Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

#1

Πρώτο μέρος: http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/IrMO2012paper1.pdf

Δεύτερο μέρος: http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/IrMO2012paper2.pdf

Θα προστεθούν σιγά σιγά και στα ελληνικά!

#2

1. Έστω $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ και $S = \{4, 5, 9, 14, 23, 37\}.$
Βρείτε δύο σύνολα

και

τέτοια ώστε
(α) $A \cap B = \emptyset$
(β) $A \cup B = C$
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του

δεν ανήκει στο

(δ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του

δεν ανήκει στο

.

2. Τα σημεία A, B, C , D

βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου

Η

είναι κάθετη στην

και η

στην

Το σημείο

βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα

και

Η

, προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της

στο

και η

, προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της

στο

Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AXF

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle DXE$ και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του

3. Βρείτε όλα τα πολυώνυμα

με μη αρνητικούς ακέραιους συντελεστές και τέτοια ώστε f(1) = 8

και

(Το είδαμε εδώ)

4. Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με τις ιδιότητες:
(α) τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι με ΜΚΔ το 1 και
(β) μία, και μόνο μία, γωνία τους είναι ίση με $60^{\circ}.$
Ένα τέτοιο τρίγωνο έχει μήκη πλευρών 5, 7,8.

Βρείτε άλλα δύο τέτοια τρίγωνα.
(Δείτε και εδώ)

5. (α) Δείξτε ότι αν

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε $(x + y)^5\geq 12xy(x^3+ y^3)$
(β) Αποδείξτε ότι η σταθερή

είναι η καλύτερη δυνατή.
Με άλλα λόγια, αποδείξτε ότι για κάθε K > 12

υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί

και

τέτοιοι ώστε (x + y)^5< Kxy(x^3+ y^3).

(Το είδαμε εδώ)

6. Έστω S(n)

το άθροισμα των ψηφίων (στο δεκαδικό σύστημα) του αριθμού

Για παράδειγμα, S(2012) = 2+0+1+2 = 5.

Δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος n > 0

για τον οποίο n−S(n) = 9990.

7. Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $|AB| \ne |AC|.$ Η διχοτόμος της γωνίας CAB

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ στα σημεία

και

Ο κύκλος κέντρου

και ακτίνας |DC|

τέμνει την ευθεία

σε δύο σημεία

και

Η ευθεία

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ στα

και

Να αποδείξετε ότι το

είναι το ορθόκεντρο του $\triangle AED.$

8. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\right)^2\geq (2a+b+c)\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), \ \ \forall a,b,c>0}$
(Το είδαμε εδώ)

9. Έστω x > 1

ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός x^5 + x + 1

διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.
(Το είδαμε εδώ)

10. Έστω

ένας θετικός ακέραιος. Σε κάθε γωνία ενός $n \times n$ τετραγωνικού πίνακα κάθεται ένα ποντίκι όπως φαίνεται πιο κάτω για την περίπτωση n=5

.

Τα ποντίκια θα κινηθούν με μια ακολουθία βημάτων με τον ακόλουθο τρόπο:
(α) Σε κάθε βήμα, κάθε ένα από τα τέσσερα ποντίκια ταξιδεύει απόσταση μίας μονάδας σε οριζόντια ή κάθετη κατεύθυνση. Κάθε μονάδα απόστασης ονομάζεται μία ακμή του πίνακα και λέμε ότι κάθε ποντίκι χρησιμοποιεί μια ακμή του πίνακα.
(β) Μια ακμή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.
(γ) Το πολύ δύο ποντίκια μπορούν να καταλαμβάνουν το ίδιο σημείο στον πίνακα ανά πάσα στιγμή.

Τα ποντίκια επιθυμούν να οργανώσουν συλλογικά τις κινήσεις τους έτσι ώστε κάθε ακμή του πίνακα να χρησιμοποιηθεί δύο φορές (όχι απαραίτητα από το ίδιο ποντίκι), και κάθε ποντίκι να τελειώσει στο σημείο εκκίνησής του. Να βρεθούν οι τιμές του

για τις οποίες τα ποντίκια μπορούν να επιτύχουν αυτόν το στόχο.

Ευχαριστώ το Δημήτρη για τη μετάφραση του τελευταίου θέματος!

Ορέστης Λιγνός · #3

socrates έγραψε: Δευ Δεκ 10, 2012 2:51 pm 6. Έστω το άθροισμα των ψηφίων (στο δεκαδικό σύστημα) του αριθμού Για παράδειγμα,
Δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος για τον οποίο

Μιας και έμεινε άλυτη ...

Έστω ότι ο

έχει

ψηφία.

Τότε, $S(n) \leqslant 9m$ και $n \geqslant \dfrac{10^m-1}{9}$ .

Οπότε, $\dfrac{10^m-1}{9} \leqslant n=S(n)+9990 \leqslant 9m+9990$ .

Οπότε, $10^m \leqslant 81m+89911$ .

Αν όμως $m \geqslant 5$ , είναι 10^m >81m+89911

(εύκολη απόδειξη με επαγωγή).

Άρα, πρέπει αναγκαστικά $m \leqslant 4$ , δηλαδή ο

έχει το πολύ

ψηφία.

Επίσης, n=S(n)+9990>9990

, συνεπώς $9990<n \leqslant 9999$ , άρα ο

(αν υπάρχει) θα είναι της μορφής $n=\overline{999k}$ με $0<k \leqslant 9$ .

Άρα, $n-S(n)=\overline{999k}-(27+k)=9963 \neq 9990$ .

Τελικά, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιος

.

Xriiiiistos · #4

socrates έγραψε: Δευ Δεκ 10, 2012 2:51 pm

7. Θεωρούμε τρίγωνο με $|AB| \ne |AC|.$ Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ στα σημεία και Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία και Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$ στα και
Να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του $\triangle AED.$

Ευχαριστώ το Δημήτρη για τη μετάφραση του τελευταίου θέματος!

Έστω $AB\neq AB'$ τότε η διχοτόμος της BAC

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABB'

στο

kai

. Η μεσοκάθετη της BB{}'

τέμνει την

μόνο σε ένα σημείο αφού οι ευθείες δεν ταυτίζονται άρα υπάρχει μόνο ένα σημείο της διχοτόμου που να ισαπέχει από τα B,B{}'

οπότε $L\equiv D$ . Όμως τώρα ABDB{}'

εγγράψιμο αλλά το

δεν ανοίκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ABD

οπότε καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα AB=AB{}'

και $AD\perp BB{}'$ (i) (Aφού η ΑD είναι και δοχοτόμος στο ισοσκελές).

δοχοτομεί $\widehat{BEC}$ αφού $\widehat{DEB}=\widehat{CED}=\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ από εγγράψιμο και από τον κύκλο τον δεύτερο της εκφώνησεις DB=DC

. Θεωρούμε $EB{}'\neq EC$ και με τον ίδιο τρόπο όπως πριν καταλήγουμε σε άτοπο και μετά βγάζουμε το ίδιο συμπέρασμα δηλαδή $AC\perp DE$ (ii). Από (i),(ii)

ορθόκεντρο AED

Ορέστης Λιγνός · #5

socrates έγραψε: Δευ Δεκ 10, 2012 2:51 pm
2. Τα σημεία βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου Η είναι κάθετη στην και η στην Το σημείο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα και Η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο και η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο
Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle DXE$ και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του

Έστω

το κέντρο του κύκλου (K)

.

Αν δείξω ότι η

εφάπτεται στον κύκλο (X,E,D)

και στον

, τότε οι δύο κύκλοι εφάπτεται και η κοινή εφαπτόμενη περνά από το

.

Είναι, $\angle EDA=\angle DCB=90^\circ \Rightarrow \angle DEX=90^\circ-\angle XAD=90^\circ-\dfrac{\angle XKD}{2}=\angle DXK \Rightarrow$ η

εφάπτεται στον κύκλο (X,E,D)

.

Όμοια εφάπτεται και στον (X,A,F)

, και άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012

Μέλη σε σύνδεση