη. Να σημειώσω ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση με φραγμένη παράγωγο της οποίας η παράγωγος δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη. Βλέπε ασκηση 18-112 στο Απειροστικός Λογισμός Τόμος ΙΙ Σ.Νεγρεπόντης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαννακούλιας...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 13, 2020 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Κι ακόμα ένας γ. τόπος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 305

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB=4}$ και στην προέκταση της διαμέτρου, προς την πλευρά του σημείου $\displaystyle{B}$, το σημείο $\displaystyle{S}$, έτσι ώστε: $\displaystyle{BS=2}$. Τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο ενώ ταυτόχρονα στο τρίγωνο $\displaystyle{...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 13, 2020 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Huygens
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 186

Re: Huygens

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:17 pm
Έστω 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{2 \sin \alpha + \tan \alpha \geq 3\alpha}
Σχολικό παράγραφος 2.6 σελίδα 140 (καινούργιο)
Β ομάδα άσκηση 8ii).
Και σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί εδώ.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 13, 2020 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 99

Re: Ανισότητα

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 13, 2020 12:22 pm
Σε τρίγωνο \mathrm{ABC} να δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{4}{9} \sum \sin B \sin C \leq \prod \cos \frac{B-C}{2} \leq \frac{2}{3} \cos A}
Άνευ λύσης!
Δεν νομίζω να ισχύει έτσι όπως είναι.
π.χ αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 13, 2020 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθόκεντρο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 481

Re: Ορθόκεντρο

Εκπληκτικά πράγματα. Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης. Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη. Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά. Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη) κα...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Σεπ 13, 2020 2:16 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθόκεντρο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 481

Re: Ορθόκεντρο

Εκπληκτικά πράγματα. Οχι μόνο την έχουμε ξαναδεί αλλά εγώ ήμουν ο θεματοδότης. Η απόδειξη που έδωσα παραπάνω είναι στην ουσία η απόδειξη του Ορέστη. Μετά τέσσερα χρόνια το μυαλό την επεξεργάστηκε και παρουσιάστηκε διαφορετικά. Συμπέρασμα δικό μου.Το μυαλό αποθηκεύει τα σημαντικά(απόδειξη Ορέστη) και...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Σεπ 12, 2020 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Εξ ανακλάσεως
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 203

Re: Εξ ανακλάσεως

Φέρω MK κάθετο στην OA.
Η MA είναι διχοτόμος της γωνίας KMS .
Η συμμετρική ως προς τον φορέα της AB ευθεία που περνάει από τα K,M
τέμνει τον φορέα της OA στο S.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Σεπ 11, 2020 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Κι ακόμα ένας γ. τόπος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 305

Re: Κι ακόμα ένας γ. τόπος

Επειδή στο
viewtopic.php?f=62&t=67873

ο Γιώργος ,εγώ ,και ο Σωτήρης το ξεφτιλίσαμε
(παραβίαση κανονισμών κλπ)
καλό να αναρτηθεί πλήρης λύση, και μετά να κάνουμε σχόλια.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση