Εγγεγραμμένος κύκλος

#1

: Εγγεγραμμένος κύκλος.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

και σημείο

της

ώστε

Αν το σημείο

διαιρεί την

σε λόγο

και ο κύκλος (C, CA)

τέμνει την

στο

να δείξετε

ότι ο κύκλος διαμέτρου

είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ADC.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: Τρί Ιαν 22, 2019 2:45 pm Εγγεγραμμένος κύκλος.png
Δίνεται τρίγωνο με και σημείο της ώστε

Αν το σημείο διαιρεί την σε λόγο και ο κύκλος τέμνει την στο να δείξετε

ότι ο κύκλος διαμέτρου είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

Γειά σου Γιώργο

Θα αποδείξω ότι $BZ=\dfrac{2(ADC)}{\tau }$

Στο τρίγωνο $ABC,cosC=\dfrac{64+36-16}{12.8}=\dfrac{7}{8},sinC=\dfrac{\sqrt{15}}{8},$ ,

Οπότε η πλευρα

υπολογίζεται

$AD^{2}=16\Leftrightarrow AD=4, \tau =8+2=10, (ADC)=\dfrac{1}{2}.8.8.\dfrac{\sqrt{15}} {8}=4\sqrt{15}$

Συνεπώς θα αποδειχθεί ότι $BZ=\dfrac{4\sqrt{15}}{5}$

Είναι $ZE=4AZ,AE^{2}=64+4-28=40\Leftrightarrow AE=2\sqrt{10},AZ=\dfrac{2\sqrt{10}}{5},ZE=\dfrac{8 \sqrt{10}}{5}$

Στο τρίγωνο

$ABE , AZ.BE^{2}+ZE.AB^{2}=AE(BZ^{2}+AZ.ZE)\Rightarrow ZB=\dfrac{4\sqrt{15}}{5},$

Γιάννης

Ορέστης Λιγνός · #3

george visvikis έγραψε: Τρί Ιαν 22, 2019 2:45 pmN
Δίνεται τρίγωνο με και σημείο της ώστε

Αν το σημείο διαιρεί την σε λόγο και ο κύκλος τέμνει την στο να δείξετε

ότι ο κύκλος διαμέτρου είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου

Καλησπέρα.

Έστω σημείο $P \in AC$ , ώστε $\angle ABP=90^\circ$ , και $BQ \perp AP$ .

Τότε, είναι (γνωστό Λήμμα) $AQ^2-QC^2=4^2-6^2 \Rightarrow (CQ-AQ)(CQ+AQ)=20 \Rightarrow CQ-AQ=\dfrac{5}{2} \Rightarrow CQ=\dfrac{21}{4}, AQ=\dfrac{11}{4}$ .

Οπότε, (από μετρικές σχέσεις) είναι $AB^2=AQ \cdot AP \Rightarrow 16=\dfrac{11AP}{4} \Rightarrow AP=\dfrac{64}{11}$ .

Συνεπώς, είναι $PC=\dfrac{24}{11}$ .

Ακόμη, με Π.Θ. στο $\vartriangle ABP$ είναι $BP=\dfrac{12\sqrt{15}}{11}$ .

Οπότε, από γνωστό Λήμμα ισχύει στο τρίγωνο BPC

ότι $\angle PCB=2\angle PBC \Rightarrow \angle ABC=90+\dfrac{\angle ACB}{2}$ .

Συνεπώς, έχουμε $\angle ABD=\90^\circ-\dfrac{\angle ACB}{2}=\angle ADB \Rightarrow AB=AD=4$ .

Ακόμη, $DB=DC-BC=8-6=2=EC \Rightarrow DB=EC=2$ , οπότε τα B,E

είναι ίσα με την ημιπερίμετρο του τριγώνου $\vartriangle ADC$ , οπότε είναι τα σημείο επαφής του εγγεγραμμένου και του παραγεγραμμένου με την

αντίστοιχα.

Όμως, φέρνοντας $AR \perp DC$ , έχουμε (λόγω του ισοσκελούς $\vartriangle ADB$ ) $RB=1. BE=4 \Rightarrow \dfrac{RB}{BE}=\dfrac{AZ}{ZE}=1/4$ , οπότε $ZB \parallel AR \Rightarrow ZB \perp DB$ .

Άρα, η

εφάπτεται στον κύκλο και η

είναι διάμετρός του.

Όμως, είναι γνωστό ότι αν η

τέμνει τον εγγεγραμμένο στο

, το

είναι αντιδιαμετρικό του

.

Εφαρμόζοντας λοιπόν αντίστροφα την πρόταση αυτή, προκύπτει ότι ο κύκλος είναι όντως ο εγγεγραμμένος.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Εγγεγραμμένος κύκλος

Re: Εγγεγραμμένος κύκλος

Re: Εγγεγραμμένος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση