Καλησπέρα! Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε. $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε) H λύση μου. Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$. Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) ε...

Καλησπέρα! Εχω ενα πρόβλημα σε αυτή την εξίσωση και θα ήθελα την βοήθεια σας όταν μπορείτε. $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}= x$ (Ε) H λύση μου. Το σύνολο ορισμού της (Ε) όπως προκύπτει απο τους περιορισμούς είναι το $D=\left [ -2,2 \right ]$. Αν ένας αριθμός $x \in \left [ -2,0 \right ]$ τότε η (Ε) ε...

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial Παίρνοντας τα $l_{i}(x)$ στα σημεία $x_{i}=i,i=0,1,.....,n$ η μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής δίνει $\sum_{i=0}^{n}l_{i}(x)=1$ Αυτή είναι η σχέση που θέλει ο Τόλης. Ας την γράψει σωστά να μην ταλαιπωρούμαι. συμπλήρωμα. Αλλαξα το $n-1$ σε $n$ ώ...

Το κλειδί για τη γενική περίπτωση είναι αυτή η ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{(n-1)\left ( n-1-x \right )\cdots (1-x) \cdot x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{x-k} \cdot \frac{(-1)^k}{n!} \binom{n}{k}}$ η οποία είναι άμεση συνέπεια του Residue Theorem. Τα υπόλοιπα κυλούν ομαλά. Δεν νομίζω να ισχύει.

Έστω $x \in \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \cap \mathbb{Q}$. Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ είναι υπερβατικός πάνω από το $\mathbb{Q}$. Αν θέσουμε $f(x)={\frac{\log (1-x)}{\log x}}$ τότε το $f((\frac{1}{3},\frac{2}{3}))$ είναι διάστημα αφού η συνάρτηση...

Θα δείξω το γενικότερο Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} $ συνεχής συνάρτηση. Εστω $A\subseteq [a,b]$ αριθμήσιμο σύνολο. Αν για κάθε $x\in [a,b]-A$ είναι $f'(x)\geq 0$ να δειχθεί ότι η $f$ είναι αύξουσα. Σαν πόρισμα του παραπάνω θα δειχθεί το ζητούμενο. Εστω $A=\left \{ q_{n}:n\in \mathbb{N} \righ...

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$ Θα δείξω κάτι γενικότερο Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{...

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$ Θα δείξω κάτι γενικότερο Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{...

Να λυθεί, ως προς χ, η εξίσωση: $3sina cosx-cosa sinx =4cosa+ 3\sqrt{3}$ Καμμιά καλή ιδέα;; :idea: :P Γεια σου Κώστα. Είναι γνωστό ότι η $A\cos x+B\sin x=C$ έχει λύση αν και μόνο αν $A^{2}+B^{2}\leq C^{2}$ αντικαθιστώντας και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι $\cos a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ Ετσι $\si...

Τὰ ἀνοικτὰ διαστήματα $I_n$, $n\in\mathbb N$, $J_x$, $x\in [0,1]\setminus A$, ἀποτελοῦν ἀνοικτὸ κάλυμμα τοῦ συμπαγοῦς $[0,1]$. Ἄρα ὑπάρχει πεπερασμένο ὑποκάλυμμα: $K_1,\ldots, K_m$. Διατάσσομε τὰ $K_j=(r_j,s_j)$, ($K_1=[0,s_1),\,K_n=(r_n,1]$), ὥστε: $\displaystyle{ 0<r_2<s_1<s_2<\cdots<r_j<r_{j+1}<...

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακολουθίες $\rm (a_n),(b_n),(c_n)$ για τις οποίες να ισχύει για κάθε $\rm n\geq 1$: $\bullet$ $\rm c_n>0$ $\bullet$ $\rm a_n<b_n$ $\bullet$ $\rm a^4_n-2019a_n=b^4_n-2019b_n=c_n$ ώστε $\displaystyle{\rm \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt {c_n}}{a_nb_n}}=-1$ Πολλές υπάρχουν. ...

Νομίζω ότι επαγωγικά μπορεί να αποδειχθεί ότι :

Αν με

τότε για κάθε

είναι






Χρησιμοποιώντας το παραπάνω είναι τετριμμένη.

Επαναφορά.

Να βρεθεί το άθροισμα όλων των θετικών ακεραίων α που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός: $lna$ Να ανήκει στους ακεραίους. Είναι φανερό ότι αν $\ln a=k.k\in \mathbb{Z}$ τότε $a=e^{k},k\in \mathbb{Z}$ Για $k=0$ έχουμε $a=1$ Για $k\in \mathbb{Z},k\neq 0$ το $e^{k}$ δεν μπορεί να είναι ακέραιος. Γιατί αν ήτ...

Με αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... =9&t=64775

Εστω

συνεχής συνάρτηση.

Εστω αριθμήσιμο σύνολο.

Αν για κάθε

είναι

να δειχθεί ότι η είναι σταθερή.

Καλησπέρα, μπορούμε γενικά αν γνωρίζουμε τον τύπο της σύνθεσης της συνάρτησης $f$ με τον εαυτό της,να μπορούμε να βρούμε και τον τύπο της $f$; Όχι δεν μπορούμε ούτε καν να το σκεφτόμαστε. Πχ Αν $f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )$ με $f(x)=\frac{1}{x}$ και Αν $g:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )...

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 05, 2019 2:03 pm

Συνοψίζοντας λοιπόν, η απάντηση στο ερώτημα είναι πως δεν έπεται υποχρεωτικά ότι η είναι σταθερή; Κατάλαβα καλά;

Πολύ καλά κατάλαβες.

Σταύρο μπορούμε να έχουμε πλήρη λύση για να την ανανεώσω στο περιοδικό αλλά και στο blog ; Τόλη μια πλήρης λύση θα ήταν Παίρνοντας το αποτέλεσμα από το http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=emj&paperid=133&option_lang=eng (υπάρχει όλη η εργασία) με μια συναρτηση της μορφής $Ax+B...

Το βασικό (και δύσκολο) είναι το εξής Αν $a< b$ πραγματικοί και $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ μια ακολουθία με $a< a_{n}< b$ τότε υπάρχει $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσημη γνησίως αύξουσα ώστε Για κάθε $n\in \mathbb{N}$ $a_{n}\in \left \{ x\in [a,b]:f'(x)=0 \right \}$ Εστω $q_{n},n\in \math...

Αντιπαράδειγμα στην αρχική άσκηση, αν καταλαβαίνω καλά, είναι η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης παραγώγου Pompeiu; Ακριβώς. Στον σύνδεσμο το προτελευταίο είναι ένα αναλυτικό άρθρο για το θέμα. https://www.google.gr/search?source=hp&ei=NfoeXfj2I8vQ6QSKvpqoBA&q=Pompeiu+example&oq=Pompeiu+example&...