Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

KARKAR · #1

: Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.png (5.44 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Το εμβαδόν

, στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο OAB

,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

, συναρτήσει του

.

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

. ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι

( συμπλήρωση ) .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 26, 2021 1:32 pm Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.pngΤο εμβαδόν , στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο ,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος , συναρτήσει του .

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου . ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι ( συμπλήρωση ) .

Έστω

και

Λόγω των εμβαδών είναι ab=6E, BS=2SA

και

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{a} = \dfrac{2}{3}\\ \\ \dfrac{y}{b} = \dfrac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{xy}}{{ab}} = \frac{2}{9} \Leftrightarrow xy = \frac{{4E}}{3}$

: Αναπάντεχα δεδομένα 3.png (11.79 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Άρα το

κινείται σε υπερβολή με εξίσωση $\boxed{y = \frac{{4E}}{{3x}}}$

$\displaystyle O{S^2} = {x^2} + {y^2} = {x^2} + \frac{{16{E^2}}}{{9{x^2}}}.$ Επειδή $\displaystyle {x^2} \cdot \frac{{16{E^2}}}{{9{x^2}}} = \frac{{16{E^2}}}{9}$ σταθερό,

το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν $\displaystyle {x^2} = \frac{{4E}}{3}.$ Άρα, $\boxed{ O{S_{\min }} = \sqrt {\frac{{8E}}{3}}}$

Σημείωση: Οι κορυφές A, B

του τριγώνου OAB

είναι συντεταγμένες των σημείων της κόκκινης καμπύλης με εξίσωση $y=\dfrac{6E}{x}.$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 26, 2021 1:32 pm Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα.pngΤο εμβαδόν , στο μεταβλητών κάθετων πλευρών , ορθογώνιο τρίγωνο ,

είναι σταθερό . Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος , συναρτήσει του .

Βρείτε και τον γεωμετρικό τόπο του σημείου . ( Μπορείτε να αρχίσετε από αυτό ) .

Είναι φανερό ότι το εμβαδόν ολόκληρου του τριγώνου είναι ( συμπλήρωση ) .

'Εστω $OB=a,\, OA=b$ και έστω ότι η κάθετος από το

στην

την τέμνει στο

. Επειδή το τρίγωνο ASC

είναι το $\frac {1}{3}$ του OAB

, έπεται $SC= \frac {1}{3}a,\, CA = \frac {1}{3}b$ . Άρα

$OS^2 = SC^2+OC^2 \ge 2SC\cdot OC = 2 \cdot \dfrac {a}{3} \cdot \dfrac {2b}{3} = \dfrac {4ab}{9} = \dfrac {8E}{9}$ , με ισότητα ότα SC=OC

. Άρα το ελάχιστο

είναι $\dfrac {2\sqrt {2E}}{3}$ .

Για τον γεωμετρικό τόπο του

, του οποίου οι συντεταγμένες είναι $x= \dfrac {2b}{3} ,\, y = \dfrac {a}{3}$ , έχουμε $xy= \dfrac {2ab}{9} = \dfrac {4E}{3}$ (υπερβολή).

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, και με ωραιότατο σχήμα, όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο παρά το γεγονός ότι οι λύσεις έχουν μόνο μικροδιαφορές.

Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

Re: Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

Re: Υπολογισμός τμήματος από αναπάντεχα δεδομένα

Μέλη σε σύνδεση