Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

#1

: 2011.PNG (136.03 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

#2

Σχετική συζήτηση:

viewtopic.php?f=58&t=14950

#3

Πρόβλημα 1

α) Θέτοντας x=n^2+a^2

η προς απόδειξη γίνεται $2na\le n^2+a^2$ που είναι άμεση και γνωστή. Ισχύει ισότητα αν και μόνον αν n=a

, οπότε

.

β) Έχουμε από την υπόθεση και το προηγούμενο ότι

$\displaystyle{x+y+z= 2\cdot 1\sqrt {x-1^2}+ 2\cdot 2\sqrt {y-2^2} + 2\cdot 3 \sqrt {z-3^2} \le x+y+z}$ .

Άρα έχουμε ισότητα παντού και ειδικά, από το α), οι τιμές που δίνουν την ισότητα είναι οι $x=2\cdot 1^2=2, \, y=2\cdot 2^2=8$ και $z=2\cdot 3^2=18$ . Aυτές οι τιμές δίνουν και την ζητούμενη λύση της εξίσωσης.

Edit αργότερα. Τώρα είδα ότι εν τω μεταξύ μπήκε το ποστ #2 που παραπέμπει σε λύση εντός του φόρουμ. Αφήνω την λύση για τον κόπο.

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

Μέλη σε σύνδεση