θεώρημα γλαφυρόν...

[Ανάπτυγμα της δεκάλεπτης εισήγησης μου, επικεντρωμένης στις ενότητες 7.6-7.7 και 8.1-8.10 (βλέπε και συνημμένο), κατά την σημερινή παρουσίαση της ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (του Στέλιου Νεγρεπόντη και της Βασιλικής Φαρμάκη, Εκδόσεις Εκκρεμές) στην 16η Διεθνή Έκθεση Βιβλίου Θεσσαλονίκης.]

Μία από τις κύριες αρετές του βιβλίου είναι η δυνατότητα που δίνει στους σύγχρονους Έλληνες να 'νιώσουν' τις μαθηματικές δημιουργίες των προγόνων τους μέσα από την πολύ γενναιόδωρη παράθεση αρχαιοελληνικών κειμένων. Τα κείμενα αυτά δεν αποδίδονται πάντα στην νεοελληνική, η κατανόηση τους διευκολύνεται όμως από την συζήτηση των σχετικών με αυτά Μαθηματικών. Και ένα από τα ωραιότερα παρατιθέμενα κείμενα είναι η διατύπωση του Γλαφυρού Θεωρήματος από τον Πρόκλο (εις Πολιτείαν 2.27, 11-16).

Το θεώρημα που ο Πρόκλος ονομάζει "γλαφυρό", αρκετούς αιώνες μετά την ανακάλυψη του από τους Πυθαγόρειους, δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί με πολύ στοιχειώδη γεωμετρικό τρόπο. Αυτό φαίνεται και από την απόδειξη που παρατίθεται στην σελίδα 370, και από την απόδειξη που βρήκα κατά την πρώτη σοβαρή φυλλομέτρηση του βιβλίου στις 2-4-2019 (την ημέρα δηλαδή που μου έγινε, μάλλον απρόσμενα, η πρόταση παρουσίασης του βιβλίου

). Ο Πρόκλος πάντως το αποδεικνύει γεωμετρικά με χρήση της Πρότασης 2.10 των Στοιχείων (που στην αλγεβρική της μορφή είναι η ταυτότητα (a+2b)^2+a^2=2(a+b)^2+2b^2

): αν

τότε

(αλγεβρικοποιώντας την απόδειξη πάντοτε).

[Χρειάζεται προσοχή στο τι είναι/ήταν 'αλγεβρικό' και τι 'γεωμετρικό', και αυτό άπτεται του γενικότερου ερωτήματος αν είχαν όντως φθάσει οι Πυθαγόρειοι (και το Δεύτερο Βιβλίο των Στοιχείων) στην λεγόμενη Γεωμετρική Άλγεβρα, ένα από τα κύρια θέματα του βιβλίου που δεν θίγεται εδώ.]

Σε απλή νεοελληνική το γλαφυρό θεώρημα μας λέει ότι κάθε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς

και διαμέτρου (υποτείνουσας)

μπορεί να 'επεκταθεί' σε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς a+b

και διαμέτρου a+2b

. Αυτή η 'επέκταση', $a \rightarrow a+2b, b \rightarrow a+b$ , θα μπορούσε να μας δώσει την ιδέα για την δημιουργία δύο ακολουθιών ${p_n}, {q_n}$ που ορίζονται αναδρομικά από τους τύπους $p_{n+1}=p_n+q_n, q_{n+1}=q_n+2p_n$ : αρχίζοντας 'για παράδειγμα' με p_1=1, q_1=1

, λαμβάνουμε p_2=2, q_2=3

,

, κλπ: αυτοί οι αριθμοί αποκαλούνται πλευρικοί και διαμετρικοί, αντίστοιχα.

Θεωρώντας ισοσκελή τρίγωνα βάσης

και ίσων πλευρών p_n/q_n

παρατηρούμε ότι γρήγορα αυτά τείνουν προς ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο διαμέτρου

. Από μια κάπως διαφορετική σκοπιά, βλέπουμε ότι τα τρίγωνα { p_n, p_n, q_n

} είναι ότι πλησιέστερο μπορούμε να έχουμε σε ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραια διάμετρο, καθώς ισχύει η 2p_n^2=q_n^2-(-1)^n

. Σε σύγχρονη μαθηματική γλώσσα, θα λέγαμε ότι τα ζεύγη p_n, q_n

αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Pell, ή ότι έχουν την ιδιότητα Pell.

