int { x / sin^4(x) dx }

#2

Kαλημέρα και Χριστός Ανέστη!
Στο μεσοδιάστημα της παρασκευής του κοκορετσίου, να μια λύση για το ολοκλήρωμα του Γρηγόρη....
ΛΗΜΜΑ 1
$\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {{\sin ^2 x}} = \cot ^2 x + 1 }$ .

ΛΗΜΜΑ 2

$\displaystyle{\displaystyle \int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}} {{\sin x}}dx = \int {\frac{1} {{\sin x}}} } } d\sin x = \ln |\sin x| + c }$ .

ΛΗΜΜΑ 3

$\displaystyle{\displaystyle \int {\frac{{\cot ^3 x}} {3}} dx = \frac{1} {3}\int {\frac{{\cos ^2 x}} {{\sin ^3 x}}} \cos xdx = \frac{1} {3}\int {\frac{{1 - \sin ^2 x}} {{\sin ^3 x}}} d\sin x = \frac{1} {3}\int {\left( {\frac{1} {{\sin ^3 x}} - \frac{1} {{\sin x}}} \right)} d\sin x = \frac{1} {3}\left[ {\frac{{\sin ^{ - 2} x}} {{ - 2}} - \ln |\sin x|} \right] + c = - \frac{1} {{6\sin ^2 x}} - \frac{{\ln |\sin x|}} {3} + c }$ .

ΛΥΣΗ

Εχουμε :

$\displaystyle{\displaystyle \int {x\frac{1} {{\sin ^4 x}}} dx = \int {x\frac{1} {{\sin ^2 x}}} \frac{1} {{\sin ^2 x}}dx\mathop = \limits^{(1)} \int {x\left( {\cot ^2 x + 1} \right)} \left( {\cot x} \right)^{\prime} dx = - \int {x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} {3} + \cot x} \right)} ^{\prime}dx = - x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} {3} + \cot x} \right) + \int {(\frac{{\cot ^3 x}} {3} + \cot x)} dx\mathop = \limits_{(3)}^{(2)} - x\left( {\frac{{\cot ^3 x}} {3} + \cot x} \right) - \frac{1} {{6\sin ^2 x}} - \frac{{\ln |\sin x|}} {3} + \ln |\sin x| + c = \frac{{ - x\cot ^3 x}} {3} - x\cot x - \frac{1} {{6\sin ^2 x}} + \frac{{2\ln |\sin x|}} {3} + c }$ .

Καλημέρα και καλά να περάσετε!

int { x / sin^4(x) dx }

int { x / sin^4(x) dx }

Re: int { x / sin^4(x) dx }

Μέλη σε σύνδεση