Ανισότητα

geo70 · #1

Ν.Δ.Ο. $e^{2}< 8$

#2

geo70 έγραψε: Κυρ Απρ 18, 2021 6:04 pm Ν.Δ.Ο. $e^{2}< 8$

Επειδή παραείναι απλή η άσκηση θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Θυμίσου την τιμή του

. Μετά στρογγυλοποίησε προς τα πάνω το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της τιμής αυτής.

KARKAR · #3

Λογαριθμίζοντας , παίρνουμε : $2<ln2^3\Leftrightarrow ln2>\dfrac{2}{3}$ . Αν για κάποιο λόγο θεωρήσουμε γνωστό

ότι : $ln2\simeq 0.693$ , η ανισότητα καθίσταται προφανής .

Σημείωση 1 : Είναι γνωστό ( από Θ.Μ.Τ) ότι : $lnx>\dfrac{x-1}{x} , \forall x >0$ . Δυστυχώς η ανισότητα

αυτή δεν δίνει απάντηση στο πρόβλημά μας .

Σημείωση 2 : Εμείς θέλουμε να ισχύει : $lnx>\dfrac{x}{x+1} , \forall x \geq 2$ . Αν θεωρήσουμε την :

$f(x)=lnx-\dfrac{x}{x+1}$ , βρίσκουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα με ( μοναδική ) ρίζα

την : $x\simeq 1.933$ . Αλλά αυτή η ρίζα βρέθηκε με λογισμικό

Σημείωση 3 : Τέτοιες ανισότητες μεταξύ σταθερών αριθμών μπορεί να είναι από ... αστείες

έως αδιάφορες . Γράφω κι εγώ μία : Να δειχθεί ότι : $2\pi+e>9$

#4

Χρήσιμη, και εδώ και αλλού, είναι και η $e<\dfrac{11}{4}$ : στην παρούσα περίπτωση ... $e^2<\dfrac{121}{16}<8$ .

Απόδειξη της $e<\dfrac{11}{4}$ : ισχύει η

$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{720}<\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{125}+\dfrac{1}{625}$

(ισοδύναμη προς την $\dfrac{157}{720}<\dfrac{156}{625}$ ), οπότε η ζητούμενη προκύπτει από την

$e=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}+...<$

$<1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+\dfrac{1}{5^4}+...= \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}.$

Christos.N · #5

Λάμπρος Μπαλός · #6

Λάμπρος Μπαλός · #7

Επειδή μου ζητήθηκε (ορθώς) από τον χρήστη KARKAR -τον οποίο ευχαριστώ- μια δικαιολόγηση, δίνω μια απόδειξη της ανισότητας λογαριθμικού μέσου - αριθμητικού μέσου που χρησιμοποιώ παραπάνω.

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x)= lnx-2 \frac{x-1}{x+1}$ , η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο $[1, + \infty)$ διότι
$f'(x)=\frac{1}{x}-2\frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}}= \frac{(x+1)^{2}-4x}{x(x+1)^{2}}=\frac{(x-1)^{2}}{x(x+1)^{2}}>0$ , για x>1

.

Για

, $f(\frac{b}{a})>f(1)$ από όπου προκύπτει η γνωστή

$\frac{lnb-lna}{b-a}>\frac{2}{b+a}$ .

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση