Μία από τις κύριες αρετές του βιβλίου είναι η δυνατότητα που δίνει στους σύγχρονους Έλληνες να 'νιώσουν' τις μαθηματικές δημιουργίες των προγόνων τους μέσα από την πολύ γενναιόδωρη παράθεση αρχαιοελληνικών κειμένων. Τα κείμενα αυτά δεν αποδίδονται πάντα στην νεοελληνική, η κατανόηση τους διευκολύνεται όμως από την συζήτηση των σχετικών με αυτά Μαθηματικών. Και ένα από τα ωραιότερα παρατιθέμενα κείμενα είναι η διατύπωση του Γλαφυρού Θεωρήματος από τον Πρόκλο (εις Πολιτείαν 2.27, 11-16).
Το θεώρημα που ο Πρόκλος ονομάζει "γλαφυρό", αρκετούς αιώνες μετά την ανακάλυψη του από τους Πυθαγόρειους, δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί με πολύ στοιχειώδη γεωμετρικό τρόπο. Αυτό φαίνεται και από την απόδειξη που παρατίθεται στην σελίδα 370, και από την απόδειξη που βρήκα κατά την πρώτη σοβαρή φυλλομέτρηση του βιβλίου στις 2-4-2019 (την ημέρα δηλαδή που μου έγινε, μάλλον απρόσμενα, η πρόταση παρουσίασης του βιβλίου




[Χρειάζεται προσοχή στο τι είναι/ήταν 'αλγεβρικό' και τι 'γεωμετρικό', και αυτό άπτεται του γενικότερου ερωτήματος αν είχαν όντως φθάσει οι Πυθαγόρειοι (και το Δεύτερο Βιβλίο των Στοιχείων) στην λεγόμενη Γεωμετρική Άλγεβρα, ένα από τα κύρια θέματα του βιβλίου που δεν θίγεται εδώ.]
Σε απλή νεοελληνική το γλαφυρό θεώρημα μας λέει ότι κάθε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο πλευράς











Θεωρώντας ισοσκελή τρίγωνα βάσης






Είχαν αποδείξει οι Πυθαγόρειοι την ιδιότητα Pell; Αυτό αποτελεί αντικείμενο διαμάχης ανάμεσα στους ειδικούς, όπως λεπτομερώς συζητούν οι συγγραφείς, που επιχειρηματολογούν, αρκετά πειστικά, υπέρ της αισιόδοξης άποψης: υποστηρίζουν συγκεκριμένα την χρήση κάποιας μορφής μαθηματικής επαγωγής με επαγωγικό βήμα βασιζόμενο στην 'Πυθαγόρεια' ισότητα

Μία άλλη ιδιότητα των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών είναι η ομοιότητα των 'ανθυφαιρετικών' αναπτυγμάτων τους: προσπαθώντας να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους με τον γνωστό 'Ευκλείδειο' αλγόριθμο, και αρχίζοντας με διαίρεση του





'Παρόμοιο' ανθυφαιρετικό ανάπτυγμα, μη τερματιζόμενο όμως, λαμβάνουμε και όταν προσπαθήσουμε να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη διαμέτρου και πλευράς ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου: αυτό σημαίνει, σύμφωνα με την Πρόταση 10.2 των Στοιχείων, ότι πλευρά και διάμετρος είναι 'ασύμμετρες προς άλληλες', και ότι, για παράδειγμα, ο

Πρώτος στα νεώτερα χρόνια ο G. Chrystal (1889) έδωσε γεωμετρική μορφή στην παραπάνω ανθυφαιρετική διαδικασία, δημιουργώντας μία άπειρη ακολουθία φθινόντων τετραγώνων. 130 χρόνια αργότερα, οι συγγραφείς επιχειρούν ανακατασκευή της αρχικής Πυθαγόρειας απόδειξης βασιζόμενοι σε νύξη του Πρόκλου για άπειρη ακολουθία φθινόντων γνωμόνων (εις Ευκλείδην 60, 7-12). Βεβαίως τα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα




Μία σύγχρονη/αλγεβρική ματιά στα ανθυφαιρετικά υπόλοιπα αποκαλύπτει ότι





[Θα μπορούσαν οι πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί να είχαν ανακαλυφθεί όπως στην προηγούμενη παράγραφο; Αυτό που φαίνεται προφανές σήμερα πιθανώς δεν ήταν 'αλγεβρικά εφικτό' ΤΟΤΕ, οπότε αναρωτιέται κανείς μήπως προέκυψαν 'γλαφυρώς', κατά τον αναδρομικό αλγόριθμο που 'προτείνει' άμεσα το Γλαφυρό Θεώρημα -- υπάρχει όμως και εδώ η δυσκολία ερμήνευσης της επιλογής του πρώτου βήματος,


Το τελικό έξοχο σχόλιο προέρχεται από κάποιον ανώνυμο σχολιαστή του Ευκλείδη: τονίζεται ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν 'διαιρούνται' επ' άπειρον αλλά είναι όλοι διαφορετικοί, ενώ τα αντίθετα συμβαίνουν με τα ευθύγραμμα τμήματα.