Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

llenny · #161

Από τα δεδομένα έχουμε: $p(2) = 11 \Leftrightarrow 2( \pm 2^4 \pm 2^3 \pm 2^2 \pm 2 \pm1) = 12,10 \Leftrightarrow \pm 2^4 \pm 2^3 \pm 2^2 \pm 2 \pm1 = 6,5$ , όμως αριστερά έχουμε περιττό, άρα αναγκαστικά και δεξιά, άρα κρατάμε το 5 (άρα πάνω έχουμε το 10), άρα το πρόσημο του

είναι

. Συνεχίζοντας: $\pm 2^3 \pm 2^2 \pm 2 \pm1 \pm1 = 2,3$ και πάλι mod2

κρατάμε το

άρα το πρόσημο του

είναι

.
$\pm 2^2 \pm 2 \pm 1 = 1,2$ , κρατάμε το

άρα το πρόσημο του x^2

είναι

. $\pm 2 \pm 1 = 0,1$ κρατάμε το

άρα το πρόσημο του x^3

είναι

. $\pm 2 = 0,2$ , άρα το πρόσημο του x^4

είναι

. Γνωρίζουμε τους συντελεστές όλων των όρων εκτός του x^5

άρα "βάζουμε" στο πολυώνυμο το

και βρίσκουμε ότι το πρόσημο του x^5

είναι

. Τελικά το ζητούμενο πολυώνυμο είναι το p(x) = x^5 - x^4 - x^3 + x^2 - x + 1

.

#162

Ωραία η λύση του llenny παραπάνω, με αξιοποίηση του τελευταίου όρου του εκάστοτε πολυωνύμου. Ας δούμε μία διαφορετική, με αξιοποίηση του πρώτου όρου.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 am Άσκηση 45

Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle{p(x) = \pm x^5\pm x^4 \pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1}$ για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.

Δεδομένου ότι, γενικά, $\displaystyle{2^n > 2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1}$ (διότι το δεξί μέλος ισούται $2^{n}-1$ ) έπεται ότι αθροίσματα της μορφής

$\displaystyle{ \pm 2^n \pm 2^{n-1}\pm 2^{n-2}\pm ...\pm 2\pm 1}$ έχουν το πρόσημο του πρώτου όρου. Έτσι η p(2)= 11>0

ή αλλιώς

$\pm 2^5\pm 2^4 \pm 2^3\pm 2^2\pm 2\pm 1 = 11 >0$ δίνει ότι ο πρώτος όρος είναι +2^5

. Έχουμε δηλαδή

$2^5\pm 2^4 \pm 2^3\pm 2^2\pm 2\pm 1 = 11$ οπότε και

$\pm 2^4 \pm 2^3\pm 2^2\pm 2\pm 1 = 11- 2^5 = -21<0$

Με το ίδιο επιχείρημα ο νέος πρώτος όρος είναι -2^4

, οπότε τώρα

$\pm 2^3\pm 2^2\pm 2\pm 1 = -21+ 2^4 = -5 <0$ . Και ξανά, ο πρώτος όρος είναι -2^3

, οπότε

$\displaystyle{\pm 2^2\pm 2\pm 1 = -5+8 =3 >0}$ . Και λοιπά. Τελικά το πολυώνυμο είναι το

$\displaystyle{ x^5- x^4 - x^3 + x^2 -x + 1}$ .

#163

Άσκηση 46

Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο $\{0,\, 1,\, 2\}$ .

Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι $P(\sqrt 3) = 16+14\sqrt 3$ .

giannispapav · #164

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 01, 2021 2:43 pm Άσκηση 46

Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο $\{0,\, 1,\, 2\}$ .

Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι $P(\sqrt 3) = 16+14\sqrt 3$ .

Μια πρόχειρη προσπάθεια:

Αναπαριστούμε στο τριαδικό σύστημα:
$16=3^2+2\cdot 3+1,\ 14=3^2+3+2$
οπότε
$16=(\sqrt{3})^4+2(\sqrt{3})^2+1$ και $14\sqrt{3}=(\sqrt{3})^5+(\sqrt{3})^3+2\sqrt{3}$

οπότε μπορούμε να επιλέξουμε P(x)=x^5+x^4+x^3+2x^2+2x+1

2nisic · #165

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 01, 2021 2:43 pm Άσκηση 46

Ενός πολυωνύμου όλοι οι συντελεστές ανήκουν στο σύνολο $\{0,\, 1,\, 2\}$ .

Να βρεθεί το πολυώνυμο αν είναι γνωστό ότι $P(\sqrt 3) = 16+14\sqrt 3$ .

Με όμοιο τρόπο με τον .

Έστω και $Q(x)=\sum_{i\equiv 0(mod2)_{}}^{0\leq i\leq n}a_ix^i$ , $R(x)=\sum_{i\equiv 1(mod2)_{}}^{0\leq i\leq n}a_ix^i$ τότε:

Από την συνθήκη έχουμε:
$Q(\sqrt{3})=16=3^2+2*3+1\Rightarrow Q(x)=x^4+2x^2+1$
$R(\sqrt{3})=14\sqrt{3}=\sqrt{3}(3^2+3+2)\Rightarrow R(x)=x(x^4+x^2+2)$

Άρα

#166

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 am Άσκηση 45

Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle{p(x) = \pm x^5\pm x^4 \pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1}$ για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.

Κάνει και για Juniors.

Μια διαφορετική προσέγγιση: Θέτω q(x) = x^5 + x^4 + x^3+x^2+x+1

και παρατηρώ ότι το $f(x)= \frac{1}{2}(q(x)+p(x))$ είναι πολυώνυμο με συντελεστές στο $\{0,1\}$ . Επειδή $f(2) = \frac{63+11}{2} = 37 = 32+4+1$ τότε f(x) = x^5 + x^2 + 1

και άρα

.

#167

Άσκηση 47

Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές το οποίο να ικανοπεί

(Κάνει και για Γυμνάσιο)

KARKAR · #168

Άσκηση 48

Αν το πολυώνυμο : P(x)=x^3+bx^2+cx+d

, έχει ρίζα τον πραγματικό $\rho$ , υπολογίστε

την τιμή της παράστασης : $\dfrac{P(x-1)}{x-1-\rho}+\dfrac{P(x+1)}{x+1-\rho}-2\dfrac{P(x)}{x-\rho} , x\neq \rho, \rho+1,\rho-1$ .

#169

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 15, 2022 8:11 pm Άσκηση 48

Αν το πολυώνυμο : , έχει ρίζα τον πραγματικό $\rho$ , υπολογίστε

την τιμή της παράστασης : $\dfrac{P(x-1)}{x-1-\rho}+\dfrac{P(x+1)}{x+1-\rho}-2\dfrac{P(x)}{x-\rho} , x\neq \rho, \rho+1,\rho-1$ .

Απάντηση:

Αφού το $\rho$ είναι ρίζα, έχουμε $P(x)=(x-\rho)(x^2+Ax+B)$ , για κάποια $A,\, B$ . H παράσταση τότε γράφεται

$\dfrac{(x-1-\rho)((x-1)^2+A(x-1)+B)}{x-1-\rho}+\dfrac{(x+1-\rho)((x+1)^2+A(x+1)+B)}{x+1-\rho}-2\dfrac{(x-\rho)(x^2+Ax+B)}{x-\rho}=$

$\displaystyle{= ((x-1)^2+A(x-1)+B)+((x+1)^2+A(x+1)+B)-2(x^2+Ax+B)= ... = 2 }$ (τα υπόλοιπα απλοποιήθηκαν μετά τις πράξεις).

#170

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 10, 2022 8:27 am Άσκηση 47

Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές το οποίο να ικανοποιεί

(Κάνει και για Γυμνάσιο)

Έστω $\displaystyle{P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1 x +a_0}$

ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.

Από υπόθεση έχουμε:

$\displaystyle{a_n .3^n +a_{n-1}.3^{n-1}+ . . . + a_1 .3 +a_0 =7}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

$\displaystyle{a_n .11^n +a_{n-1}.11^{n-1}+ . . . + a_1 .11+a_0 =9}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω σχέσεων βρίσκουμε:

$\displaystyle{(11^n -3^n ).a_n +(11^{n-1}-3^{n-1})a_{n-1}+. . . +(11-3)a_1 = 2\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{8K_n .a_n + 8K_{n-1}.a_{n-1} + . . . + 8a_1 =2}$ , όπου οι αριθμοί $\displaystyle{K_n , K_{n-1} , . . . ,K_{2} }$ είναι ακέραιοι

Άρα $\displaystyle{4(K_n .a_n +K_{n-1}.a_{n-1}+ . . . +a_1) = 1}$ .

Όμως το πρώτο μέλος της πιο πάνω εξίσωσης είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός και άρα καταλήξαμε σε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο.

#171

Άσκηση 49

Αν $\omega$ μιγαδική πέμπτη ρίζα της μονάδας, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πολυώνυμα και με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε $\left (p(\omega) \right)^2 + \left (q(\omega) \right)^2 = -1$

#172

Άσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_1,\,x_2,\, x_3,\, x_4,\,x_5$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{5}p'(x_k) \ge 0}$ .

Edit: Πρόσθεσα δύο λέξεις για να μην υπάρχει αμφιβολία για το τι ακριβώς πολυώνυμο συζητάμε.

llenny · #173

Ασκηση 50:
Αν ένα μονικό πολυώνυμο P(x)

έχει

πραγματικές ρίζες τότε αν a,b,c,d,e

οι ρίζες του ισχύει P(x)= (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)

, άρα για τη παράγωγο του ισχύει:
P'(x)=[(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)]' = (x-b)(x-c)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-c)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-b)(x-d)(x-e) + (x-a)(x-b)(x-c)(x-e) + (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

Τελικά το ζητούμενο άθροισμα λόγω του μηδενισμού των υπόλοιπων όρων το ζητούμενο άθροισμα ισούται με (a-b)(a-c)(a-d)(a-e) + (b-a)(b-c)(b-d)(b-e) + (c-a)(c-b)(c-d)(c-e) + (d-a)(d-b)(d-c)(d-e) + (e-a)(e-b)(e-c)(e-d)

και αρκεί να δείξουμε ότι αυτό είναι μη αρνητικό, δηλαδή ότι $(a-b)(a-c)(a-d)(a-e) + (b-a)(b-c)(b-d)(b-e) + (c-a)(c-b)(c-d)(c-e) + (d-a)(d-b)(d-c)(d-e) + (e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \ge 0$ Η ανισότητα $(a-b)(a-c)(a-d)(a-e) + (b-a)(b-c)(b-d)(b-e) + (c-a)(c-b)(c-d)(c-e) + (d-a)(d-b)(d-c)(d-e) + (e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \ge 0$ είναι συμμετρική και θεωρούμε δίχως βλάβη της γενικότητας ότι $a \ge b \ge c \ge d \ge e$ . Έχουμε $(a-b)(a-c)(a-d)(a-e) + (b-a)(b-c)(b-d)(b-e) + (c-a)(c-b)(c-d)(c-e) + (d-a)(d-b)(d-c)(d-e) = (a-b)[(a-c)(a-d)(a-e) - (b-c)(b-d)(b-e)] + (c-d)[(c-a)(c-b)(c-e) - (d-a)(d-b)(d-e)] + (e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \ge 0$ αφού $(a-b) \ge 0, (a-c)(a-d)(a-e) - (b-c)(b-d)(b-e) \ge 0 , (c-d) \ge 0 , (c-a)(c-b)(c-e) - (d-a)(d-b)(d-e) \ge 0 , (e-a)(e-b)(e-c)(e-d) \ge 0$ , άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι μη αρνητικό και τελειώσαμε.
(Υπήρχε λάθος το οποίο διόρθωσα άρα η λύση αυτή δε δουλεύει αν το πολυώνυμο έχει π.χ. 5 πραγματικές ρίζες και 10 μιγαδικές ρίζες αλλά δουλεύει αν έχει 5 πραγματικές και μόνον αυτές. Δε γνωρίζω αν ισχύει η γενικότερη πρόταση και υπάρχει άλλη απόδειξη.)

#174

llenny έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 10:14 pm --- ισχύει όπου μονικό πολυώνυμο,

Σε έβαλα σε φασαρία. Όταν έγραφα ότι το

έχει πέντε πραγματικές ρίζες, εννούσα ότι δεν έχει άλλες εκτός από αυτές. 'Ισως παράληψή μου που δεν το διευκρίνισα.

Οπότε έχουμε P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)

, δηλαδή

, και έτσι γλιτώνουμε κάποιες πράξεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #175

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 23, 2022 10:05 am Άσκηση 49

Αν $\omega$ μιγαδική πέμπτη ρίζα της μονάδας, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πολυώνυμα και με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε $\left (p(\omega) \right)^2 + \left (q(\omega) \right)^2 = -1$

Είναι $x^{8}+x^6+x^4+x^2+1=(x^4+x)^2+(x^3-x^2)^2$
Αλλά επειδή είναι $\omega^{10}=1$
θα έχουμε
$\omega^{8}+\omega^6+\omega^4+\omega^2+1=0$

Αρα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #176

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 7:07 pm Άσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_1,\,x_2,\, x_3,\, x_4,\,x_5$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{5}p'(x_k) \ge 0}$ .

(Tην άσκηση αυτή την είχα αναρτήσει παλαιότερα αλλά από λάθος μου την έσβησα. Την επαναφέρω. Ως άσκηση μου αρέσει πολύ).

Αν και έχει λυθεί να σημειώσω πως μπορεί να απλοποιηθεί η λύση.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι $\displaystyle x_1<x_2<0<x_3<x_4$
(Η παράσταση $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}p'(x_k)$ δεν αλλάζει αν $\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+a$ )
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι
$\displaystyle p'(x_1)+p'(x_2)>0,p'(0)>0,p'(x_3)+p'(x_4)>0$
Ισχύει γνήσια ανισότητα.

Εχει ενδιαφέρον ότι ισχύουν οι σχέσεις
$\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\frac{x_i^{k}}{p'(x_i)}=0 ,k=0,1,2,3$
και
$\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\frac{x_i^{4}}{p'(x_i)}=1$
Οι αποδείξεις που γνωρίζω είναι εκτός φακέλλου.
Να σημειωθεί ότι οι παραπάνω σχέσεις γενικεύονται και για πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού.

#177

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 7:07 pm Άσκηση 50
'Εστω μονικό πολυώνυμο πέμπτου βαθμού με πέντε διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_1,\,x_2,\, x_3,\, x_4,\,x_5$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{5}p'(x_k) \ge 0}$ .

Edit: Πρόσθεσα δύο λέξεις για να μην υπάρχει αμφιβολία για το τι ακριβώς πολυώνυμο συζητάμε.

Για λόγους πληρότητας γράφω την λύση αναλυτικότερα, και με την διευκρίνιση ότι το πολυώνυμο είναι πέμπτου βαθμού. Δεν λέω τίποτα καινούργιο αλλά απλά καθαρογράφω τις δύο ήδη αναφερθείσες λύσεις. Αυτό που μου αρέσει στην άσκηση (και γι' αυτό την ανάρτησα) είναι το τέχνασμα που αναφέρει ο Σταύρος στην πέμπτη γραμμή του ποστ του.

Χωρίς βλάβη οι ρίζες ικανοποιούν x_5>x_4>...>x_1

. Θα δείξουμε ότι α) p'(x_1) + p'(x_2) > 0

, β)

, γ)

Έχουμε

, από όπου εύκολα βρίσκουμε το

(ως κάποιο άθροισμα με πέντε προσθετέους. Άρα

το β) είναι άμεσο:

p'(x_3) = (x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)(x_3-x_5)= (+)(+)(-)(-) >0

Για το α)

$=(x_2-x_1) \left [ (x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_5-x_1) - (x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2) \right ]$

Εδώ ο πρώτος (και κοινός) παράγοντας x_2-x_1

είναι

. Επίσης η παράσταση μέσα στις [.]

είναι θετική διότι

(x_3-x_1) > (x_3-x_2) >0

και

. Πολλαπλασιάζουμε τώρα κατά μέλη, από όπου το ζητούμενο.

Για το γ) εργαζόμαστε ακριβώς όπως στο

αλλά βγάζοντας τον κοινό παράγοντα x_5-x_1

. Τελειώσαμε.

#178

Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε $k\in \mathbb N$ , όπου οι αριθμοί Fibonacci

Λάμπρος Κατσάπας · #179

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pm Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε $k\in \mathbb N$ , όπου οι αριθμοί Fibonacci

Αν υπήρχε θα είχαμε

$\lim_{k\rightarrow \infty } \dfrac{P(k+1)}{P(k)}=\varphi \Rightarrow 1=\varphi$ (άτοπο). Μπορούμε λοιπόν να χαλαρώσουμε την εκφώνηση:

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με P(k)=F_k

από κάποιο και πέρα όπου F_k

οι αριθμοί Fibonacci.

#180

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 11:13 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 17, 2023 10:05 pm Άσκηση 51
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με για κάθε $k\in \mathbb N$ , όπου οι αριθμοί Fibonacci
Αν υπήρχε θα είχαμε

$\lim_{k\rightarrow \infty } \dfrac{P(k+1)}{P(k)}=\varphi \Rightarrow 1=\varphi$ (άτοπο). Μπορούμε λοιπόν να χαλαρώσουμε την εκφώνηση:

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με από κάποιο και πέρα όπου οι αριθμοί Fibonacci.

Ωραιότατα.

Υπάρχει και δεύτερη λύση χωρίς χρήση ορίων. Ας την δούμε και αυτήν.

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση