Η αναζήτηση βρήκε 2039 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 17, 2018 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Το πολύ δύο κοινά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 127

Re: Το πολύ δύο κοινά σημεία

Για μη σχολικά μαθηματικά πρέπει να προστεθεί ότι τουλάχιστον μια είναι γνήσια κυρτή η κοίλη . Τότε η $h=f-g$ θα ήταν γνήσια κυρτή. Αλλά αφού η $h$ είναι γνήσια κυρτή θα έχουμε Για $a<b<c$ είναι $\displaystyle{ \dfrac {h(b)-h(a)}{b-a}<\dfrac {h(c)-h(b)}{c-b}}$ που δείχνει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 17, 2018 8:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τείνουμε στην εκθετική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 232

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Όχι Μιχάλη δεν την πάτησα. Είναι $\displaystyle{\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}\leq \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{k!}}=\frac{1}{n}e^{x}}$ Σταύρο, ίσως σε ερμηνεύω λάθος αλλά η απόδειξή μου δεν λέει αυτό. Λέει, αφού πολλαπλασιάσω επί $n$ τον τύπο...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 17, 2018 6:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τείνουμε στην εκθετική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 232

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Σταύρο, σωστά αλλά αν είναι να χρησιμοποιήσουμε την εναλλαγή ορίου και αθροίσματος που χρησιμοποιείς εδώ Από την παραπάνω βλέπουμε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$(1) τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε τα παρακάτω. Μπορούμε ήδη να ολοκληρώσουμε την απόδειξη από το προηγούμενο βήμα λέγοντας...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 17, 2018 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τείνουμε στην εκθετική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 232

Re: Τείνουμε στην εκθετική

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$ Από την παραπάνω βλέπουμε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$(1) Αλλά επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι $e^{x}=(xf(x))^{(n+1)}=xf^{(n+1)}(x)+(n+1)f^{(n)}(x)$(2) Παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ στην (2) και χρησιμοπ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 16, 2018 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ'
Θέμα: Ερώτηση για την παραγωγο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 109

Re: Ερώτηση για την παραγωγο

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].Μπορείτε να με βοηθήσετε να βρω ένα παράδειγμα με την πρώτη παράγωγο ασυνεχή στο (α,β); Ευχαριστώ Σχολικό βιβλίο . τέλος 2 κεφαλαίου ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑ Ασκηση 10 (174 σελ στο καινούργιο) Δείξε ότι παραγωγίζεται παντού και στο $0$ ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 16, 2018 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: αύξουσα και συνεχής
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 175

Re: αύξουσα και συνεχής

Κάποιες παρατηρήσεις στις λύσεις. Η συνάρτηση έχει δοθεί απλά αύξουσα. Το ότι και στις δύο λύσεις έχει θεωρηθεί ότι είναι γνησίως αύξουσα δεν παίζει ρόλο γιατί η $f(x)+x$ είναι γνησίως αύξουσα. Η λύση του Μιχάλη μας δίνει πληροφορίες για το που βρίσκεται το $x_{0}$. Βρίσκεται στο κλειστό διάστημα με...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 16, 2018 11:16 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 330

Re: Όριο ακολουθίας με νιοστή ρίζα

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $c>0$ είναι $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \left ( \frac {1+ \sqrt [n] c}{2} \right ) ^n= \sqrt c}$. (Γνωστή άσκηση αλλά ψάχνω απλούστερη απόδειξη από αυτήν που ξέρω). Αρκεί να δείξουμε ότι $a_{n}=(\dfrac{1+\sqrt[n]{c}}{2\sqrt[2n]{c}})^{n}\rightarrow 1$ Δηλαδή $\ln a_...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Δεκ 12, 2018 12:47 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόσοι εξαψήφιοι ;
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 287

Re: Πόσοι εξαψήφιοι ;

Αγαπητέ Πρόδρομε χαίρομαι που έχουμε άλλο ένα "δραστήριο" νεαρό μέλος στην παρέα μας! Αν και η άσκηση μου αρέσει αρκετά νομίζω ότι δεν είναι για αυτό το επίπεδο. Νομίζω πως είναι αρκετά εύκολη για αυτό το φάκελο! Για να χαρακτηρίσει κάποιος μια άσκηση απλή θα πρέπει να την έχει λύσει. Αφού αγαπητέ ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Δεκ 12, 2018 12:33 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Απόδειξη Wallis και Stirling
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 256

Re: Απόδειξη Wallis και Stirling

Γεια σου Σταύρο. Χάρηκα που τα είπαμε στην Αθήνα έστω και για ένα λεπτό. Ας ξεκινήσω με κάποια ερωτήματα. Τα άλλα θα τα παλέψω. 4. Για $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$ είναι $0 \leq \cos x \leq 1$ και $\cos^{2n}x \geq \cos^{2n+1}x \geq \cos^{2n+2}x $. Οπότε $\displaystyle{I_{2n} \geq I_{2n+1} \geq I_{2n...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Δεκ 11, 2018 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόσοι εξαψήφιοι ;
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 287

Re: Πόσοι εξαψήφιοι ;

Αγαπητέ Πρόδρομε χαίρομαι που έχουμε άλλο ένα "δραστήριο" νεαρό μέλος στην παρέα μας! Αν και η άσκηση μου αρέσει αρκετά νομίζω ότι δεν είναι για αυτό το επίπεδο. Νομίζω πως είναι αρκετά εύκολη για αυτό το φάκελο! Για να χαρακτηρίσει κάποιος μια άσκηση απλή θα πρέπει να την έχει λύσει. Αφού αγαπητέ ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Δεκ 11, 2018 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Απόδειξη Wallis και Stirling
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 256

Απόδειξη Wallis και Stirling

Θεωρούμε τα ολοκληρώματα $\displaystyle{ I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x)^{n} dx}$ 1)Δείξτε ότι $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ 2)Χρησιμοποιώντας το 1) δείξτε ότι $\displaystyle{I_{2n}=\frac{(2n-1)(2n-3)...1}{2n(2n-2)...2}\frac{\pi }{2}}$ και $\displaystyle{I_{2n+1}=\frac{(2n)(2n-2)...2}{(2n+1)(...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Δεκ 11, 2018 9:07 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Να συγκλίνει σε άρρητο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 297

Re: Να συγκλίνει σε άρρητο

Αυτό δεν το γνώριζα. Εχει όμως ενδιαφέρον το εξής. Εστω η συγκλίνουσα σειρά $\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}$ με την ακολουθία $(a_{k})_{k\in \mathbb{N}}$ να έχει τις ιδιότητες 1)Είναι φθίνουσα και $a_{k}> 0$ 2)Για $n\in \mathbb{N}$ έχουμε ότι $a_{n}\leq \sum_{k=n+1}^{\infty }a_{k}$ Αν $\sum_{k=1}^{\infty...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 10, 2018 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σπάσιμο μετρήσιμης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 161

Re: Σπάσιμο μετρήσιμης

Επαναφορά.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 10, 2018 12:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 319

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Β΄ Λυκείου

Πρόβλημα 2 Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(f(x)+y)=x+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x, y\in\mathbb{R}}$. Να αποδείξετε ότι: i. Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$. ii. $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$, για κάθε $\displays...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 10, 2018 12:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 226

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Γ΄ Λυκείου

Πρόβλημα 2 i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός $\displaystyle{p>3}$ γράφεται ως $\displaystyle{p=3k+1}$ ή $\displaystyle{p=3k+2}$, για κάποιον θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$. ii. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{a=p+2, b=p^2+2p-8, c=2^p+p^2}$, όπου $\displaystyle{p}$ πρώτος αριθμός. Να βρ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 09, 2018 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστο γινομένου
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 521

Re: Μέγιστο γινομένου

Ας γράψω και εγώ μια εκτός φακέλου. Ειναι φανερό ότι η συνθήκη του προβλήματος ισχύει αν και μόνο αν $\left | a+b \right |\leq 1,\left | b \right |\leq 1$ Αν κάνουμε ένα σχήμα θα δούμε ότι τα $a,b$ βόσκουν σε ένα τετράγωνο με κορυφές τα σημεία $(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)$ Μεσα σε αυτό θέλουμε να μεγι...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 09, 2018 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 475

Re: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

Για να το δούμε λίγο διαφορετικά. Θα παραλείψω κάποιες πράξεις. Εστω ότι υπάρχουν τα τριώνυμα. Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι θα υπάρχουν τρία τριώνυμα που η σύνθεση τους θα έχει ρίζες τα $-7,-5,-3,-1,1,3,5,7$ παίρνουμε τον μετασχηματισμό $2x-9$ Η δεύτερη παρατήρηση είναι ότι επειδή η σύνθεση των τριω...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 09, 2018 4:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ικανή συνθήκη για tightness
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 264

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

v2gls έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 2:15 pm
θέτουμε  M = \sup \int f d \mu_n < \infty και για σταθερό \epsilon >0 θέτουμεK_\epsilon = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \} ?
Ακριβώς.
Αν θες γράψε πλήρως την λύση.
Δεν είναι τίποτα.
Αυτό και η ανισότητα στο προηγούμενο ποστ είναι.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:27 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 442

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Υπάρχουν αρκετές λύσεις. Λόγω φακέλου θα πρότεινα την εξης. Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{7}$ στο γινόμενο $(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)=(1-x)^{-4}$ Αλλά $(1-x)^{-4}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-4}{k}x^{k}$ (γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα) Α...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:22 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Δύσκολη σε απείρως παραγωγίσιμη
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1578

Re: Δύσκολη σε απείρως παραγωγίσιμη

Έστω $f: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb R$ άπειρα παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f^{(n)}(0) = 0$ και $f^{(n)}(x) \ge 0$ για κάθε n = 0, 1, 2, ... και x στο πεδίο ορισμού. Δείξτε ότι f = 0. Μερικά σχόλια. Η άσκηση προέκυψε με αφορμή πρόσφατο πρόβλημα του papel, στο mathematica. Υπόψη, αν η f ήταν ορισ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση