Η αναζήτηση βρήκε 2730 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 25, 2020 9:10 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Τιμή τριγωνομετρικού
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 89

Re: Τιμή τριγωνομετρικού

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sin 27^\circ = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}}{4}}$ Δεν καταλαβαίνω το νόημα της ανάρτησης. Είναι $\cos 54=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ και $\sin 27=\sqrt{\frac{1-\cos 54}{2}}$ Αντικαθιστούμε κάνουμε τις πράξεις και βλέπουμε ότι ισχύει. Δεν νομίζω ότι θα...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 254

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Καλησπέρα, ήθελα να κάνω μια απλή ερώτηση όσον αφορά την απόδειξη του ολοκληρωτικού τύπου cauchy $f(z_0)=\frac{1}{2 \pi i}\cdot \oint _C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ Λέει οτι αφού η f είναι ολόμορφη στο Ω το οποίο είναι απλά συνεκτικό - αρα και στο εσωτερικό της απλής κλειστής καμπύλης C μέσα στο Ω - και ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιαν 23, 2020 9:15 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ανισότητα - Cauchy Schwarz
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 208

Re: Ανισότητα - Cauchy Schwarz

Καλησπέρα πως αποδεικνύω το εξής χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz Για $\alpha,\beta>0$ και $n\in\mathbb{N}$ ΝΔΟ $(n-1)\,\alpha^n+\beta^n\geqslant n\,\alpha^{n+1}\beta$. 1)Δεν μπορείς να το αποδείξεις γιατί δεν ισχύει. Πάρε $n=2,\beta =1,\alpha =10$ 2)Μάλλον ήθελες να γράψεις την ανισότη...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιαν 21, 2020 9:12 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4477

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Όπως και πριν, θέλουμε να λύσουμε την $Q(x^2)=Q(x)^2$ (*) όπου $Q(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x^1+a_n$ με $a_0\ne 0$, $n\geq 1$. Μπορούμε να προσαρμόσουμε τη λύση του προβλήματος 167, του Putnam and Beyond , των T. Andreescu, D. Andrica, 1st edition, σελ. 397, ως...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιαν 19, 2020 4:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Re: Ανισότητα!

Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον $\displaystyle{\color{blue}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)}}$ για κάθε $\displaystyle{a,b,c>0.}$ Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle{\color{red}\boxed{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4477

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας το...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4477

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

πρόβλημα 1 Α-Λυκείου. Αν θέσουμε $t=\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$ ευκολα προκύπτει ότι $t=\frac{3}{2},t=\frac{2}{3}$ Χρησιμοποιώντας ότι $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)=a^{2}+b^{2}-ab$ H $t=\frac{3}{2}$ δίνει $2(a^{2}+b^{2}-ab)=3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow x=-2$ Τότε όμως θα είναι $(a+b)^2=0$ κα...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4477

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

πρόβλημα 2 Β-Λυκείου. Το πολυώνυμο είναι ομογενές. Είναι θέτοντας $r=\frac{y}{x}$ $P(x,y)=x^{7}(1+r+...+r^{7})=x^{7}\dfrac{r^{8}-1}{r-1}=x^{7}(r^{4}+1)(r^{2}+1)(r+1)$ επειδή $r^{4}+1=(r^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}r)^{2}=(r^{2}+1+\sqrt{2}r)(r^{2}+1-\sqrt{2}r)$ τελικά έχουμε $P(x,y)=(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2}xy)(...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 4477

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Πρόβλημα 3 Γ-Λυκείου. Το κάνω και για μιγαδικά. Αν θέσω $g(x)=P(x)-1$ τότε $g(x^{2})=(g(x))^{2}$ Αν $g(x)$ σταθερό όλα εύκολα. Αν όχι παρατηρούμε ότι αν $r$ ρίζα του τότε και $r^{2},r^{\frac{1}{2}}$ είναι ρίζες του. Από το τελευταίο συμπεραίνουμε (γιατί ; ) ότι μοναδική του ρίζα είναι το $0$. Αρα $P...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Ιαν 17, 2020 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κατά ζεύγη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 147

Re: Κατά ζεύγη

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 17, 2020 9:35 pm
Βρείτε δύο ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) για τους οποίους

να υπάρχουν πραγματικοί (x,y) , ώστε να ισχύουν :

\left\{\begin{matrix} 
x+y &=a \\  
x^2+y^2 &=b \\  
 x^3+y^3& =a+b 
\end{matrix}\right. . Υπάρχουν άραγε άλλα τέτοια ζεύγη ;
Γιατί οι μιγαδικοί στο πηγάδι κατούρισαν;
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Ιαν 17, 2020 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κατά ζεύγη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 147

Re: Κατά ζεύγη

Ίδια με την επόμενη.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιαν 16, 2020 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 316

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.$ Μία λύση ως προς τον υπολογισμό. $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \,...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιαν 16, 2020 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 653

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιαν 14, 2020 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 206

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Φυσικά.f(x)=\sin x
με περιόδους τις 18\pi,20\pi
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιαν 13, 2020 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 653

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιαν 13, 2020 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρές Fourier
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 178

Re: Σειρές Fourier

Καλησπέρα :logo: και καλή χρονιά σε όλους. Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα π...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύρεση τύπου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 257

Re: Εύρεση τύπου

Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2 $ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$ ...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο... Με την πρ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιαν 08, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μήκος τοξου
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 388

Re: Μήκος τοξου

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 10:01 pm
Nikos127 έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm
Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;
Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιαν 08, 2020 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Δυνάμεις πίνακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 155

Re: Δυνάμεις πίνακα

Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $A$ το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το $ x_A(x)=x-x^3$ Από Θεώρημα C-H $ x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$ Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3 $A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$ $A...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση