Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 24, 2018 2:55 pm

Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle  17^x + 2^x = 11^x + 2^{3x}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Απρ 25, 2018 2:02 am

Γράφουμε την εξίσωση ως \displaystyle{8^x-2^x=17^x-11^x}. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύσεις x=0,x=1. Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες. Έστω x \neq 0,x \neq 1 μια πραγματική λύση της εξίσωσης. Θεωρούμε την συνάρτηση T(a)=(8+a)^x-(2+a)^x με πεδίο ορισμού (-1,+\infty). Εφόσον η εξίσωση έχει λύση, έχουμε T(0)=T(9). Η συνάρτηση T είναι παραγωγίσιμη με T'(a)=x(8+a)^{x-1}-x(2+a)^{x-1}. Από το θεώρημα Rolle υπάρχει \xi \in (0,9) με T'(\xi)=x(8+\xi)^{x-1}-x(2+\xi)^{x-1}=0. Aφού x\neq 0,x \neq 1, παίρνουμε 8+\xi=2+\xi, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 25, 2018 11:25 am

Λίγο διαφορετικά:

Η συνάρτηση f_x(t) = t^x έχει δεύτερη παράγωγη x(x-1)t^{x-2}. Άρα η f_x(t) είναι αυστηρά κυρτή για x < 0 και για x > 1 ενώ είναι αυστηρά κοίλη για 0 < x < 1.

Άρα για x < 0 ή x > 1 από την ανισότητα Karamata έχουμε f_x(17) + f_x(2) > f_x(8) + f_x(11) ενώ για 0 < x < 1 ισχύει η ανάποδη ανισότητα.

Οπότε ισότητα έχουμε μόνο για x=0,1. (Απλός έλεγχος.)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11489
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 25, 2018 12:09 pm

Demetres έγραψε:
Τρί Απρ 24, 2018 2:55 pm
Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle  17^x + 2^x = 11^x + 2^{3x}

Έχω την ίδια άσκηση στην γενική της μορφή, a^x+b^x=c^x+d^x με a+b=c+d για διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς a,b,c,d , στο βιβλίο μου Επαναληπτικά Θέματα, σελίς 287. Παραθέτω συνοπτικά την λύση για την παραπάνω ειδική περίπτωση: 17^x-11^x=8^x-2^x.

Από ΘΜΤ στην t^x με x σταθερό και t μεταβλητό (παραγώγιση ως προς t) υπάρχουν 11<\xi <17, \, 2<\eta < 8 (και άρα άνισα μεταξύ τους) με (17-11)x\xi ^{x-1} = (8-2)x\eta ^{x-1}. Άρα 6x(\xi ^{x-1} -\eta ^{x-1})=0. Τελικά x=0 ή x=1.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 365
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pm

Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2636
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 25, 2018 1:11 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pm
Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
Δεν νομίζω ότι είναι εύκολη.
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 365
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Απρ 25, 2018 1:16 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 1:11 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 12:37 pm
Το αστείο είναι ότι αυτή την άσκηση την διδάσκω σε όλα τα παιδιά της Γ΄λυκείου για τις πανελλήνιες! Δεν είναι λίγο εύκολη για διαγωνισμό?
Δεν νομίζω ότι είναι εύκολη.
Προφανώς δεν γνώριζαν αυτοί που έβαλαν τα θέματα ότι εμείς εδώ έχουμε ΄'ξεφύγει''.
Τι να πω δεν ξέρω... Η λύση που συζητάω με τα παιδιά είναι η λύση που πρότεινε ο κύριος Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category II

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Απρ 25, 2018 2:16 pm

Την άσκηση την έλυσαν 40 από τους 71 διαγωνιζόμενους. (Βάζω και αυτούς που πήραν 9 από τα 10.) Άρα για επίπεδα διαγωνισμού ήταν εύκολη αλλά όχι τετριμμένη. Από ένα πολύ σύντομο έλεγχο, φαίνεται ότι τα τελευταία χρόνια η πρώτη άσκηση έχει περίπου τον ίδιο βαθμό επιτυχίας.

Αν και είναι μεγάλη κουβέντα αυτή, στις Πανελλήνιες θεωρώ ότι όντως έχουν ξεφύγει τα πράγματα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης