Η αναζήτηση βρήκε 794 εγγραφές

από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Οκτ 21, 2019 2:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 140

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Έστω $N'$ το σημείο τομής της $MT$ με την $BC$. Από το εγγράψιμο $AMST$ έχουμε ότι $\widehat{ASC}=\widehat{AMN'}$ ή $\widehat{ABC}=\widehat{AMN'}$. Οπότε το $ABMN'$ είναι εγγράψιμο και συνεπώς $\widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}$. Προκύπτει λοιπόν πως $\widehat{MAS}=\widehat{N...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 365

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Για τη δεύτερη: Έστω $M$ το μέσο του $ES$ και $N$ το μέσο του $ET$. Θα δείξουμε ότι $DM//AB$. Προφανώς το $D$ ανήκει στην πολική του $U$ στον κύκλο διαμέτρου $AD$, ενώ ακόμη ισχύει ότι $PD\perp OU$. Άρα τελικά η $PD$ είναι η πολική του $U$. Έστω $K$ το σημείο τομής της $PD$ με την $ES$. Από τα παραπ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Σεπ 21, 2019 2:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 818

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Συνοπτικά μια λύση για το 4: Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(1)x$, όπου η $g$ έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς. Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου $f(x)$ το $g(x)+f(1)x$, τότε θα απλοποιηθούν τα $f(1)$ και θα φτάσουμε στην $(y^2+1)g(x)-yg(xy)=yg(\dfrac{x}{y})$ (*). Ξέρουμε όμως την...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Αύγ 27, 2019 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά με Έγκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 399

Re: Συνευθειακά με Έγκεντρο

Μετατρέπουμε το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο: Έστω κύκλος $c$ και έστω πως εσωτερικά του εφάπτεται ο κύκλος $c'$, στο σημείο $S$. Στον κύκλο $c'$, θεωρούμε σημεία $A, B$ και έστω πως οι εφαπτόμενες από τα $A, B$ στον $c'$ τέμνουν τον $c$ στα $E, F$ αντίστοιχα και μεταξύ τους στο $D$. Να αποδειχθεί πω...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Αύγ 25, 2019 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1087

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη!

Έχουμε: $a^2-3a+3=a^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-3a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+3=(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c})^2-\dfrac{3a}{b}-\dfrac{3a}{c}$ Ομοίως $b^2-3b+3=(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c})^2-\dfrac{3b}{a}-\dfrac{3b}{c}$ και $c^2-3c+3=(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3c}{b})^2-\dfra...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Αύγ 20, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παράωρη Συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 364

Re: Παράωρη Συνευθειακότητα

Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ και έστω πως εφάπτεται στις $BC, AC, AB$ στα σημεία $D, E, F$. Έστω τώρα $D'$ το συμμετρικό του $D$ ως προς το $I$ και $D''$ το συμμετρικό του $I$ ως προς το $D'$. Θα δείξουμε ότι τα $A, D'', I_A'$ είναι συνευθειακά. Έστω $X$ το σημείο επαφής του $A$-παραγεγ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Αύγ 03, 2019 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συμμετρία με ευθεία Euler
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 224

Re: Συμμετρία με ευθεία Euler

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο $Q$ και ακτίνα $QH=QO$ και έστω πως τέμνει την $AK$ στο $L$. Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $OKH$ (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε $\widehat{OLH}=\widehat{OKH}$, δηλαδή το τρίγωνο $KOL$ είναι ισοσκελές, δηλαδή $OK=OL$. Έστω ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 4782

Re: IMO 2019

Αρχικά θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήριά σε όλα τα παιδιά της ομάδας γιατί το αξίζουν, αλλά και στους συνοδούς.

Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2329

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Μιλάμε για μαθητές που κάνουν μια προσπάθεια επική, μακροχρόνια, χωρίς εξασφαλισμένο αποτέλεσμα. Νομίζει κανείς ότι θα καθίσει ένας μαθητής 1-2 εβδομάδες, ή 2-3 μήνες, ή ακόμα κι ένα χρόνο και θα φτάσει από τα σχολικά μαθηματικά στο απαιτούμενο επίπεδο της ΒΜΟ ή της ΙΜΟ; Δεν γίνεται! Το οποίο επίπεδ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Ιούλ 15, 2019 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 561

Re: Καθετότητα

Βρήκα μία διέξοδο με ορθολογικά τρίγωνα, αλλά κόλλησα σε ένα Λήμμα. Αν καταφέρω να το αποδείξω, θα βάλω την απόδειξη της πρότασης για να φανεί η σπουδαιότητα του ως άνω θεωρήματος για την λύση ( ενίοτε δύσκολων ) προβλημάτων καθετότητας. Κύριε Βήττα με προλάβατε! Και εγώ με ορθολογικά τρίγωνα κινήθ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Ιουν 27, 2019 7:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 360

Re: Πεπερασμένο Πλήθος Πρώτων

Μπορεί να κάνω λάθος: Θα δείξουμε ότι για να έχει ένας πρώτος $p>2$ τη ζητούμενη ιδιότητα, πρέπει $\Delta \equiv 0 \pmod{p}$. Αυτό οδηγεί άμεσα στο ζητούμενο. Όλα τα παρακάτω τα θεωρώ $\pmod{p}$. Θεωρούμε έναν πρώτο $p>2$ και πρέπει το $x^2+bx+c$ να είναι τετραγωνικό κατάλοιπο, οπότε αρκεί το $4x^2+...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Ιουν 24, 2019 10:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4031

Re: JBMO 2019

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της ελληνικής και της κυπριακής ομάδας. :clap2:
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιουν 22, 2019 6:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 4031

Re: JBMO 2019

Μια λύση για το πρόβλημα 4: Έστω $S$ το πλήθος των μαύρων τετραγώνων. Χωρίζουμε μαύρα τα τετράγωνα του πίνακα στις κατηγορίες $A, B, C$, ανάλογα αν είναι γωνιακά, περιφερειακά (και όχι γωνιακά) και εσωτερικά. Προφανώς $A+B+C=S$. Μετράμε το πλήθος $M$ των δυάδων τετράγωνο-γειτονικό μαύρο τετράγωνο. Κ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Ιουν 16, 2019 2:29 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 772

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

ΘΕΜΑ 4. Σε κάθε μοναδιαίο τετράγωνο ενός $n\times n$ πίνακα γράφουμε ένα θετικό ακέραιο. Μια κίνηση αποτελείται από την επιλογή ενός $2\times 2$ πίνακα και την πρόσθεση του αριθμού 1 σε τρεις από τους τέσσερις αριθμούς του πίνακα που επιλέξαμε. Καλούμε έναν θετικό ακέραιο $n$ καλό αν ξεκινώντας με ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Ιουν 12, 2019 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Περίεργη συντρέχεια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 651

Re: Περίεργη συντρέχεια

Ωραίο πρόβλημα! Θα πατήσω λίγο στην λύση του κύριου Βήττα και συγκεκριμένα στο "ζωτικής σημασίας" σημείο $K$. Έστω πως οι $B'Y$ και $C'X$ τέμνονται στο $A''$. Προφανώς το $A''$ προκύπτει να είναι το αντιδιαμετρικό του $I$ στο τρίγωνο $XIY$. Όμως στη συμμετρία ως προς την $XY$, τα $A, I$ είναι συζυγή...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Ιουν 02, 2019 4:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ισοσκελές τρίγωνο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 332

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Έστω πως η εφαπτομένη από το $A'$ τέμνει την $BC$ στο $N'$. Από $Pascal$ στο $A'A'ACBB'$ έχουμε ότι τα σημεία $N', L, P$ είναι συνευθειακά. Από $Pascal$ στο $A'A'ABCC'$ έχουμε ότι τα σημεία $N', Q, K$ είναι συνευθειακά. Άρα το $N'$ είναι τομή της $LP$ και $QK$, άρα $N\equiv N'$. Με άλλα λόγια η $NA'...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιουν 01, 2019 5:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη ανίσωση με εκθέτες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 320

Re: Περίεργη ανίσωση με εκθέτες

Από Bernoulli έχουμε ότι: ${(x+1)^{(x+2)}}^{(x+1)}\geq x\cdot (x+2)^{(x+1)}+1\geq x((x+1)^2+1)+1$ Άρα αρκεί να αποδειχθεί ότι: $(y+1)^y+(x+1)^2+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{z^2}{z+1}>\dfrac{17}{3}+x\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+2+x+\dfrac{1}{x}+z-1+\dfrac{1}{z+1}>\dfrac{17}{3}$ $\Leftrightarrow x^2+(y+1)^y+1...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Παρ Μάιος 31, 2019 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλίες από έκκεντρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 315

Re: Παραλληλίες από έκκεντρο

Λίγο βιαστικά: Θα αποδείξω το πρόβλημα για τυχαίες σεβιανές $AD, BE, CF$. Θα δείξουμε αρχικά πως τα σημεία $B', A, C'$ είναι συνευθειακά. Πρακτικά αρκεί οι διπλοί λόγοι των $D(B', C'; A, C)$ και $K(B', C'; A, C)$ να είναι ίσοι. Όμως, πράγματι $D(B', C'; A, C)=D(F, E; A, C)=-1$ και $K(B', C'; A, C)=K...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Μάιος 28, 2019 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1117

Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Ναι όμως το 13^n+3 το έγραψες (12b+1)+3, άρα το 12b+1 αναφερόταν στο 13^n, δηλαδή (υποθέτω) εννοούσες 13^n=12b+1\Leftrightarrow 13^n-1=12b. Εδώ το b προκύπτει περιττό για περιττό n (LTE)
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Μάιος 28, 2019 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1117

Re: Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Έστω ότι n=2k+1. Κάνω τον εξής μετασχηματισμό: το $13^n+3$ είναι στην ουσία 12b+1+3=12b+4, όπου το b είναι πολ4 (αυτό προκύπτει αν εφαρμόσω το ανάπτυγμα του Newton). Καλωσήρθες στο :logo: ! Δυστυχώς το τελευταίο επιχείρημά σου δεν ισχύει. Ειδικότερα όταν ο $n$ είναι περιττός, η μέγιστη δύναμη του $...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση