int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

mathxl · #2

Δίνω μία λύση
$\displaystyle{\displaystyle \begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} }}dx} = \int {\frac{{\sqrt 2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{{2 - \left( {1 + x + 1 - x + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}}dx} = \\ = \int {\frac{{\sqrt 2 - \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{{ - 2\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} + \int {\frac{{dx}}{{2\sqrt {1 - x} }}} + \int {\frac{{dx}}{{2\sqrt {1 + x} }}} = \\ = \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \mathop = \limits_{dx = - \eta \mu tdt}^{x = \sigma \upsilon \nu t} \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{ - \eta \mu tdt}}{{\eta \mu t}}} = \\ = \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\tau o\xi \sigma \upsilon \nu t + c \\ \end{array}}$

giannisn1990 · #3

Μια όχι τόσο καλή λύση

μπορούμε να θέσουμε

$\displaystyle \sqrt{x+1}=\sqrt 2 \sin t$ και $\displaystyle \sqrt{1-x}=\sqrt 2 \cos t$
και $\displaystyle dx=4\cdot \sin t \cdot \cos t dt$
και το ολοκλήρωμα ανάγεται στο $I=\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\int \frac{4\cdot \sin t \cdot \cos t}{1+\sin t+\cos t}\,dt$
οπότε θέτωντας ξανά $\displaystyle y=\tan \frac{t}{2}$
θα είναι $\displaystyle dt=\frac{2}{1+y^{2}}$ και $\displaystyle \sin t=\frac{2y}{1+y^{2}}$ και $\displaystyle \cos t=\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}$

άρα $\displaystyle I=\frac{1}{\sqrt2}\int \frac{4\cdot\frac{2y}{1+y^{2}} \cdot \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}}{2(y+1)}\,dy=2\sqrt2\int \frac{y-y^{2}}{(1+y^{2})^{2}}\,dy=$
$\displaystyle 2\sqrt2\int \frac{1}{y^{2}+1}-\frac{y}{(y^{2}+1)^{2}}-\frac{1}{(y^{2}+1)^{2}}\,dy=$
$\displaystyle 2\sqrt2( \arctan y+\frac{1}{2(y^{2}+1)}-\frac{y}{(y^{2}+1)}-\arctan y)=2\sqrt2(\frac{y}{y^{2}+1}-\frac{1}{2(y^{2}+1)})$

κτλ

#4

giannisn1990 έγραψε:Μια όχι τόσο καλή λύση

Καί δική μου αρχική αντιμετώπιση

$\displaystyle\int{\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{t=\sqrt{1+x}}\,\int{\frac{2t}{\sqrt{2}+t+\sqrt{2-t^2}}\,dt}=$

$\displaystyle\int{\frac{2t}{{\sqrt{\sqrt{2}+t}\,}^2+\sqrt{\sqrt{2}+t}\,\sqrt{\sqrt{2}-t}}\,dt}=\int{\frac{2t\left({\sqrt{\sqrt{2}+t}-\sqrt{\sqrt{2}-t}}\right)}{\sqrt{\sqrt{2}+t}\left({{\sqrt{\sqrt{2}+t}\,}^2-{\sqrt{\sqrt{2}-t}\,}^2}\right)}\,dt}=$

$\displaystyle\int{\frac{2t\left({\sqrt{\sqrt{2}+t}-\sqrt{\sqrt{2}-t}}\right)}{\sqrt{\sqrt{2}+t}\,2t}\,dt}=\int{\frac{\sqrt{\sqrt{2}+t}-\sqrt{\sqrt{2}-t}}{\sqrt{\sqrt{2}+t}}\,dt}=\int{1-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-t}{\sqrt{2}+t}}\,dt}$

δέν ήταν η καλύτερη - κατόπιν βρήκα τήν επίλυση πού έχει δώσει καί ο Βασίλης παραπάνω.
Όμως δέν είναι, κατ' ανάγκην, "άσχημες" οί μακρύτερες λύσεις.

int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

Re: int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

Re: int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

Re: int { 1 / [ sqrt(2)+sqrt(1+x)+sqrt(1-x) ] dx }

Μέλη σε σύνδεση