Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}$ Δεν καταλαβαίνω το νόημα της ανάρτησης. Είναι $\cos 54=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ και $\sin 27=\sqrt{\frac{1-\cos 54}{2}}$ Αντικαθιστούμε κάνουμε τις πράξεις και βλέπουμε ότι ισχύει. Δεν νομίζω ότι θα...

Καλησπέρα, ήθελα να κάνω μια απλή ερώτηση όσον αφορά την απόδειξη του ολοκληρωτικού τύπου cauchy $f(z_0)=\frac{1}{2 \pi i}\cdot \oint _C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ Λέει οτι αφού η f είναι ολόμορφη στο Ω το οποίο είναι απλά συνεκτικό - αρα και στο εσωτερικό της απλής κλειστής καμπύλης C μέσα στο Ω - και ...

Καλησπέρα πως αποδεικνύω το εξής χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz Για $\alpha,\beta>0$ και $n\in\mathbb{N}$ ΝΔΟ $(n-1)\,\alpha^n+\beta^n\geqslant n\,\alpha^{n+1}\beta$. 1)Δεν μπορείς να το αποδείξεις γιατί δεν ισχύει. Πάρε $n=2,\beta =1,\alpha =10$ 2)Μάλλον ήθελες να γράψεις την ανισότη...

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την $Q(x^2)=Q(x)^2$ (*) όπου $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$ με $a_0\ne 0$, $n\geq 1$. Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond , των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως...

Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον $\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b,c>0.}$ Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq...

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας το...

πρόβλημα 1 Α-Λυκείου. Αν θέσουμε $t=\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$ ευκολα προκύπτει ότι $t=\frac{3}{2},t=\frac{2}{3}$ Χρησιμοποιώντας ότι $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)=a^{2}+b^{2}-ab$ H $t=\frac{3}{2}$ δίνει $2(a^{2}+b^{2}-ab)=3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow x=-2$ Τότε όμως θα είναι $(a+b)^2=0$ κα...

πρόβλημα 2 Β-Λυκείου. Το πολυώνυμο είναι ομογενές. Είναι θέτοντας $r=\frac{y}{x}$ $P(x,y)=x^{7}(1+r+...+r^{7})=x^{7}\dfrac{r^{8}-1}{r-1}=x^{7}(r^{4}+1)(r^{2}+1)(r+1)$ επειδή $r^{4}+1=(r^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}r)^{2}=(r^{2}+1+\sqrt{2}r)(r^{2}+1-\sqrt{2}r)$ τελικά έχουμε $P(x,y)=(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2}xy)(...

Πρόβλημα 3 Γ-Λυκείου. Το κάνω και για μιγαδικά. Αν θέσω $g(x)=P(x)-1$ τότε $g(x^{2})=(g(x))^{2}$ Αν $g(x)$ σταθερό όλα εύκολα. Αν όχι παρατηρούμε ότι αν $r$ ρίζα του τότε και $r^{2},r^{\frac{1}{2}}$ είναι ρίζες του. Από το τελευταίο συμπεραίνουμε (γιατί ; ) ότι μοναδική του ρίζα είναι το $0$. Αρα $P...

KARKAR έγραψε: ↑

Παρ Ιαν 17, 2020 9:35 pm

Βρείτε δύο ζεύγη θετικών ακεραίων για τους οποίους

να υπάρχουν πραγματικοί , ώστε να ισχύουν :

. Υπάρχουν άραγε άλλα τέτοια ζεύγη ;

Γιατί οι μιγαδικοί στο πηγάδι κατούρισαν;

Ίδια με την επόμενη.

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.$ Μία λύση ως προς τον υπολογισμό. $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \,...

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \...

Φυσικά.
με περιόδους τις

Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_...

Καλησπέρα :logo: και καλή χρονιά σε όλους. Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα π...

Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2 $ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$ ...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο... Με την πρ...

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Τετ Ιαν 08, 2020 10:01 pm

Nikos127 έγραψε: ↑

Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm

Να βρεθεί το μήκος του τόξου της για αν

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;

Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......

Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $A$ το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το $ x_A(x)=x-x^3$ Από Θεώρημα C-H $ x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$ Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3 $A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$ $A...

Επαναφορά.