Ενάρετος ημίκυκλος.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου $AOB=2r$ , το $N$ είναι το μέσο του τόξου , ενώ το $M$ είναι το μέσο της $ON$. Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAC}$ διέρχεται από το $M$ και τέμνει την $BC$ στο $L$ και το τόξο στο $S$ . Επίσης η $CB$ τέμνει την $ON$ στο $P$ ... α) Δείξτε ότι : $\dfra...

Ισότητα αγνώστων.png$\bigstar$ Από το σημείο $S(-3,6)$ διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει τους ημιάξονες $Oy , Ox$ στα σημεία $B,A$ αντίστοιχα . α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ του τμήματος $AB$ . β) Η εφαπτομένη της καμπύλης ( που είναι ο παραπάνω τόπος ) , στο σημείο $M$ , τέμνει τον $Ox...

Γενική περίπτωση

Δεν αλλάζει τίποτα στην διαδικασία. ΚΑΙ

Νέο εμβαδόν.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $AC=b $ και $AB=c$ , σημείο $S$ κινείται στην $AB$ . Η κάθετη της $CS$ στο $S$ και η κάθετη της $CB$ στο $B$ , τέμνονται στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $TSB$ , συναρτήσει του $x$ . Εφαρμογή : $b=5 , c=8 , x=3$ . Από τ...

Παράκυκλος.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=5 , AC=10 , BC=12$ , το $AD$ είναι ύψος και το $M$ το μέσο της $AC$ . Οι ημιευθείες $AB$ , $MD$ τέμνονται στο $S$. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία $A, D , S $ . Η $CB$ επανατέμνει τον κύκλο στο $E$ και αν $N$ είναι το μέσο του $EC,$ ...

trigono.png Ανάλυση Φέρουμε το ύψος $AD$, την κάθετο από το $O$ στην $BC$, η οποία την τέμνει στο $M$ και τον κύκλο στο $E$. Η $AE$ τέμνει την $BC$ στο $Z$, στο οποίο φέρουμε την κάθετο στην $BC$ και η οποία τέμνει την ακτίνα $OA$ στο σημείο $T$. Αν $BC=a, CA=b, AB=c$ και έστω $r$ η ακτίνα του κύκλ...

Γεωμετρικός μέσος.png$\bigstar$ Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με κάθετες πλευρές : $AB=c , AC= b$ , να αχθεί τμήμα $SP\parallel AB$ , ( $S \in AC , P \in BC )$ , για το οποίο είναι : $SP^2=PB\cdot PC$ Γεωμετρικός μέσος.Θ.png $\displaystyle \frac{{S{P^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrigh...

Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος $AD$ του τριγώνου $ABC$ , χωρίζει την πλευρά $BC=a$ , σε δύο τμήματα με λόγο : $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{3}$ . Υπολογίστε το ύψος $AD$ , αν το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου είναι το μέσο του . Μ.Υ.png $\displaystyle BD \cdot DC = AD \cdot \frac{{AD}}{2} \Leftrightarrow \f...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Ιαν 14, 2026 11:51 am

Το μέσο του ύψους.pngΤο ύψος του τριγώνου , χωρίζει την πλευρά , σε δύο τμήματα με λόγο :

. Υπολογίστε το ύψος , αν το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το μέσο του .

KARKAR έγραψε: ↑

Τρί Ιαν 13, 2026 1:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τρί Ιαν 13, 2026 1:08 pm

Υπόψη ότι τα σημεία κατασκευάζονται εύκολα με Ευκλείδεια μέσα.

Αυτό ακριβώς είναι το - όντως εύκολο - συμπληρωματικό ζητούμενο ...

Χωρίς λόγια!

Χωρίς νούμερα.pngΛύστε το ίδιο θέμα στο απαλλαγμένο πλέον από νούμερα , ανανεωμένο σχήμα . Με τις συντεταγμένες του σχήματος οι αριθμοί $a,p$ είναι σταθεροί. Διπλάσιο τμήμα 8β.png $\displaystyle P{T^2} = 2S{P^2} \Leftrightarrow {(2t - p)^2} + {a^2} = 4{(p - t)^2} \Leftrightarrow t = \frac{{3{p^2} -...

Διπλάσιο τμήμα 8.pngΤα σημεία $A$ και $P$ είναι σταθερά . Ευθεία διερχόμενη από το $A$ , τέμνει τις ευθείες $y=3$ και $y=0$ στα σημεία $S$ και $T$ αντίστοιχα . Για ποια θέση αυτής της ευθείας , προκύπτει : $PT=2PS$ και ποιο είναι το μήκος του τμήματος $PS$ σ' αυτή την περίπτωση ; Διπλάσιο τμήμα 8.p...

Επίκυκλος.pngΣτην χορδή $CD=8$ , η οποία είναι παράλληλη προς την διάμετρο $AB=10$ του ημικυκλίου μας , κινείται σημείο $S$ . Οι $AS , BS$ , ξανατέμνουν το τόξο , στα σημεία $Q,P$ , αντίστοιχα . Υπολογίστε την διάμετρο του κύκλου $( P , S , Q )$ , συναρτήσει του $SD$ . Εφαρμογή για : $SD=3$ . Έστω ...

Λόγος με συνέπειες.pngΣημείο $S$ κινείται στην πλευρά $AB$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Για ποια θέση του $S$ , επιτυγχάνεται το ελάχιστο του λόγου : $\dfrac{CS^2}{SA\cdot SB}$ ; Βρείτε το , στην περίπτωση που : $c=2b$ . Η $CS$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $P$ και έστω $N$ η προβολή του $...

Καλημέρα σε όλους. Παρόμοιο ξεκίνημα είχα κάνει με τον Γιώργο . Δεν το αναρτώ από την αρχή. Κρατώ ότι $BT = 6, NT=9$ για να κάνω μια πρόσθετη ερώτηση: Τι λέτε, το εμβαδόν του $NBT$ γίνεται κι αυτό άριστο $20$, όταν $NB$ κάθετη στην $AT$,δηλαδή όταν $ANT$ ισοσκελές; Δείτε και το σχήμα. (Δίνω και το ...

Κυνηγώντας το άριστα.pngΣε ευθεία η οποία διέρχεται από το κέντρο του κύκλου $(O,3)$ , θεωρούμε εκατέρωθεν του $O$ , σημεία $A , B$ , τέτοια ώστε : $OA=4 , OB=2$ . Θεωρούμε τα αντιδιαμετρικά σημεία $S , P$ και φέρουμε τις $AS , PB $ , οι οποίες τέμνονται στο $N$ . Η παράλληλη από το $N$ προς την $S...

Γενίκευση: Οι πλευρές $AB, BC, AC$ τριγώνου $ABC$ μεταβάλλονται έτσι ώστε η κορυφή $A$ το ορθόκεντρο $H$ και το ίχνος $D$ του ύψους $AD$ να είναι σταθερά σημεία. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της πλευράς $BC=a.$ Κινούμενο και μεταβλητό.png Έστω $AD=h, HD=k.$ Η $AD$ τέμνει τον περίκυκλο στο $H'$ και ως ...

Η ρότα.pngΣτην σταθερή ακτίνα $OA$ του κύκλου $(O , 7)$ , θεωρούμε σημείο $P$ , τέτοιο ώστε : $OP=5$ . Στην μεταβλητή ακτίνα $OB$ του ίδιου κύκλου , θεωρούμε σημείο $T$ , τέτοιο ώστε : $OT=4$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής $S$ , των τμημάτων $AT , BP$ . Φέρω $SK||OB.$ Από $\rm Ceva$...

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αλλάξτε το Χ.png Το $ABCD$ είναι ρόμβος και $BP=CQ.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $PQ$ και η $AM$ τέμνει τη $BD$ στο $X,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{AX}{XM}($ Μπορείτε ν' αλλάξετε το γράμμα $X$ με ένα άλλο της αρεσκείας σας :yes3: $).$ H λύση μου: Φέρνω από το $M$ παράλληλη στην $B...

Περίεργο συνημίτονο.pngΑπό κάποιο σημείο $S$ φέραμε την "άνω" εφαπτόμενη $ST$ προς τον κύκλο $(O,4)$ και την "κάτω" εφαπτόμενη $SP$ προς τον κύκλο $(O,3)$ . Αν είναι : $TP=6$ , υπολογίστε το : $\cos\widehat{TSP}$ . Μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση : $OS$ ; Λόγω του εγγράψιμου $OPST,$ είναι $P\...