Η αναζήτηση βρήκε 3048 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 02, 2020 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Διπλό Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 295

Re: Διπλό Ολοκλήρωμα

Inked106095093_312867470115836_7557461194609314991_n (1)_LI.jpg Δεν καταλαβαίνω. Εφόσον δεν υπήρχε λύση γιατί δεν αναφέρθηκε αρχικά ; Επίσης τι σημαίνει ότι υπάρχει θέμα που δεν λύνεται ; Και στις Πανελλήνιες υπάρχουν θέματα που έχουν προβλήματα. Είναι πολύ πιθανόν μέσα στην εξέταση να δόθηκε διευκ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 01, 2020 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 736

Re: Ανισότητα!

Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$ Αφαιρώντας και από τα δύο μέλη $a^2+b^2+c^2$, γράφουμε την ανισότητα: $\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\lef...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 01, 2020 1:23 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο με περιορισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 214

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Για να δούμε πως μπορούμε να αποφύγουμε την Holder χρησιμοποιώντας μόνο C-S. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα $a_i,b_i,c_i$ μη αρνητικά. Γράφοντας $a_ib_ic_i=(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}c_i$ η C-S δίνει $\displaystyle \sum a_ib_ic_i\leq (\sum a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(\sum a_ib_ic_i^{2})^{\...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 755

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 4 Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$ για όλους τους ακεραίους $m$ και $n$ για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$ Αφου δημοσιεύθηκε λύση (δεν την έλεγξα ) ας περιγράψω την δική μου. Με $[a,b]$ συμβολίζ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο με περιορισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 214

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Χάνω κάτι; Από Holder: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}$ Τίποτα ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο με περιορισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 214

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο με περιορισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 214

Re: Μέγιστο με περιορισμούς

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 6:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο με περιορισμούς
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 214

Μέγιστο με περιορισμούς

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 1:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 347

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση: $\displaystyle 2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2$ Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι $a,b,c \geqslant 0$. Την έκανε ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ Μόνο που στην α...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 347

Re: Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $a,b,c \geqslant 0$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$ Χρησιμοποιώντας την ανισότητα $Cauchy-Schwarz$ που αφορά τις τετραγωνικές ρίζες είναι $\sqrt{b(a+c)}{\cdot }\sqrt{c(a+b)}{\cdot }\sqrt{a...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιουν 29, 2020 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Παραμετρική εξίσωση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 212

Re: Παραμετρική εξίσωση

Δεν νομίζω για a=0 να έχει δύο λύσεις.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Αύξουσα από παράγωγο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 436

Re: Αύξουσα από παράγωγο

Βάζω λύση. Θα την γράψω τμηματικά. Αν θέλει κάποιος μπορεί να συνεχίσει από το τελευταίο σημείο που θα έχω αφήσει. Αν δείξουμε ότι $f(b)\geq f(a)$ θα έχουμε τελειώσει γιατί αν $\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b],x_{1}<x_{2}$ κάνουμε τα ίδια στο διάστημα $ [x_{1},x_{2}]$ Εστω $\displaystyle A=\left \...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Εύρεσης αύξουσας
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 320

Re: Εύρεσης αύξουσας

Βάζω λύση.Κατασκευή μάλλον είναι το σωστότερο. Θεωρούμε μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών $(G_n)$ ώστε $E\subseteq G_n,|G_n|< \frac{1}{2^{n}}$ Θέτουμε $\displaystyle f_{n}(x)=|[a,x]\cap G_n|,x\in [a,b]$ Αυτή είναι μη αρνητική ,συνεχής,αύξουσα και $\displaystyle f_{n}(x)<\frac{1}{2^{n}}$ Αν θέσουμε $\d...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύρεση παραμέτρων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 151

Re: Εύρεση παραμέτρων

Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \left ( \alpha x + \beta x^2 \right ) \cos \nu x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\nu^2} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \in \mathbb{N}^*}$ Εκτός φακέλου πάρα πολύ . Συνοπτικά. Αν επεκτείνουμ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιουν 28, 2020 6:20 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Σημεία στη σφαίρα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 261

Re: Σημεία στη σφαίρα

(α) Έστω $0<\varepsilon<\sqrt{2}$ και $x_1,\ldots,x_N$ σημεία στην ευκλείδεια μοναδιαία σφαίρα $S^{k-1}=\{x\in \mathbb R^k : \|x\|_2=1\}$. Αν ισχύει $\|x_i-x_j\|_2\geq \varepsilon$ για $i\neq j$, τότε $N\leq e^{2k/\varepsilon}$. (β) Έστω $x_1,\ldots,x_N$ σημεία στην $S^{k-1}$. Αν ισχύει $\|x_i-x_j\...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιουν 22, 2020 10:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 878

Re: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου

. Η απόδειξη (εκτός από τα αρχικά) πάει σε δύο βήματα. 1)Αποδεικνύουμαι ότι μια κορυφή του τετραγώνου είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. 2))Αποδεικνύουμαι ότι και δεύτερη κορυφή είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Απόδειξη του 1) Εστω $ABCD$το τετράγωνο και $O$ το κέντρο του κύκλου. Εστω $K$...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Πανελλήνιες Εξετάσεις
Θέμα: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 6425

Re: Μαθηματικά προσανατολισμού 2020 (Θέματα & Λύσεις)

για να δούμε το θέμα Γ των παλαιών με ματιά γεωμετρίας. Εχει δώσει την $\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{x-3}$ Είναι $\displaystyle f(x)=\frac{3(x-3)+10}{x-3}=3+\frac{10}{x-3}$ Για να δούμε τι κάνουν οι συναρτήσεις τις μορφής $\displaystyle f(x)=a+\frac{b}{x-a}$ με$ b\neq 0$ Αν θέσουμε $\displaystyle ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 878

Re: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου

Ας ξεκινήσω την απόδειξη. Θα την γράψω αναλυτικά για να είναι πλήρης. Δεν θα γράψω μόνο τους υπολογισμούς που εγραψε ο Γιώργος Ρίζος. Μια βασική παρατήρηση είναι: Αν $K$ είναι ένα σημείο μέσα σε ένα κύκλο τότε η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της απόστασης του από την περιφέρεια του κύκλου είναι στα ση...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020
Απαντήσεις: 34
Προβολές: 2498

Re: Για το λάθος ΘΕΜΑ Γ, ΠΑΛΑΙΟ, 2020

Διευκρινήσεις για το Θέμα Γ. Η γωνία $A$ (οξεία ή μη) ονομάστηκε $\theta$. Κατόπιν σχεδιάστηκε ένα σχήμα μπούσουλας για την λύση όπου η $A$ είναι η περίπτωση της οξείας (ένα από όλα θα ήταν, και ο σχεδιασμός οξείας είναι νόμιμος). Στο σχήμα φαίνειται και η εξωτερική γωνία του τριγώνου $ABO$, η οποί...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιουν 20, 2020 6:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 878

Re: αποστάσεις κορυφών τετραγώνου από σημεία κύκλου

Θα ξεκινήσω να γράφω. Δεν ξέρω πότε θα τελειώσω. Αρχικά να πω ότι η αρχική μου σκέψη ήταν ότι εκεί που λαμβάνεται το μέγιστο και ελάχιστο το τετράγωνο θα είχε δύο πιθανές θέσεις. Το κέντρο του είναι το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα μιας πλευράς είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Τελικά ισχύει το δε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση