Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#1

: Ενδιαφέρουσα καθετότητα.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Δίνεται τεταρτοκύκλιο $O \overset\frown {AB}.$ A) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου

που να εφάπτεται

στις ακτίνες OA, OB

στα

αντίστοιχα και εσωτερικά του τόξου $\overset\frown {AB}$ στο σημείο

B) Αν

είναι το σημείο τομής των BN, MT,

να δείξετε ότι $OH\bot HQ.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Δευ Φεβ 03, 2020 7:08 pm Ενδιαφέρουσα καθετότητα.png
Δίνεται τεταρτοκύκλιο $O \overset\frown {AB}.$ A) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου που να εφάπτεται

στις ακτίνες στα αντίστοιχα και εσωτερικά του τόξου $\overset\frown {AB}$ στο σημείο

B) Αν είναι το σημείο τομής των να δείξετε ότι $OH\bot HQ.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η πηγή μετά τις λύσεις.

: 221.PNG (28.74 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Α) Από γνωστή πρόταση για τους εφαπτόμενους εσωτερικά κύκλους η

θα περνά από το μέσο του τόξου που ορίζει το

με το αντιδιαμετρικό του δηλαδή από το

το αντιδιαμετρικό του

.Για την κατασκευή λοιπόν ορίζουμε

το σημείο τομής της διχοτόμου της $\anlge AOB$ με τον κύκλο και

η τομή της TA'

με την

οπότε εύκολα προσδιορίζουμε και το

(το

είναι τετράγωνο).
Β) Είναι $\dfrac{OB}{ON}=\dfrac{A'O}{OM}\Rightarrow \angle OA'M=90^{\circ} -\angle BNO$ δηλαδή MHNO

εγγράψιμο,όπως και το QMON

και το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ!

: Ενδιαφέρουσα καθετότητα.PNG (12.74 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Το OMQN

έχει τρεις ορθές , άρα ορθογώνιο με QM=QN

(ως ακτίνες) συνεπώς είναι τετράγωνο.

Θεωρώ ON=1

τότε $R=OT=OQ+QT=\sqrt{2}+1$ και $AN=BM=\sqrt{2}$ .

Έτσι έχουμε $\dfrac{AN}{ON}=\sqrt{2}=\dfrac{BA}{BO}$ δηλ. η

διχοτόμος της $\widehat{ABO}$ .

Κατασκευή:Εντοπίζουμε το

επί της

φέροντας την διχοτόμο της $\widehat{ABO}$ και κατασκευάζουμε το τετράγωνο ONQM

.
Ο κύκλος (Q,ON)

είναι ο ζητούμενος.

Β) Έχουμε $\widehat{BOT}=45^\circ$ και με τον Ν.Σ στα τρίγωνα OMT,OBT

βρίσκουμε $MT^{2}=2+\sqrt{2}=BT^{2}\Rightarrow MT=BT$

οπότε $\widehat{BMT}=3\theta =67,5^\circ=\widehat{BNO}$ δηλ το MONH

είναι ..ήδη εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τετραγώνου ONQM

και το ζητούμενο είναι φανερό. Φιλικά, Γιώργος.

#4

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα και

το αντιδιαμετρικό του

.

Επειδή $DO \cdot DA = DH \cdot DT \Rightarrow 2{R^2} = DH \cdot DT \Rightarrow {\lambda ^2} = DH \cdot DT$

αν αντιστρέψουμε τον κύκλο $\left( {Q,QM} \right)$ με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής ${\lambda ^2} = D{B^2}$ αυτός θα μείνει αναλλοίωτος.

Κατασκευή :

: Ενδιαφέρουσα καθετότητα_1.png (33.66 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Ο κύκλος $\left( {D,\lambda } \right)$ τέμνει την

στο

,

Το μέσο

του τεταρτοκυκλίου είναι το άλλο σημείο επαφής

και το συμμετρικό

, του

ως προς την

το τρίτο σημείο επαφής .

Επειδή το τετράπλευρο ONQM

είναι τετράγωνο αναγκαστικά η $\widehat {MTN} = 45^\circ$ .

Όμως η γωνία $\widehat {ATB} = 135^\circ$ , οπότε λόγω συμμετρίας $\widehat {BTM} = \widehat {NTA} = 45^\circ$ .

Το τρίγωνο TBN

είναι ισοσκελές ορθογώνιο άρα $BN \bot TM$ .

Έτσι ο κύκλος του τετραγώνου ONQM

θα διέρχεται από το

κι αφού η

είναι διάμετρος σ αυτόν τον κύκλο η εγγεγραμμένη γωνία $\widehat {OHQ} = 90^\circ$ .

Εναλλακτική κατασκευή .

Γράφω τον κύκλο κέντρου

( μέσου του τεταρτοκυκλίου ) και ακτίνας TA = TB

και τέμνει τις $OA\,\,,\,\,OB$ στα N,M

.

Τώρα μπορούμε να την λύσουμε σαν ειδική περίπτωση Αυτής

#5

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο, τον Γιώργο και τον Νίκο για τις πολύ ωραίες λύσεις τους.

Η άσκηση ανήκει στον Carmos Hugo Olivera Diaz από το Περού.

Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση