Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

#1

Έστω συνάρτηση $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ , Riemann ολοκληρώσιμη και περιττή.

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,dx}{\displaystyle\int_{0}^{2k\pi}x^{2}f(\sin x)\,dx}=-\frac{1}{12}$ , υπό την προυπόθεση ότι ο παρονομαστής κάθε κλάσματος δεν μηδενίζεται.

#2

Ορίζω την συνάρτηση $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}; \quad x \mapsto f(\sin(x))$ και παρατηρώ ότι αν $x \in [\pi/2,\pi]$ τότε $g(x) = g(\pi - x)$ , αν $x \in [\pi,3\pi/2]$ τότε $g(x) = -g(x - \pi)$ , κ.τ.λ.

Άρα $\displaystyle{\int_0^{\pi} g(x) \; dx = 2\int_0^{\pi/2} g(x) \; dx}$ .

Επίσης $\displaystyle{\int_{2r\pi}^{2(r+1)\pi} x^2 g(x) \; dx = \int_{0}^{2\pi}(2r\pi + x)^2 g(x) \; dx = }$

$\displaystyle{= \int_0^{\pi/2}g(x) \left( (2r\pi + x)^2 + (2r\pi + \pi - x)^2 - (2r\pi + \pi + x)^2 - (2r\pi + 2\pi - x)^2 \right) \;dx = \cdots = -4\pi^2(2r+1)\int_0^{\pi/2} g(x) \; dx }$

Άρα $\displaystyle{ \int_0^{2k\pi} x^2 g(x) \; dx = -4\pi^2(1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)) \int_0^{\pi/2} g(x) \; dx = -2 \pi^2 r^2 \int_0^{\pi} g(x) \; dx}$

Άρα το άπειρο άθροισμα ισούται με $\displaystyle{-\frac{1}{2\pi^2} \zeta(2) = -\frac{1}{12}}$

#3

Demetres έγραψε:Ορίζω την συνάρτηση $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}; \quad x \mapsto f(\sin(x))$ και παρατηρώ ότι αν $x \in [\pi/2,\pi]$ τότε $g(x) = g(\pi - x)$ , αν $x \in [\pi,3\pi/2]$ τότε $g(x) = -g(x - \pi)$ , κ.τ.λ.

Άρα $\displaystyle{\int_0^{\pi} g(x) \; dx = 2\int_0^{\pi/2} g(x) \; dx}$ .

Επίσης $\displaystyle{\int_{2r\pi}^{2(r+1)\pi} x^2 g(x) \; dx = \int_{0}^{2\pi}(2r\pi + x)^2 g(x) \; dx = }$

$\displaystyle{= \int_0^{\pi/2}g(x) \left( (2r\pi + x)^2 + (2r\pi + \pi - x)^2 - (2r\pi + \pi + x)^2 - (2r\pi + 2\pi - x)^2 \right) \;dx = \cdots = -4\pi^2(2r+1)\int_0^{\pi/2} g(x) \; dx }$

Άρα $\displaystyle{ \int_0^{2k\pi} x^2 g(x) \; dx = -4\pi^2(1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)) \int_0^{\pi/2} g(x) \; dx = -2 \pi^2 r^2 \int_0^{\pi} g(x) \; dx}$

Άρα το άπειρο άθροισμα ισούται με $\displaystyle{-\frac{1}{2\pi^2} \zeta(2) = -\frac{1}{12}}$

Ωραίος ο Δημήτρης!!

#4

Γράφω τα παρακάτω απλά για να γίνει φανερή η γενικότερη σχέση της οποίας ουσιαστικά γίνεται χρήση και η οποία μπορεί να εφαρμοστεί σε πολλές περιπτώσεις.

Δείχνουμε ότι για συνάρτηση

που πληροί τις προϋποθέσεις τις εκφώνησης ισχύει :

$\color{red}\displaystyle\int_{0}^{2k\pi}x^{2}f(\sin x)\,dx=-2k^{2}\pi^{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\,dx$ .

Η σχέση αυτή για παράδειγμα δίνει μια απευθείας λύση της άσκησης εδώ

Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

Re: Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

Re: Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

Re: Άπειρο άθροισμα λόγων ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση