Inked106095093_312867470115836_7557461194609314991_n (1)_LI.jpg Δεν καταλαβαίνω. Εφόσον δεν υπήρχε λύση γιατί δεν αναφέρθηκε αρχικά ; Επίσης τι σημαίνει ότι υπάρχει θέμα που δεν λύνεται ; Και στις Πανελλήνιες υπάρχουν θέματα που έχουν προβλήματα. Είναι πολύ πιθανόν μέσα στην εξέταση να δόθηκε διευκ...

Αν $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}+\frac{b(b^3+c^3)}{b^2+bc+c^2}+\frac{c(c^3+a^3)}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$ Αφαιρώντας και από τα δύο μέλη $a^2+b^2+c^2$, γράφουμε την ανισότητα: $\displaystyle{\sum_{\text{cyc}}\lef...

Για να δούμε πως μπορούμε να αποφύγουμε την Holder χρησιμοποιώντας μόνο C-S. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα $a_i,b_i,c_i$ μη αρνητικά. Γράφοντας $a_ib_ic_i=(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(a_ib_i)^{\frac{1}{2}}c_i$ η C-S δίνει $\displaystyle \sum a_ib_ic_i\leq (\sum a_ib_i)^{\frac{1}{2}}(\sum a_ib_ic_i^{2})^{\...

ΘΕΜΑ 4 Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f : \Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{|f(m) - f(n)| \leq 2015}$ για όλους τους ακεραίους $m$ και $n$ για τους οποίους $|m - n| \leq 2015.$ Αφου δημοσιεύθηκε λύση (δεν την έλεγξα ) ας περιγράψω την δική μου. Με $[a,b]$ συμβολίζ...

Χάνω κάτι; Από Holder: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_ib_ic_i \leq \sum_{i=1}^n |a_ib_ic_i|\leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)^{\frac{1}{4}}\left(\sum_{i=1}^n b_i^2c_i^4\right)^{\frac{1}{4}} = K_1^{\frac{1}{2}}K_2^{\frac{1}{4}}K_3^{\frac{1}{4}}}$ Τίποτα ...

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί...

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί...

Θεωρούμε τους πραγματικούς $a_{i},i=1,2,...,n$ $b_{i},i=1,2,...,n$ $c_{i},i=1,2,...,n$ όπου $n\in \mathbb{N},n\geq 2$ Αν $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=K_{1}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}=K_{2}$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}c_{i}^{4}=K_{3}$ $K_{1},K_{2},K_{3}>0$ να βρεθεί ...

Ανέμενα ότι θα δινόταν η πιο κάτω λύση: $\displaystyle 2(a+b+c)^2 = (b+c+a)((a+c)+(b+a)+(c+b)) \geqslant \left(\sqrt{ba+bc} + \sqrt{cb+ca} + \sqrt{ac+ab}\right)^2$ Το ζητούμενο τώρα προκύπτει παίρνοντας ριζικά και χρησιμοποιώντας ότι $a,b,c \geqslant 0$. Την έκανε ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ Μόνο που στην α...

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $a,b,c \geqslant 0$. Να δειχθεί ότι $\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$ Χρησιμοποιώντας την ανισότητα $Cauchy-Schwarz$ που αφορά τις τετραγωνικές ρίζες είναι $\sqrt{b(a+c)}{\cdot }\sqrt{c(a+b)}{\cdot }\sqrt{a...

Δεν νομίζω για να έχει δύο λύσεις.

Βάζω λύση. Θα την γράψω τμηματικά. Αν θέλει κάποιος μπορεί να συνεχίσει από το τελευταίο σημείο που θα έχω αφήσει. Αν δείξουμε ότι $f(b)\geq f(a)$ θα έχουμε τελειώσει γιατί αν $\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b],x_{1}<x_{2}$ κάνουμε τα ίδια στο διάστημα $ [x_{1},x_{2}]$ Εστω $\displaystyle A=\left \...

Βάζω λύση.Κατασκευή μάλλον είναι το σωστότερο. Θεωρούμε μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών $(G_n)$ ώστε $E\subseteq G_n,|G_n|< \frac{1}{2^{n}}$ Θέτουμε $\displaystyle f_{n}(x)=|[a,x]\cap G_n|,x\in [a,b]$ Αυτή είναι μη αρνητική ,συνεχής,αύξουσα και $\displaystyle f_{n}(x)<\frac{1}{2^{n}}$ Αν θέσουμε $\d...

Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \left ( \alpha x + \beta x^2 \right ) \cos \nu x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\nu^2} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \in \mathbb{N}^*}$ Εκτός φακέλου πάρα πολύ . Συνοπτικά. Αν επεκτείνουμ...

(α) Έστω $0<\varepsilon<\sqrt{2}$ και $x_1,\ldots,x_N$ σημεία στην ευκλείδεια μοναδιαία σφαίρα $S^{k-1}=\{x\in \mathbb R^k : \|x\|_2=1\}$. Αν ισχύει $\|x_i-x_j\|_2\geq \varepsilon$ για $i\neq j$, τότε $N\leq e^{2k/\varepsilon}$. (β) Έστω $x_1,\ldots,x_N$ σημεία στην $S^{k-1}$. Αν ισχύει $\|x_i-x_j\...

. Η απόδειξη (εκτός από τα αρχικά) πάει σε δύο βήματα. 1)Αποδεικνύουμαι ότι μια κορυφή του τετραγώνου είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. 2))Αποδεικνύουμαι ότι και δεύτερη κορυφή είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Απόδειξη του 1) Εστω $ABCD$το τετράγωνο και $O$ το κέντρο του κύκλου. Εστω $K$...

για να δούμε το θέμα Γ των παλαιών με ματιά γεωμετρίας. Εχει δώσει την $\displaystyle f(x)=\frac{3x+1}{x-3}$ Είναι $\displaystyle f(x)=\frac{3(x-3)+10}{x-3}=3+\frac{10}{x-3}$ Για να δούμε τι κάνουν οι συναρτήσεις τις μορφής $\displaystyle f(x)=a+\frac{b}{x-a}$ με$ b\neq 0$ Αν θέσουμε $\displaystyle ...

Ας ξεκινήσω την απόδειξη. Θα την γράψω αναλυτικά για να είναι πλήρης. Δεν θα γράψω μόνο τους υπολογισμούς που εγραψε ο Γιώργος Ρίζος. Μια βασική παρατήρηση είναι: Αν $K$ είναι ένα σημείο μέσα σε ένα κύκλο τότε η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της απόστασης του από την περιφέρεια του κύκλου είναι στα ση...

Διευκρινήσεις για το Θέμα Γ. Η γωνία $A$ (οξεία ή μη) ονομάστηκε $\theta$. Κατόπιν σχεδιάστηκε ένα σχήμα μπούσουλας για την λύση όπου η $A$ είναι η περίπτωση της οξείας (ένα από όλα θα ήταν, και ο σχεδιασμός οξείας είναι νόμιμος). Στο σχήμα φαίνειται και η εξωτερική γωνία του τριγώνου $ABO$, η οποί...

Θα ξεκινήσω να γράφω. Δεν ξέρω πότε θα τελειώσω. Αρχικά να πω ότι η αρχική μου σκέψη ήταν ότι εκεί που λαμβάνεται το μέγιστο και ελάχιστο το τετράγωνο θα είχε δύο πιθανές θέσεις. Το κέντρο του είναι το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα μιας πλευράς είναι πάνω στην περιφέρεια του κύκλου. Τελικά ισχύει το δε...