Μέγιστο εμβαδόν 58.png$\bigstar$ Η $BC$ είναι μεταβλητή χορδή του κύκλου $(O,8)$ . Το $A$ είναι ένα σημείο κατακόρυφα πάνω από το $O$ , τέτοιο ώστε : $OA=6$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ . Δεν καταλαβαίνω γιατί σε αυτόν τον φάκελλο. Τα τμήματα $AC,AB$ είναι σταθερά και ίσα. Το ...

Να βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού $\displaystyle k$ ώστε $\displaystyle sinx+sin2x+sin3x<k$ Διορία 48 ώρες Με αρκετή δουλεία μπορεί να υπολογισθεί η μέγιστη καθώς και η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle sinx+sin2x+sin3x$ Η παράγωγος της είναι τριτοβάθμια ως προς $ \cos x$ Ετσι μπορ...

15) Υπολογίστε το $\bigintsss_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2} dx$ όπου $a \in \mathbb{R}$ και $a \neq 0$. Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x \sin x}{x^2+a^2}\, \mathrm{d} x &= \int_{0}^{\infty} \sin x \int_{0}^{\infty} e^{-x t} \cos a t \, \mathrm{d}t \...

17) Έστω $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι το γράφημα της συνάρτησης έχει μέτρο Lebesgue(δύο διαστάσεων) 0. Για Riemann ολοκληρώσιμη είναι τετριμμένο. Για $\epsilon >0$ βρίσκουμε διαμέριση $ P$ με $U(f,P)-L(f,P)< \epsilon$ κλπ. Ενδιαφέρον έχει αν η $f$ είναι απλώς ...

stranger έγραψε: ↑

Κυρ Φεβ 28, 2021 11:00 pm

16) Έστω με .
Έστω ολοκληρώσιμη κατά Lebesgue στο . Δείξτε ότι .

Το καλό ερώτημα είναι.
Ισχύει το παραπάνω αν έχουμε ολοκλήρωμα Riemann ;
(εννοείτε γενικευμένο)

stranger έγραψε: ↑

Κυρ Νοέμ 22, 2020 3:13 pm

9) Δείξτε ότι κάθε μετρικός χώρος είναι τοπολογικός χώρος.

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_space

Επειδή σε κάθε μετρικό χώρο τα κλειστά είναι
αυτός είναι completely normal

stranger έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 25, 2021 7:43 pm

22) Έστω μια ομάδα περιττής τάξης. Δείξτε ότι η απεικόνιση είναι αυτομορφισμός της .
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση για πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το .

Κάτι δεν πάει καλά.
Μήπως παραλείφθηκε το Αβελιανή ;

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta, \gamma , \delta$ ώστε $\displaystyle{\left ( 2x-1 \right )^{20} - \left ( \alpha x + \beta \right )^{20} = \left ( x^2 + \gamma x + \delta \right )^{10}}$ Η σχέση γράφεται $\displaystyle{\left ( 2x-1 \right )^{20} = \left ( \alpha x + \beta \right )...

Δίδεται το γράφημα της $f'$ μιας συνεχούς συνάρτησης $f$ στο $[-1, 6]$. Screenshot_2021-02-18 Το γράφημα της παραγώγου ιδιότητες και ιδιαιτερότητες.png Να βρεθεί ( αν υπάρχει ) το όριο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$. Να μελετηθεί η $f$ ως προς τα κοίλα και τα σημεία κα...

Δεν λύθηκε η εικασία.
Για μεγάλα το κάνανε.
Ειναι πολύ πιθανόν η λύση για όλα τα
να είναι πολύ δυσκολότερη.
(έχει συμβεί σε άλλες εικασίες).

Να σημειώσω το εξής Ισχύει Αν $X$ μετρικός χώρος και κάθε $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ είναι φραγμένη τότε ο $X$ είναι συμπαγής. Δεν ισχύει για τοπολογικούς χώρους το παραπάνω. Οι τοπολογικοί χώροι που είναι Hausdorff και ισχύει λέγονται pseudocompact. Η απόδειξη πάει ως εξής για τους μετρικούς χώρου...

Έστω $f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο $f(x) = x \left( 1 +\cos x \right)$ την οποία επεκτείνουμε $2\pi$-περιοδικά σε ολόκληρο το $\mathbb{R}$. Να υπολογιστoύν τα αθροίσματα $\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_...

Για να το δούμε διαφορετικά. Ο πίνακας $A$ σαν unitary είναι κανονικός . Αρα υπάρχει ορθοκανονική βάση από ιδιοδιανύσματα. Επίσης κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο $1$. Εστω τα ιδιδιανύσματα $e_1,e_2,....e_k$ της ιδιοτιμής $1$ και $e_{k+1},.....e_n$ τα ιδιοδιανύσματα των ιδιοτιμων $l_{k+1},.....l_n$ Είνα...

Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f για την οποία ισχύει ${e^{f(x)}} = 1 + f'(x)$ Με πολλή επιφύλαξη... $\displaystyle{\begin{aligned} e^{f(x)} =1+f'(x) &\Rightarrow \frac{f'(x)}{e^{f(x)} -1} = 1 \\ &\Rightarrow \frac{e^{f(x)} f'(x)}{e^{f(x)} \left ( e^{f(x)} -1 \right )} =1 \\ &\Rightarrow \int \fr...

Καλησπέρα! Μια προσπάθεια: Ο πίνακας $A$ είναι διαγωνιοποιήσιμος ως συμμετρικός. Άρα, ο $B=P^{-1}AP$ είναι διαγώνιος για κάποιο αντιστρέψιμο πίνακα $P$. Τότε $B^2=P^{-1}A^2P$ και $B^3=P^{-1}A^3P$. Αν $x_{1},...,x_{n}$ τα διαγώνια στοιχεία του $B$, τότε $x_{1}^2,x_{2}^2,...,x_{n}^2$ τα διαγώνια στοι...

Απάντηση στον Προβληματισμό : Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : [0, 1] \rightarrow [0,1]}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)}, 0 < x \leqslant 1}$ και $\displaystyle{f(0) = \frac{1}{2}}$. Η οποία στέλνει συνεκτικό σύνολο (διάστημα) σε συνεκτικό σύνολο (διάστημα), αλ...

Αν γίνεται, θα με ευχαριστούσε να μου παρουσιάζετε αυτό που έχετε σαν αντιπαράδειγμα στο προβληματισμό μου. Η συνάρτηση $\displaystyle{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = - \cos{\Big( \frac{1}{x} \Big)} + 2 \cdot x \cdot \sin{\Big( \frac{1}{x} \Big)} , x \neq 0}$ κ...

Το πρώτο πράγμα που έκανα είναι αυτό που αναφέρετε, αλλά δεν μπόρεσα να το αποδείξω κάπως. Μπορείτε να με βοηθήσετε $;$ Έκανα κάποιες απόπειρες αλλά δεν οδήγησε κάπου. Έστω και λίγο συνεχής να είναι αυτή η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ καταρρέει την ιδιότητα που θέσαμε παραπάνω δηλαδή το σύνολο $\di...

Θέτω παρακάτω ένα προβληματισμό μου, στον οποίο θέλω να με βοηθήσετε στην απάντησή του. Προβληματισμός : Έστω οι μετρικοί χώροι $\displaystyle{\big( X, d \bigG)}$ και $\displaystyle{\big( Y, \rho} \bigG)}$. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f : X \rightarrow Y}$ με την εξής ιδιότητα : αν το $\d...

Έστω $E$ ένα συνεκτικό σύνολο, αν $f(E)$ είναι επίσης συνεκτικό για κάθε $E$ είναι η $f$ συνεχής ? Ισχύει αυτό ? υπάρχει κάποιος περιορισμός που να μας την κάνει συνεχή ? η υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα ? Η ερώτηση δεν είναι δίκια μου την έκανε ένας συμφοιτητής μου στο σημερινό μάθημα και τη βρήκα ...