Είχαν αποδείξει οι Πυθαγόρειοι την ιδιότητα Pell; Αυτό αποτελεί αντικείμενο διαμάχης ανάμεσα στους ειδικούς, όπως λεπτομερώς συζητούν οι συγγραφείς, που επιχειρηματολογούν, αρκετά πειστικά, υπέρ της αισιόδοξης άποψης: υποστηρίζουν συγκεκριμένα την χρήση κάποιας μορφής μαθηματικής επαγωγής με επαγωγικό βήμα βασιζόμενο στην 'Πυθαγόρεια' ισότητα $q_n^2+q_{n+1}^2=2(p_n^2+p_{n+1}^2$ ), που προκύπτει και αυτή από την Πρόταση 2.10 των Στοιχείων (και από τον αναδρομικό ορισμό των δύο ακολουθιών). [Η κρίσιμη αυτή ισότητα είχε, όπως επισημαίνουν οι συγγραφείς, διαφύγει της προσοχής του διάσημου ιστορικού των Μαθηματικών David Fowler, που τάραξε τα νερά πριν 25 χρόνια με την έκδοση του βιβλίου The Mathematics of Plato's Academy.]

Μία άλλη ιδιότητα των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών είναι η ομοιότητα των 'ανθυφαιρετικών' αναπτυγμάτων τους: προσπαθώντας να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους με τον γνωστό 'Ευκλείδειο' αλγόριθμο, και αρχίζοντας με διαίρεση του q_n

δια του

, λαμβάνουμε τον

ως πρώτο πηλίκο και εν συνεχεία άλλα n-1

πηλίκα ίσα προς

.

'Παρόμοιο' ανθυφαιρετικό ανάπτυγμα, μη τερματιζόμενο όμως, λαμβάνουμε και όταν προσπαθήσουμε να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη διαμέτρου και πλευράς ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου: αυτό σημαίνει, σύμφωνα με την Πρόταση 10.2 των Στοιχείων, ότι πλευρά και διάμετρος είναι 'ασύμμετρες προς άλληλες', και ότι, για παράδειγμα, ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος (ανακάλυψη της ασυμμετρίας).

Πρώτος στα νεώτερα χρόνια ο G. Chrystal (1889) έδωσε γεωμετρική μορφή στην παραπάνω ανθυφαιρετική διαδικασία, δημιουργώντας μία άπειρη ακολουθία φθινόντων τετραγώνων. 130 χρόνια αργότερα, οι συγγραφείς επιχειρούν ανακατασκευή της αρχικής Πυθαγόρειας απόδειξης βασιζόμενοι σε νύξη του Πρόκλου για άπειρη ακολουθία φθινόντων γνωμόνων (εις Ευκλείδην 60, 7-12). Βεβαίως τα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα $\gamma _n$ δεν μπορούν παρά να είναι τα ίδια και στις δύο αποδείξεις, μία 'σύνθεση' των οποίων δίνεται στο συνημμένο: εικονίζονται οι δύο πρώτοι γνώμονες, 'πάχους' $\gamma _1$ και $\gamma _2$ , αντίστοιχα, με τα $\gamma _1, \gamma _2$ να προκύπτουν με φυσικό και γεωμετρικά όμοιο τρόπο -- και είναι ακριβώς αυτή η (αυτο-)ομοιότητα που ευθύνεται για τον μη τερματισμό της ανθυφαιρετικής διαδικασίας!

Μία σύγχρονη/αλγεβρική ματιά στα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα αποκαλύπτει ότι $\gamma _1=a-b, \gamma _2=-2a+3b, \gamma _3=5a-7b, \gamma _4=-12a+17b$ , κλπ: παρατηρούμε ότι εμφανίζονται ξανά οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί! (Αν μάλιστα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις όπως οι $\gamma _4>0$ ή $\gamma _3>\gamma _4$ λαμβάνουμε ανισότητες της μορφής 17/12>a/b>24/17

, αντίστοιχα, ήδη αρκετά καλές προσεγγίσεις του $\sqrt{2}$ .)

[Θα μπορούσαν οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί να είχαν ανακαλυφθεί όπως στην προηγούμενη παράγραφο; Αυτό που φαίνεται προφανές σήμερα πιθανώς δεν ήταν 'αλγεβρικά εφικτό' ΤΟΤΕ, οπότε αναρωτιέται κανείς μήπως προέκυψαν 'γλαφυρώς', κατά τον αναδρομικό αλγόριθμο που 'προτείνει' άμεσα το Γλαφυρό Θεώρημα -- υπάρχει όμως και εδώ η δυσκολία ερμήνευσης της επιλογής του πρώτου βήματος, p_1=1, q_1=1

. Οι συγγραφείς θεωρούν πιθανότερο για τις ακολουθίες p_n, q_n

(και τους αντίστοιχους αναδρομικούς ορισμούς) να προέκυψαν ως πεπερασμένες προσεγγίσεις στο άπειρο ανθυφαιρετικό ανάπτυγμα διαμέτρου προς πλευρά.]

Το τελικό έξοχο σχόλιο προέρχεται από κάποιον ανώνυμο σχολιαστή του Ευκλείδη: τονίζεται ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν 'διαιρούνται' επ' άπειρον αλλά είναι όλοι διαφορετικοί, ενώ τα αντίθετα συμβαίνουν με τα ευθύγραμμα τμήματα.

12-5-2019.pdf: (231.43 KiB) Μεταφορτώθηκε 26 φορές

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 13, 2019 12:43 am
Πρώτος στα νεώτερα χρόνια ο G. Chrystal (1889) έδωσε γεωμετρική μορφή στην παραπάνω ανθυφαιρετική διαδικασία, δημιουργώντας μία άπειρη ακολουθία φθινόντων τετραγώνων. 130 χρόνια αργότερα, οι συγγραφείς επιχειρούν ανακατασκευή της αρχικής Πυθαγόρειας απόδειξης βασιζόμενοι σε νύξη του Πρόκλου για άπειρη ακολουθία φθινόντων γνωμόνων (εις Ευκλείδην 60, 7-12). Βεβαίως τα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα $\gamma _n$ δεν μπορούν παρά να είναι τα ίδια και στις δύο αποδείξεις, μία 'σύνθεση' των οποίων δίνεται στο συνημμένο: εικονίζονται οι δύο πρώτοι γνώμονες, 'πάχους' $\gamma _1$ και $\gamma _2$ , αντίστοιχα, με τα $\gamma _1, \gamma _2$ να προκύπτουν με φυσικό και γεωμετρικά όμοιο τρόπο -- και είναι ακριβώς αυτή η (αυτο-)ομοιότητα που ευθύνεται για τον μη τερματισμό της ανθυφαιρετικής διαδικασίας!

Παραθέτω την κατασκευή ( $BE=EF=FC=\gamma _1$ κλπ) του G. Chrystal από τις σελίδες 270-271 του πρώτου τόμου της Άλγεβρας του (1889/1886): αποκαλεί την συγκεκριμένη περίπτωση (ασυμμετρίας πλευράς προς διαγώνιο τετραγώνου) "historically famous", χωρίς όμως να παραθέτει οποιαδήποτε ιστορικά στοιχεία. (Γνωρίζει τον Ευκλείδη, όπου όμως η συγκεκριμένη κατασκευή δεν υπάρχει.)

: GChrystal-1886.png (160.26 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Το Γλαφυρό Θεώρημα μάς λέει ότι αν a^2=2b^2

τότε

, και αναλόγως (3a+4b)^2=2(2a+3b)^2

,

, κοκ: ξεκινώντας από ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο δημιουργούμε μία ακολουθία όλο και μεγαλύτερων ισοσκελών ορθογωνίων τριγώνων (στις πλευρές των οποίων εμφανίζονται ως 'συντελεστές' οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί).

Ένα άλλο Γλαφυρό Θεώρημα που οι συγγραφείς μάς δίνουν στην ενότητα 8.11 προκύπτει από την Πρόταση 2.9 των Στοιχείων και μας λέει ότι αν a^2=2b^2

τότε

, και αναλόγως (3a-4b)^2=2(3b-2a)^2

,

, κοκ: ξεκινώντας και πάλι από ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο δημιουργούμε αυτήν την φορά μία ακολουθία όλο και μικρότερων ισοσκελών ορθογωνίων τριγώνων (στις πλευρές των οποίων εμφανίζονται και πάλι ως 'συντελεστές' οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί).

Απλές γεωμετρικές αποδείξεις αυτού του 'αντίστροφου' γλαφυρού θεωρήματος μπορούν να δοθούν στο πνεύμα των απλών γεωμετρικών αποδείξεων του 'ευθέος'. Μία 'σύγχρονη' απόδειξη εμπεριέχεται πάντως και στην απόδειξη αρρητότητας του $\sqrt{2}$ του Stanley Tennenbaum (που αναφέρουν οι συγγραφείς ως ουσιαστικά βασιζόμενη στην Πρόταση 2.9), όπου η ύπαρξη ενός 'ελάχιστου' ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες πλευρές οδηγεί άτοπα σε ακόμη μικρότερο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές:

: tennenbaum.png (2.69 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 15, 2019 1:37 pm
Απλές γεωμετρικές αποδείξεις αυτού του 'αντίστροφου' γλαφυρού θεωρήματος μπορούν να δοθούν στο πνεύμα των απλών γεωμετρικών αποδείξεων του 'ευθέος'.

Στο 'ευθύ' (κύριο) γλαφυρό θεώρημα ξεκινάμε από ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς

και διαμέτρου

και καταλήγουμε σε (μεγαλύτερο) ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς B=a+b

και διαμέτρου A=a+2b

: δύο απλές γεωμετρικές κατασκευές δόθηκαν στο συνημμένο της αρχικής δημοσίευσης. (Ας παρατηρηθεί εδώ ότι ουσιαστικά/αρχικά δεν χρειάζεται καν το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το οποίο επικαλούμαστε μόνο στο αλγεβρικό/τελικό βήμα $a^2=2b^2\rightarrow A^2=2B^2$ .)

Στο 'αντίστροφο' γλαφυρό θεώρημα ξεκινάμε από ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς

και διαμέτρου

και καταλήγουμε σε (μικρότερο) ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς b=A-B

και διαμέτρου a=2B-A

. Οι απαιτούμενες γεωμετρικές κατασκευές, αντίστοιχες αυτών που χρειάστηκαν για το 'ευθύ' γλαφυρό θεώρημα και παρουσίασα στο συνημμένο της αρχικής δημοσίευσης, είναι δυσκολότερες: στην πρώτη περίπτωση απαιτείται, νομίζω (βλ. συνημμένο), η κατασκευή ισοσκελούς τραπεζίου με τρεις πλευρές ίσες (δυνατή με κανόνα και διαβήτη αλλά όχι κατά προφανή σε μένα τρόπο, ιδίως αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα), στην δεύτερη περίπτωση η κορυφή του νέου ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι το έγκεντρο του αρχικού τριγώνου (βλ. συνημμένο) και τα υπόλοιπα έπονται (με την επιφύλαξη ότι η έννοια του έγκεντρου ίσως και να μην ήταν γνωστή στους Πυθαγόρειους).

: αντιγλαφυρόν.png (4.42 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Συνδυάζοντας την ιδέα του Stanley Tennenbaum της προ-προηγούμενης δημοσίευσης με το 'αντιγλαφυρό θεώρημα' της προηγούμενης δημοσίευσης ... λαμβάνουμε μία στοιχειώδη απόδειξη της ασυμμετρίας πλευράς-διαμέτρου ... που δεν χρησιμοποιεί καν το Πυθαγόρειο Θεώρημα: υποθέτοντας ότι υπάρχει κάποιο ελάχιστο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο διαμέτρου

και πλευράς

, δημιουργούμε νέο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφή το έγκεντρο του αρχικού, διάμετρο a=2B-A<A

, και πλευρά b=A-B<B

(άτοπο).

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα δεν χρησιμοποιήθηκε καθώς δεν απαιτείται η συνεπαγωγή $A^2=2B^2\rightarrow (2B-A)^2=2(A-B)^2$ του 'αριθμητικού' γλαφυρού θεωρήματος αλλά η αμιγώς γεωμετρική 'Πρόκλεια' συνεπαγωγή "αν υπάρχει ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με διάμετρο

και πλευρά

τότε υπάρχει ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με διάμετρο 2B-A

και πλευρά A-B

". Βεβαίως στην κατασκευή/απόδειξη του Tennenbaum το Πυθαγόρειο Θεώρημα παίζει κύριο ρόλο, καθώς χρησιμοποιείται η συνεπαγωγή $A^2=2B^2\rightarrow (2B-A)^2=2(A-B)^2$ .

[Μια προσεκτικότερη ματιά στις 'ανθυφαιρετικές' αποδείξεις της ασυμμετρίας πλευράς-διαμέτρου που περιλαμβάνονται στο βιβλίο των Νεγρεπόντη-Φαρμάκη δείχνει ότι ούτε αυτές απαιτούν το Πυθαγόρειο Θεώρημα: πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι αντί της a^2=2b^2

αρκεί να χρησιμοποιηθεί -- βάσει απλών γεωμετρικών συλλογισμών -- η b<a<2b

(πρώτο βήμα), αντί της 'γνωμονικής' $b^2=\gamma _1(2b+\gamma _1)$ η $2\gamma _1<b<3\gamma _1$ (δεύτερο βήμα), κοκ]

Ιδίας κοπής αλλά αρκετά απλούστερη η απόδειξη που έδωσε ο Άγγελος Τσιριμώκος (Putnam Fellow 1973) σε άλλη συζήτηση:

: αγγελική-αρρητότητα.jpg (11.4 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

gbaloglou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 18, 2019 8:20 pm
[Μια προσεκτικότερη ματιά στις 'ανθυφαιρετικές' αποδείξεις της ασυμμετρίας πλευράς-διαμέτρου που περιλαμβάνονται στο βιβλίο των Νεγρεπόντη-Φαρμάκη δείχνει ότι ούτε αυτές απαιτούν το Πυθαγόρειο Θεώρημα: πράγματι, αρκεί να παρατηρηθεί ότι αντί της αρκεί να χρησιμοποιηθεί -- βάσει απλών γεωμετρικών συλλογισμών -- η (πρώτο βήμα), αντί της 'γνωμονικής' $b^2=\gamma _1(2b+\gamma _1)$ η $2\gamma _1<b<3\gamma _1$ (δεύτερο βήμα), κοκ]

Ακριβέστερα, το Πυθαγόρειο Θεώρημα στην προτεινόμενη ανακατασκευή των Νεγρεπόντη-Φαρμάκη μπορεί να παραληφθεί μόνον αν αυτή 'ταυτισθεί' με την παραπάνω προσέγγιση του G. Chrystal ... όπως, αρκετά αυθαίρετα, έκανα στην παρουσίαση μου της 12-5-2019 (βλ. συνημμένο αρχικής δημοσίευσης), βασιζόμενος στην υποχρεωτική ταύτιση του πρώτου ανθυφαιρετικού υπολοίπου $\gamma _1=a-b$ . Όμως, όπως δείχνει και το παρόν συνημμένο, πρόκειται για δύο διαφορετικούς δρόμους: σ' αυτόν του G. Chrystal (και πιθανώς προγενέστερων αυτού που αγνοούμε, και σίγουρα μεταγενέστερων αυτού που αναφέρουν οι συγγραφείς) μία απλή (;) γεωμετρική ιδέα (κάθετος στην υποτείνουσα στο σημείο όπου 'φτάνει' η πλευρά) δημιουργεί το κρίσιμο μήκος $\gamma _1$ τρεις φορές (και τα υπόλοιπα έπονται), σ' αυτόν των Νεγρεπόντη-Φαρμάκη το $\gamma _1$ προκύπτει, μέσω Πυθαγορείου Θεωρήματος, ως (γνωστή ήδη) 'λύση' μιας 'εξίσωσης', μιας "παραβολής χωρίων καθ' υπερβολή"*.

Η πιθανότητα να είχαν φτάσει οι Πυθαγόρειοι στην ασυμμετρία πλευράς-υποτείνουσας ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ΠΡΙΝ φτάσουν στο Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι βέβαια σκανδαλωδώς γοητευτική (και ενισχύεται κάπως, ειρήσθω εν παρόδω, από την πιθανή μη εύρεση της 'σύγχρονης' αριθμοθεωρητικής απόδειξης από τους Πυθαγόρειους), σημαντικότερο όμως εδώ είναι το ερώτημα: γιατί να επιμένουμε σε εκ μέρους τους χρήση της ανθυφαιρετικής διαδικασίας την στιγμή που έχουμε διαθέσιμη την παραπάνω 'αντιγλαφυρή' προσέγγιση των Πρόκλου-Tennenbaum-Τσιριμώκου; Ένα επιχείρημα είναι η 'ξεκρέμαστη' Πρόταση 10.2 των Στοιχείων, ένα γενικό κριτήριο ασυμμετρίας βασισμένο σε μη περατούμενη ανθυφαίρεση, που εφαρμόζεται άμεσα στις ανθυφαιρετικές προσεγγίσεις των G. Chrystal και Νεγρεπόντη-Φαρμάκη. Ένα άλλο επιχείρημα είναι η αναφορά του Πρόκλου (Εις Ευκλείδην 60, 7-12) σε άπειρη φθίνουσα ακολουθία γνωμόνων σε σχέση με την ασυμμετρία πλευράς-υποτείνουσας ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ΚΑΙ την εκ μέρους του 'σύγκριση' γεωμετρικής και αριθμητικής ανθυφαίρεσης (βλ. συνημμένο αρχικής δημοσίευσης).

Στο πρώτο επιχείρημα θα μπορούσε να αντιτείνει κάποιος ότι η Πρόταση 10.2 χρησιμοποιήθηκε, όχι κατ' ανάγκην από τους Πυθαγόρειους, για την απόδειξη της ασυμμετρίας πλευράς-διαγωνίου κανονικού πενταγώνου (άμεσα σχετιζόμενης με την αρρητότητα της χρυσής τομής), όπως άλλωστε προτείνεται από τους συγγραφείς στην ενότητα 7.8: η ασυμμετρία αυτή ήταν επίσης γνωστή ("άλογος γαρ έστιν η τοιαύτη ευθεία και αριθμοίς ουχ υποπίπτει", Νεγρεπόντης-Φαρμάκη σελ. 351), ενώ η 'αντιγλαφυρή' προσέγγιση των Πρόκλου-Tennenbaum-Τσιριμώκου ΔΕΝ εφαρμόζεται ... καθώς οδηγεί, ξεκινώντας από κανονικό πεντάγωνο ακέραιης πλευράς

και ακέραιης διαγωνίου

, σε μικρότερο κανονικό πεντάγωνο (αυτό των διαγωνίων) ακέραιης πλευράς 2b-a

και ΜΗ ακέραιης διαγωνίου $\dfrac{b(2b-a)}{a-b}$ !

Στο δεύτερο επιχείρημα θα μπορούσε να αντιτείνει κάποιος ότι άπειρη φθίνουσα ακολουθία γνωμόνων υπάρχει ΚΑΙ στην προσέγγιση των Πρόκλου-Tennenbaum-Τσιριμώκου, καθώς δημιουργούνται εκεί χωρία (διαφορές ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου μείον το 'επόμενο', εντός αυτού, ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο) που μοιάζουν με 'κολοβούς' γνώμονες! (Βεβαίως ... για την 'αντιγλαφυρή', δια της εις άτοπον απαγωγής, απόδειξη της ασυμμετρίας πλευράς-υποτείνουσας χρειάζεται ΕΝΑ και μόνον βήμα δημιουργίας ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου μικρότερου του αρχικού, θα ήταν όμως φανερό ότι η διαδικασία μπορεί να συνεχίσει επ' άπειρον.)

Προτείνεται λοιπόν ως πιθανό εναλλακτικό σενάριο η χρήση της ανθυφαίρεσης από τους Πυθαγόρειους για την απόδειξη ΜΟΝΟΝ της ασυμμετρίας πλευράς-διαγωνίου κανονικού πενταγώνου. [Βέβαια στο σενάριο αυτό υπάρχει ακόμη χώρος για ανθυφαιρετική (ανα)κατασκευή, ιδίως αυτήν του G. Chrystal, όχι τόσο απλή όσο η αντιγλαφυρή απόδειξη, αλλά πιθανώς συνυπάρχουσα με αυτήν: θα μπορούσε μάλιστα να είχε πρώτα αποδειχθεί αντιγλαφυρώς η ασυμμετρία πλευράς-υποτείνουσας, ακολούθως να είχε αποδειχθεί ανθυφαιρετικώς η ασυμμετρία πλευράς-διαγωνίου κανονικού πενταγώνου, και τελικώς να είχε αποδειχθεί και ανθυφαιρετικώς η ασυμμετρία πλευράς-υποτείνουσας. (Βλέπε και σχετική άποψη von Fritz, υποσημείωση 190, σελίδα 349 ... υπέρ της ανθυφαιρετικής απόδειξης ασυμμετρίας πλευράς-διαγωνίου κανονικού πενταγώνου ΠΡΙΝ από την ανθυφαιρετική απόδειξη ασυμμετρίας πλευράς-υποτείνουσας.)]

*"παραβολή χωρίων καθ΄υπερβολή" είναι 'γεωμετρική εξίσωση' της μορφής $A=(B+C)\cdot D$ , ενώ "παραβολή χωρίων κατ' έλλειψη" είναι 'γεωμετρική εξίσωση' της μορφής $A=(B-C)\cdot D$ -- αμφότερες εξετάζονται λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 6.

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 24-5-2019 4:50 μμ: έγιναν αλλαγές στην τελευταία παράγραφο

: ανθυφαιρετικώς-ή-μη.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

θεώρημα γλαφυρόν...

θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Re: θεώρημα γλαφυρόν...

Μέλη σε σύνδεση