μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

mathxl · #1

Ισότητα, αναπάντητη από μαθλινκς (δεν έχω την λύση και δεν έχω ασχοληθεί - δεν βλέπω να μπορώ να κάνω και πολλά

)

Αν $m\geq 0$ φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι
$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin mx}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{m\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{m}}{1+x^{2}}dx$

#2

mathxl έγραψε:Ισότητα, αναπάντητη από μαθλινκς (δεν έχω την λύση και δεν έχω ασχοληθεί - δεν βλέπω να μπορώ να κάνω και πολλά )

Αν $m\geq 0$ φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι
$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin mx}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{m\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{m}}{1+x^{2}}dx$

Επαγωγή με βήμα 2.

Τα κύρια βήματα: Στο αριστερό ολοκλήρωμα χρήση της $\sin(m+2)x = (\sin(m+2)x - \sin mx) + \sin mx = 2\sinx\cos(m+1)x + \sin mx$ .

Στο δεξί χρήση της $x^{m+2} = x^m(x^2+1) - x^m$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

mathxl έγραψε:Ισότητα, αναπάντητη από μαθλινκς (δεν έχω την λύση και δεν έχω ασχοληθεί - δεν βλέπω να μπορώ να κάνω και πολλά )

Αν $m\geq 0$ φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι
$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin mx}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{m\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{m}}{1+x^{2}}dx$

Ισχύουν οι ταυτότητες :

$\displaystyle2\cos x+2\cos3x+\cdots+2\cos(2n-1)x=\frac{\sin2nx}{\sin x}$ (1)

$\displaystyle1+2\cos2x+2\cos4x+\cdots+2\cos2nx=\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}$ (2)

Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις :

$\bullet$ Έστω m=2n-1

. Τότε, ολοκληρώνοντας την (2), έχουμε ότι

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}\,dx=\frac{\pi}{2}$ , οπότε η προς απόδειξη σχέση ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο.

$\bullet$ Έστω m=2n

. Ολοκληρώνοντας την (1), έχουμε

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}\,dx=2\Big(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}\Big)$ . (3)

Επιπλέον, όπως είπε και ο Δάσκαλος παραπάνω, με χρήση της ταυτότητας $x^{2n}=x^{2n-2}(1+x^{2})-x^{2n-2}$ , έπεται ότι

$\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x^{2n}}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}+\cdots+(-1)^{n-1}\int_{0}^{1}1\,dx+(-1)^{n}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=$

$\displaystyle\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}+\cdots+(-1)^{n-1}+(-1)^{n}\frac{\pi}{4}$ . (4)

Διακρίνουμε δυο ακόμα υποπεριπτώσεις :

$\color{red}\bullet$ Αν n=2k

, τότε σύμφωνα με την (3) και την (4), η προς απόδειξη σχέση ισοδύναμα γράφεται :

$\displaystyle2-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\cdots-\frac{2}{4k-1}=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{4k-1}+\cdots+\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+2-\frac{\pi}{2}$ , που ισχύει.

$\color{red}\bullet$ Αν n=2k+1

, τότε σύμφωνα με την (3), η προς απόδειξη σχέση ισοδύναμα γράφεται :

$\displaystyle2-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\cdots+\frac{2}{4k+1}=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{4k+1}-\cdots+\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+2-\frac{\pi}{2}$ , που ισχύει.

mathxl · #4

Η άσκηση είναι πάλι από την συλλογή του Άλεξ (flip2004)
ΥΓ: Τάσο θες ξύρισμα

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 9

Μέλη σε σύνδεση