Εστω $X$ χώρος με νόρμα. Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$ Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \} $ με $x_{n}\rightarrow 0$ Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$ αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ με $a_{n}...

Για ποιές μη αρνητικές τιμές των $x,y,z$ ικνανοποιείται η ισότητα $\sqrt{x+y+z} + \sqrt{y+z}+\sqrt{z} = \sqrt{x+4y+9z}$ ; Για Θαλή/Ευκλείδη Γ' Λυκείου Θέτουμε $a=x+y+z , b=y+z ,c=z$ οπότε γίνεται $\sqrt{a} + \sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{a+3b+5c}$(1) επίσης είναι $a\geq b\geq c\geq 0$ Αν $a=0$ τότε έχο...

Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$. Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$ Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας: Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln...

Σας ευχαριστώ όλους για τις ευχές σας.
Χ Ρ Ο Ν Ι Α Π Ο Λ Λ Α και από μένα στους εορτάζοντες του .

Η αρχική διατύπωση είναι τελείως παραπλανητική. Αφού δεν την βρίσκει κανείς γράφω μια λύση. Να σημειώσω ότι την ξέρω από το 1975.Την έχω συναντήσει πολλές φορές κυρίως ως σχολική. Για $x+\frac{1}{2},x-\frac{1}{2}$ η σχέση γράφεται $\displaystyle f(x+\frac{1}{2})-f(x-\frac{1}{2})=f'(x)$ Το αριστερό μ...

Έστω $A, B \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{R} \right)$ και $\mathrm{rank}(B)=1$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\det \left ( A + B \right) \det \left ( A - B \right ) \leq \left ( \det A \right )^2}$ Αφού $\mathrm{rank}(B)=1$ θα είναι $B=PKP^{-1}$ οπου ο $K$ εχει μόνο την πρώτη στήλη μη μηδενική. ...

Λίγο διαφορετικά ως προς το δεύτερο του Γιώργου. Όπως ο Γιώργος το $f[\mathbb R^n]$ ανοικτό. Θα δείξω ότι είναι και κλειστό. Εστω $y_{k}\in f[\mathbb R^n],k\in \mathbb{N}$ με $y_{k}\rightarrow y$ το σύνολο $K=\left \{ y_{k}:k\in \mathbb{N} \right \}\cup \left \{ y \right \}$ είναι συμπαγές. Αν $f(x_...

Έστω $\mathcal{F}$ η οικογένεια των παραγωγίσιμων συναρτήσεων $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε ζευγάρι $x, y \in \mathbb{R}$ να ισχύει: $\displaystyle{\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'\left(\frac{x+y}{2}\right)}$ Δείξατε ότι κάθε συνάρτηση στο $\mathcal{F}$ είναι $\mathcal{C}^\inf...

Ο γεωμετρικός τόπος του $M$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για $-1\leq x\leq 0$. Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς. Αυτό ακριβώς είναι Σταύρο, για $A(0,0), B(1,0).$ Δεν μπόρεσα πάντως να βρω Ευκλείδεια λύση Γιώργο έβαλα παραπάνω την λύση με μιγαδικούς. Νομίζω ότι μπορεί να ''με...

Ο γεωμετρικός τόπος του $M$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα της ευθείας $\sqrt{3}y+2x=1$ για $-1\leq x\leq 0$. Η απόδειξη είναι με μιγαδικούς. Στο $0$ θέτουμε το $A$ και στο $1$ το $B$ Εστω $z$ το σημείο $L$ $w$ το σημείο $N$ $w_{1}$ το σημείο$M$ επίσης το $0\leq a\leq 1$ είναι το σημείο $K$ Είναι $w=a+(z...

Κατασκευή ρόμβου.2.png Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του $M$ αν ο ρόμβος είναι $KLNM;$ ( Δεν έχω λύση ). Γεια σου Γιώργο . Αν θεωρήσουμε το $K$ σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους. Τότε το $M$ θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας $By$ στραμμένης δεξιόστροφα κατά $60$ μοίρες με κέντρο τ...

Πρακτικά, όταν $b=-\infty$ η παραπάνω πρόταση είναι η «γενίκευση» του λήμματος Stolz-Cesaro για συναρτήσεις, εξ ου και οι ομοιότητες στις δύο αποδείξεις. Επειδή εγώ δεν γνωρίζω το λήμμα Stolz-Cesaro θα γράψω πώς προκύπτει η ανισότητα σου όταν $b=-\infty$ Κάνω την δεξια . Από γενικευμένο θεώρημα μέσ...

Κατασκευή ρόμβου.2.png Πώς διαμορφώνεται ο γεωμετρικός τόπος του $M$ αν ο ρόμβος είναι $KLNM;$ ( Δεν έχω λύση ). Τα παρακάτω είναι λανθασμενα Γεια σου Γιώργο . Αν θεωρήσουμε το $K$ σταθερό τότε έχουμε ''πολλούς '' ρόμβους. Τότε το $M$ θα βρίσκεται σε μέρος της ημιευθείας $By$ στραμμένης δεξιόστροφα...

Ωραίο πρόβλημα. Έκανα κάποιες πρόχειρες σκέψεις για μία ειδική περίπτωση, αλλά πρώτα ας παρουσιάσω το γενικό μου σκεπτικό. Λοιπόν, ας υποθέσουμε ότι (εφ' όσον η $g$ έχει θετική παράγωγο, θα είναι γνησίως αύξουσα, άρα το όριό της στο 0 θα υπάρχει - είτε αριθμός είτε $-\infty$.): $a=\lim\limits_{x\to...

Ενδιαφέρον είναι ότι αν κοιτάνε τις μπάλες πάλι προκύπτει το ίδιο. Ο πρώτος παίκτης έχει πιθανότητα να κερδίσει στην πρώτη επιλογή $\frac{1}{k+1}$ στην τρίτη επιλογή $\frac{k}{k+1}\frac{k-1}{k}\frac{1}{k-1}=\frac{1}{k+1}$ και το αποτέλεσμα είναι το ίδιο για τις επόμενες Ο δεύτερος έχει πιθανότητα να...

Το σημείο μπορεί να προκύψει σαν τομή της με την ευθεία που
είναι η στραμμένη αριστερόστροφα κατά
με κέντρο το .
Οι περιορισμοί για το προκύπτουν γιατί θέλουμε να υπάρχει τομή.

για σκέψου.
Αν
τότε τα είναι ίσα;
Μετά απλή λογική και απάντησες.

Αν και προσπάθησες με το tex δεν τα κατάφερες.
Χρησιμοποίησε τον EqEditor.Πανεύκολο είναι.

Ευχαριστώ πολύ για τις παραπομπές! Πράγματι, η ανάρτηση του demetres είναι αρκετά πλήρης. Ξεσκονίζοντας κάτι σημειώσεις μη συμβατικής ανάλυσης (είδα, μάλιστα, και σε μία από τις παραπάνω παραπομπές ένα link σε ένα paper), σκέφτηκα ότι, ίσως, η γενεσιουργός αιτία της δυσκολίας που μπορεί να έχει ένα...

Θεωρούμε τετράγωνο ABCD. Έστω P σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ABCD που βρίσκεται στο κυρτογώνιο τόξο AB (διαφορετικό από τα A και B). Έστω M το σημείο τομής της DP με τη διαγώνιο AC και N το σημείο τομής της CP με την AB. Να δείξετε ότι MN ∥ BD. 3. Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι α...

Ετσι όπως το έκανες δουλεύει και για μη αντιστρέψιμους. Το $0$ είναι ιδιοτιμή του $AB$ και $BA$ Αν$ a$ ιδιοτιμή με $a\neq 0$ του $AB$ τότε$ ABx=ax,x\neq 0$ Αρα και $Bx\neq 0$ Αλλά$ BABx=aBx$ που δείχνει ότι το$a$ ιδιοτιμή του$ BA$. Λόγω συμμετρίας έχουν τις ιδιες ιδιοτιμές. Μπορεί να αποδειχθεί οτι ...