Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

#1

Με αφορμή viewtopic.php?f=58&t=70835

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

ώστε ο αριθμός n^2+2^n

να είναι τέλειο τετράγωνο.

#2

Έστω $\displaystyle{n^2+2^n=k^2}$ με $\displaystyle{k}$ να είναι θετικός ακέραιος.

Έχουμε

$\displaystyle{(k-n)(k+n)=2^n}$ άρα $\displaystyle{k+n=2^a, k-n=2^b}$ με $\displaystyle{a,b}$ θετικούς ακεραίους με $\displaystyle{a>b.}$

Τότε $\displaystyle{(k-n)|(k+n)\implies k-n|2n \implies k-n\leq 2n\implies k\leq 3n.}$

Άρα $\displaystyle{n^2+2^n\leq 9n^2\implies 2^n\leq 8n^2\implies 2^{n-3}\leq n^2.}$

Επαγωγικά βλέπουμε ότι ισχύει η ανάποδη ανισότητα για $\displaystyle{n>10.}$

Άρα $\displaystyle{n\leq 9.}$ Με έλεγχο βλέπουμε ότι μόνο η τιμή $\displaystyle{n=6}$ "δουλεύει".

#3

matha έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 03, 2022 10:14 am
Άρα $\displaystyle{n\leq 9.}$ Με έλεγχο βλέπουμε ότι μόνο η τιμή $\displaystyle{n=6}$ "δουλεύει".

Ωραία Θάνο!

Το πρόβλημα είναι παρόμοιο και με το https://artofproblemsolving.com/communi ... 620p358042 από την JBMO 2000.

Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Re: Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Re: Πότε είναι τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση