ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

#41

socrates έγραψε:
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Πρόβλημα 3
Αν οι τέμνονται στο , το είναι μέσο του επομένως $EK\parallel MC$ . Οπότε το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου καθώς $ZD\perp EK,KA\perp EZ$ . Άρα και $EC\perp ZK$ .
Ωραία λύση!

Τη λύση αυτή την πλησίασε και ένας μαθητής στο διαγωνισμό!

Βάσει αποτελεσμάτων, ήταν το πιο δύσκολο θέμα του διαγωνισμού για τους μικρούς.

Σταύρος Σταυρόπουλος · #42

Οι απαντήσεις από την ΕΜΕ: http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _02_27.pdf

Nick Rapanos · #43

Demetres έγραψε:Η υπόδειξη που έδωσα για τον τέταρτο ήταν για την λύση που έδωσε ο Παναγιώτης.

Δίνω ακόμη μια λύση:

Έστω ο αριθμός όλων των -άδων $(x_1,\ldots,x_n)$ ώστε τα $x_1,\ldots,x_n$ παίρνουν τις τιμές και το άθροισμα $x_1+\cdots +x_n$ είναι άρτιος.

Έχουμε $A_{n-1}$ τέτοιες -άδες με . (Αφού $x_1 + \cdots + x_{n-1}$ θα είναι άρτιος.)
Έχουμε $A_{n-1}$ τέτοιες -άδες με . (Για τον ίδιο λόγο)
Έχουμε $3^{n-1} - {A_{n-1}$ τέτοιες -άδες με . (Αφού $x_1 + \cdots + x_{n-1}$ θα είναι περιττός.)

Άρα $A_n = 3^{n-1} + A_{n-1}$ .

Είναι . Άρα και .

[Επαγωγικά βγαίνει $\displaystyle{ A_n = \frac{3^n+1}{2}.}$ ]

Αφού εκφράσω τα ειλικρινή μου συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες του διαγωνισμού, καθώς και στους διοργανωτές και στους δασκάλους τους, θα ήθελα να παραθέσω κι εγώ ακόμη μία λύση για το τέταρτο πρόβλημα των Μικρών στη γενικευμένη εκδοχή που παρουσίασε ο Δημήτρης.

Παρατηρώ ότι κάθε

-άδα $(x_1,\ldots,x_n)$ μπορεί να αντιστοιχηθεί 1-1

και επί στον τριαδικό αριθμό $\overline{x_n\ldots x_1}$ , και αυτός με τη σειρά του μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδική βάση ως εξής:

$\displaystyle{\overline{x_nx_{n-1}\ldots x_1} = \underbrace{3^{n-1}\cdot x_n + 3^{n-2}\cdot x_{n-1} + \ldots + x_1}_{x} }$

Τώρα, παρατηρήστε ότι:

$\displaystyle{\displaystyle \sum_{n}x_i \equiv 3^{n-1}\cdot x_n + 3^{n-2}\cdot x_{n-1} + \ldots + x_1\ (\textrm{mod}\ 2) = x\ (\textrm{mod}\ 2) }$

Επομένως, όλες οι

-άδες $(x_1,\ldots,x_n)$ μπορούν να αντιστοιχηθούν 1-1

και επί στους αριθμούς
$0, 1, \ldots, 3^n-1$ έτσι ώστε αν $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto x$ , τότε $\displaystyle \sum_{n}x_i \equiv x\ (\textrm{mod}\ 2)$ .

Συνεπώς, και λόγω της περιοδικότητας του modulo 2, το πλήθος των ζητούμενων

-άδων είναι ίσο με $\displaystyle\frac{3^n-1}{2}+1$ .

christodoulos703 · #44

Γενικώς,τη χρονια αυτή τα θέματα ήταν πιο εύκολα ή πιο δύσκολα;Και την επόμενη χρονιά πιστεύετε ότι τα θέματα θα έχουν μεγαλύτερο βαθμό δυσκολίας; Είναι πολύ σημαντικό για εμένα να μάθω.

Με εκτίμηση,μαθητης γ γυμνασίου .

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Μέλη σε σύνδεση