Ψύλλοι στ' άχυρα

KARKAR · #1

: Ψύλλοι στ' άχυρα.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Σε κύκλο

, θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές AB=6

και :

.

Η ευθεία

τέμνει την χορδή

στο σημείο

, από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την

,

η οποία τέμνει την προέκταση της

, στο σημείο

. Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{PSD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 14, 2024 8:16 pm Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές και : .

Η ευθεία τέμνει την χορδή στο σημείο , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της , στο σημείο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{PSD}$ .

$\boxed{\tan \theta = \frac{1}{7}}$

: Ψύλλοι στ άχυρα.png (49.95 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Η απόσταση των παραλλήλων χορδών , $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ είναι ίση με το άθροισμα των αποστημάτων προς αυτές, δηλαδή : 4 + 3 = 7

.

Αν

οι προβολές των A,O,S

στην

, έχω: $CT = 1\,\,$ . Θέτω $PD = x \Rightarrow MP = 4 - x$ .

Επειδή , $\dfrac{{OM}}{{AT}} = \dfrac{{PM}}{{PT}} \Rightarrow \dfrac{3}{7} = \dfrac{{4 - x}}{{7 - x}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{7}{4}\,\,}\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow \boxed{TP = \dfrac{{21}}{4}}\,\,\left( 2 \right)$ . $\tan \omega = \dfrac{{DK}}{{SK}} = \dfrac{{TP}}{{SK}} = \dfrac{3}{4}$ και άρα ,

$\boxed{\tan \theta = \tan \left( {45^\circ - \omega } \right) = \dfrac{{1 - \tan \omega }}{{1 + \tan \omega }} = \dfrac{1}{7}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 14, 2024 8:16 pm Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές και : .

Η ευθεία τέμνει την χορδή στο σημείο , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της , στο σημείο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{PSD}$ .

Έστω

τα μέσα των CD, AB.

Εύκολα βρίσκω ότι το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου ABDC

είναι

Άρα το τρίγωνο CZB

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,

οπότε $B\widehat CZ=45^\circ=B\widehat SP($ λόγω του παραλληλογράμμου BSPC).

: Ψύλλοι στ' άχυρα.png (20.57 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Αν

τότε $\displaystyle \frac{{PM}}{{PE}} = \frac{{OM}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 3}} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{9}}{4} \Rightarrow KS =EP=3+x= \frac{{21}}{4}$

$\displaystyle \tan (45^\circ + \theta ) = \frac{7}{{\frac{{21}}{4}}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{1 + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{7}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 14, 2024 8:16 pm Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές και : .

Η ευθεία τέμνει την χορδή στο σημείο , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της , στο σημείο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{PSD}$ .

είναι ισοσκελές τραπέζιο και παραλ/μμο αντίστοιχα,άρα AD=BC=PS

και το

είναι επίσης

ισοσκελές τραπέζιο,συνεπώς $\angle PSD= \angle TAD= \theta$ με $tan \theta = \dfrac{DT}{DA}$

Είναι ED=1

κι επειδή

ισοσκελές τραπέζιο, θα είναι $ET=1 \Rightarrow DT= \sqrt{2}$

κι από Π.Θ στο τρίγωνο $BED\Rightarrow BD=AC= \sqrt{50}$

Τέλος ,ο Πτολεμαίος στο ABDC

δίνει $AD= \sqrt{98}$ .Άρα $tan \theta = \sqrt{ \dfrac{2}{98} }= \dfrac{1}{7}$

: ψύλλοι στ άχυρα.png (47.05 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

#5

: Ψύλλοι στ' άχυρα.2.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:
$\displaystyle \bullet$ Οι διαγώνιοι του ABDC

τέμνονται κάθετα.

$\displaystyle \bullet$ Το PDSA

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

$\displaystyle \bullet$ Η

είναι εφαπτομένη του κύκλου.

Ψύλλοι στ' άχυρα

Ψύλλοι στ' άχυρα

Re: Ψύλλοι στ' άχυρα

Re: Ψύλλοι στ' άχυρα

Re: Ψύλλοι στ' άχυρα

Re: Ψύλλοι στ' άχυρα

Μέλη σε σύνδεση