Τρισορθογώνια

KARKAR · #1

: Τρισορθογώνια.png (8.5 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε το ύψος

προς την υποτείνουσα

και τις διχοτόμους DE , DZ

των $\widehat{ADB} , \widehat{ADC}$ ... α) Δείξτε ότι AE=AZ

.

β) Υπολογίστε το (AEZ)

συναρτήσει των κάθετων πλευρών b,c

.

γ) Υπολογίστε συναρτήσει των ίδιων πλευρών το λόγο : $\dfrac{(DEZ)}{(AEZ)}$ .

#2

KARKAR έγραψε:Τρισορθογώνια.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα

και τις διχοτόμους των $\widehat{ADB} , \widehat{ADC}$ ... α) Δείξτε ότι .

β) Υπολογίστε το συναρτήσει των κάθετων πλευρών .

γ) Υπολογίστε συναρτήσει των ίδιων πλευρών το λόγο : $\dfrac{(DEZ)}{(AEZ)}$ .

a) Χορδές ίσων τόξων

b) $\boxed{AE = \frac{{bc}}{{b + c}} \Rightarrow (AEZ) = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{2{{(b + c)}^2}}}}$

c) $\vartriangle ABC \approx \vartriangle DEZ$ … $\boxed{\frac{{(DEZ)}}{{(AZE)}} = \frac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}}}$

#3

1. Το τετράπλευρο AEDZ

είναι εγγράψιμο και άρα AE = AZ

ως χορδές ίσων

εγγεγραμμένων γωνιών σ αυτό.

Αν AD = h

επειδή $2(ABC) = AB \cdot AC = AD \cdot BC$ θα έχω :

2. $ah = bc \Rightarrow h = \dfrac{{bc}}{a}\,\,(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A{C^2} = CD \cdot CB \Rightarrow CD = \dfrac{{{b^2}}}{a}\,\,(2) \,\,o\mu o\iota \alpha \,\,BD = \dfrac{{{b^2}}}{a}\,\,(3)$

Από το Θ, διχοτόμων στο τρίγωνο DAB

το τμήμα

δίδεται από τη σχέση

$x = \dfrac{{AB \cdot AD}}{{DA + DB}}$ που λόγω των $(1)\,\,,\,\,(2)\,\,,(3)$ γίνεται :

$x = \dfrac{{ch}}{{h + \dfrac{{{c^2}}}{a}}} = \dfrac{{c\dfrac{{bc}}{a}}}{{\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{{c^2}}}{a}}} = \dfrac{{b{c^2}}}{{bc + {c^2}}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{bc}}{{b + c}}}$ συνεπώς $\boxed{(AEZ) = \dfrac{{{b^2}{c^2}}}{{2{{(b + c)}^2}}}}$

: trisoruog;vnia.png (26.45 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

3. Είναι $\vartriangle DEZ \approx \vartriangle ABC$ Με λόγο ομοιότητας $\lambda = \dfrac{{ZE}}{{BC}} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{a} \Rightarrow {\lambda ^2} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{a^2}}}$ .

Άρα $(DEZ) = {\lambda ^2}(ABC) = \dfrac{{2{x^2}}}{{{a^2}}} \cdot \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{{{x^2}h}}{a} = \dfrac{{{x^2}bc}}{{{a^2}}}$ . Συνεπώς

$\dfrac{{(DEZ)}}{{(AEZ)}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^2}bc}}{{{a^2}}}}}{{\dfrac{1}{2}{x^2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{(DEZ)}}{{(AEZ)}} = \dfrac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}}}$

#4

KARKAR έγραψε:Τρισορθογώνια.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε το ύψος προς την υποτείνουσα και τις διχοτόμους των $\widehat{ADB} , \widehat{ADC}$ ... α) Δείξτε ότι . β) Υπολογίστε το συναρτήσει των κάθετων πλευρών .γ) Υπολογίστε συναρτήσει των ίδιων πλευρών το λόγο : $\dfrac{(DEZ)}{(AEZ)}$ .

α) Όπως ο Νίκος. Νομίζω το έχουμε ξαναδεί

β) Αν

η διχοτόμος της $\angle BAC={{90}^{0}}\overset{\Pi -\Gamma -\Pi }{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle AEF=\vartriangle EZA\Rightarrow AEFZ$ τετράγωνο.

Από $\left( {ACF} \right) + \left( {ABF} \right) = \left( {ABC} \right) \Rightarrow b \cdot FZ + c \cdot FE = bc\mathop \Rightarrow \limits^{FZ = FE = AE}$

$AE = \dfrac{{bc}}{{b + c}} \Rightarrow \dfrac{{A{E^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{bc}}{{b + c}}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{\left( {AEZ} \right) = \dfrac{1}{2}{{\left( {\dfrac{{bc}}{{b + c}}} \right)}^2}}$ .

: Τρισορθογώνια.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

γ) Είναι $\left\{ \begin{gathered} \vartriangle ZDE \sim \vartriangle ABC \Rightarrow \frac{{\left( {ZDE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{Z{E^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{2A{E^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{2A{E^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \\ \frac{{\left( {AEZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{A{E^2}}}{{bc}} \\ \end{gathered} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( : \right)} \boxed{\frac{{\left( {ZDE} \right)}}{{\left( {AEZ} \right)}} = \frac{{2bc}}{{{b^2} + {c^2}}}}$

Στάθης

Τρισορθογώνια

Τρισορθογώνια

Re: Τρισορθογώνια

Re: Τρισορθογώνια

Re: Τρισορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση