Ίσα Τμήματα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

giannimani · #1

: Orth_tr.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\; (\angle C =90^{\circ})$ θεωρούμε την ευθεία που διέρχεται από το μέσο

της καθέτου πλευράς

, και από το έγκεντρο

του $\triangle ABC$ , η οποία τέμνει την κάθετο
πλευρά

στο σημείο

, και την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής του
εγγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ με τις πλευρές

και

, η οποία τέμνει το ύψος

προς την
υποτείνουσα στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι CM=CN

.

#2

giannimani έγραψε: Παρ Απρ 29, 2022 1:01 pm Orth_tr.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\; (\angle C =90^{\circ})$ θεωρούμε την ευθεία που διέρχεται από το μέσο
της καθέτου πλευράς , και από το έγκεντρο του $\triangle ABC$ , η οποία τέμνει την κάθετο
πλευρά στο σημείο , και την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής του
εγγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ με τις πλευρές και , η οποία τέμνει το ύψος προς την
υποτείνουσα στο σημείο . Να αποδείξετε ότι .

Είναι $\displaystyle r = \frac{{a + b - c}}{2}$ και από τα όμοια τρίγωνα IZE, MCE

έχω:

: Ίσα τμήματα σε ορθογώνιο.png (19.44 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

$\displaystyle \frac{{EZ}}{{EC}} = \frac{r}{{CM}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{2} - r}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{r}{{CM}} \Leftrightarrow CM = \frac{{ar}}{{a - 2r}} = \frac{{a(a + b - c)}}{{2(c - b)}} = \frac{{{a^2} - a(c - b)}}{{2(c - b)}}$

$\displaystyle CM = \frac{{{c^2} - {b^2} - a(c - b)}}{{2(c - b)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{CM = \frac{{b + c - a}}{2}}$

Μενέλαος στο ACH

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {DNF}:$

$\displaystyle \frac{r}{{AF}} \cdot \frac{{AD}}{{DH}} \cdot \frac{{HN}}{{CN}} = 1 \Leftrightarrow \frac{r}{{AD - AH}} = \frac{{CH - CN}}{{CN}} \Leftrightarrow \dfrac{r}{{\dfrac{{b + c - a}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{c}}} = \dfrac{{CN}}{{\dfrac{{ab}}{c} - CN}},$

όπου μετά τις πράξεις παίρνω $\displaystyle CN = \frac{{ab}}{{a + c - b}}=\frac{ab}{2BD}.$ Αλλά είναι γνωστό ότι:

$\displaystyle (ABC) = AD \cdot DB \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{2BD}} = AD \Leftrightarrow$ $\boxed{CN = \frac{{b + c - a}}{2}}$

Δεν βρήκα ευκολότερη λύση.

giannimani · #3

Συμβολίζουμε με

,

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου $\omega$ του $\triangle ABC$ με τις πλευρές

,

αντίστοιχα.

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο $\omega$ . Στο τραπέζιο BCFF'

η ευθεία

διέρχεται από
τα μέσα των βάσεων

,

. Είναι γνωστό ότι θα περάσει από το σημείο τομής των μη παραλλήλων
πλευρών του τραπεζίου. Εφόσον, από υπόθεση $M =(EI)\cap AC$ , τότε τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια
ευθεία. Αλλά, τότε το

είναι το σημείο επαφής του

παρεγγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ , οπότε
$AM= CF \Leftrightarrow AF=CM$ . Όμως, AF= AD

. Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι AD=CN

.

: orth_trian.png (35.63 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Έστω

το σημείο τομής της ευθείας

με την παράλληλο της

που φέρουμε από την κορυφή

.
Τότε, $\angle CLF =\angle CLD = \angle ADL$ (εντός εναλλάξ) $=\angle AFD= \angle LFC$ .
Ως εκ τούτου, το τρίγωνο CLF

είναι ισοσκελές, δηλαδή, CL=CF=r

, όπου

η ακτίνα του εγγεγραμμένου
κύκλου $\omega$ (λόγω του τετραγώνου CFIG

).
Στη συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα LCN

και

είναι ίσα ( CL= DI=r

, $\angle CLN=\angle DIA$ και $\angle LCN=\angle IDA=90^{\circ}$ ).
Επομένως, CN = AD

που είναι αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε.

Υ.Γ. Η άσκηση είναι από βιβλίο του ρώσου γεωμέτρη- παιδαγωγού Ι.Φ. Σάριγκιν (1937-2004). Η λύση που δίνει είναι
μετρική με χρήση τριγωνομετρίας.

Ίσα Τμήματα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Ίσα Τμήματα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Re: Ίσα Τμήματα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Re: Ίσα Τμήματα σε Ορθογώνιο Τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση