Ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}dx }$ για α πραγματικό αριθμό
Υπόδειξη 1

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υπόδειξη 2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}dx }$ για α πραγματικό αριθμό
Υπόδειξη 1
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Να διακρίνετε περιπτώσεις για α=1,|α|<1 και |α|>1
Υπόδειξη 2
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ορίστε το ολοκλήρωμα ως συνάρτηση του α και παραγωγίστε ως προς α μέσα στο ολοκλήρωμα

Εξετάζουμε αν και που ορίζεται η ολοκληρωτέα ποσότητα:

$\bullet$ Για a=0

είναι $1+a^{2}-2a\cos x=1\neq0$ .
$\bullet$ Για $a\neq0$ είναι $1+a^{2}-2a\cos x=0\Leftrightarrow\cos x=\frac{1+a^{2}}{2a}$ . Μελετώντας τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R}$ με $f(a)=\frac{1+a^{2}}{2a}$ , παρατηρούμε ότι $|f(a)|\geq1$ με την ισότητα να συμβαίνει μόνο στις περιπτώσεις
(1)

\displaystyle{a=-1

f(-1)=-1

(2)}

, όπου

.
Για τις περιπτώσεις αυτές, αντίστοιχα έχουμε:
$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\int_{0}^{\pi}-\frac{2(1+cos x)}{2(1+cos x)}\,dx=-\pi$ και
$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\int_{0}^{\pi}\frac{2(1-cos x)}{2(1-cos x)}\,dx=\pi$ .

Εξετάζουμε χωριστά την περίπτωση a=0

. Σε αυτήν την περίπτωση είναι

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\int_{0}^{\pi}2\cos x\,dx=0$ .

Έστω τώρα ότι $a\neq-1,0,1$ . Σε αυτήν την περίπτωση διαδοχικά έχουμε:

$\displaystyle\int\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\frac{1}{a}\int\frac{2a^{2}-2a\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\frac{1}{a}\int\frac{4a^{2}-4a\cos x}{2+2a^{2}-4a\cos x}\,dx=\\ \\ \frac{1}{a}\int\frac{2a^{2}+2-4a(\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2})+2a^{2}-2}{2a^{2}+2-4a(\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2})}\,dx=\\ \\ \\ \frac{1}{a}\int\frac{(2a^{2}\cos^{2}\frac{x}{2}+2a^{2}\sin^{2}\frac{x}{2})+(2\cos^{2}\frac{x}{2}+2\sin^{2}\frac{x}{2})-4a\cos^{2}\frac{x}{2}+4a\sin^{2}\frac{x}{2}+2a^{2}-2}{(2a^{2}\cos^{2}\frac{x}{2}+2a^{2}\sin^{2}\frac{x}{2})+(2\cos^{2}\frac{x}{2}+2\sin^{2}\frac{x}{2})-4a\cos^{2}\frac{x}{2}+4a\sin^{2}\frac{x}{2}}\,dx=\\ \\ \frac{1}{a}\int\frac{(a-1)^{2}2\cos^{2}\frac{x}{2}+(a+1)^{2}2\sin^{2}\frac{x}{2}+2(a^{2}-1)}{(a-1)^{2}2\cos^{2}\frac{x}{2}+(a+1)^{2}2\sin^{2}\frac{x}{2}}\,dx=\int\frac{1}{a}\,dx+\frac{2}{a}\int\frac{a^{2}-1}{(a-1)^{2}2\cos^{2}\frac{x}{2}+(a+1)^{2}2\sin^{2}\frac{x}{2}}\,dx=\\ \\ \ldots$

(Συνέχεια στο επόμενο post).

#3

Συνεχίζω από το προηγούμενο post γιατί δεν μπορεί να τα τρέξει όλα μαζί...

$...=\displaystyle\int\frac{1}{a}\,dx+\frac{2}{a}\int\frac{\frac{a^{2}-1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}}{(a-1)^{2}\frac{\cos^{2}\frac{x}{2}}{\sin^{2}\frac{x}{2}}+(a+1)^{2}}=\int\frac{1}{a}\,dx+\frac{2}{a}\int\frac{\frac{a-1}{a+1}\cdot\frac{1}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}}{\Big(\frac{a-1}{a+1}\cot\frac{x}{2}\Big)^{2}+1}\,dx\stackrel{t=\frac{a-1}{a+1}\cot^{2}\frac{x}{2}}{=}\\ \\ \frac{x}{a}-\frac{2}{a}\arctan\Big(\frac{a-1}{a+1}\cot\frac{x}{2}\Big)+c$ .

Έπεται ότι το ζητούμενο ορισμένο ολοκλήρωμα ισούται με:

$\displaystyle\begin{cases}\frac{\pi}{a}-0+\frac{2}{a}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{a} & |a|>1 \\ \frac{\pi}{a}-0+\frac{2}{a}\cdot\frac{\pi}{2}=0 & |a|<1 \end{cases}$ ,

modulo

λάθους βέβαια...

.

Συνοψίζοντας έχουμε:

$I(a):=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}\,dx=\begin{cases}0 & |a|<1 \\ \frac{2\pi}{a} & |a|>1 \\ -\pi & a=-1 \\ \pi & a=1\end{cases}$

#4

Το ολοκλήρωμα έχει μια ενδιαφέρουσα θεωρητική προέκταση (ή εδώ), την οποία μόλις έμαθα από εδώ.

#5

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{1+a^{2}-2a\cos x}dx }}$ για α πραγματικό αριθμό

Ας προσθέσω ότι εδώ έχουμε μια πολύ ενδιαφέρουσα οικογένεια ολοκληρωμάτων, που μελέτησε ο Poisson. O ϊδιος έδειξε και τα

$\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{1}{1+a^{2}-2a\cos x}dx = \frac{\pi}{a^2-1} }$ (αν α > 1, και παρόμοια στις άλλες περιπτώσεις)

το οποίο αν παραγωγισθεί ως προς a μέσα από το ολοκλήρωμα, σύμφωνα με τον κανόνα Leibniz, δίνει

$\displaystyle{ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{2a-2\cos x}{(1+a^{2}-2a\cos x)^2}dx = \frac{2a\pi}{(a^2-1)^2} }$

και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση