Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται $\Delta {\rm E} = 8$ , ${\rm Z}{\rm B} = 6$ , $\Delta \widehat{\rm Z}{\rm B} = {90^ \circ }.$ Βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta .$

: area2.png (7.25 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

#2

καλησπέρα

το ΑΖΒΔ είναι εγγράψιμο,οπότε γων.ΑΔΕ=φ=γων.ΕΒΖ και γων.ΕΔΒ=45-φ

στο ΔΖΒ--> $\displaystyle{\epsilon\phi(45-\phi )=\frac{6}{8+ZE},\fbox 1}$

στο ΕΒΖ--> $\displaystyle{\epsilon\phi \phi=\frac{ZE}{6}}, \fbox 2$

από αυτές βρίσκουμε $\displaystyle{ZE=2\sqrt {7} -4}$

και τώρα ΠΘ στο ΒΔΖ----> $\displaystyle{E=a^2=40+8\sqrt {7}}$

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

Θεωρούμε τη διαγώνιο ΒΔ και σημείο Μ πάνω σε αυτήν ώστε ΕΜ κάθετη στην ΒΔ .Θέτουμε ΜΒ = λ , ΕΖ = ω , ΑΒ = α .
Προφανώς $BE=\lambda \sqrt{2}$ και $AE=a -\lambda \sqrt{2}$ .
Στο εγγράψιμμο ΑΖΒΔ από θ.τεμνουσών έχουμε : $8\omega =\lambda \sqrt{2}\left(\alpha -\lambda \sqrt{2} \right)\Leftrightarrow 64\omega ^{2}=2\lambda ^{2}\left(64-\lambda^{2} \right)\Leftrightarrow 64\left(2\lambda ^{2}-36 \right)=2\lambda ^{2}\left(64-\alpha ^{2} \right)\Leftrightarrow \lambda ^{2}\alpha^{2}=1152 (1).$
Από ΠΘ στο ΑΕΔ έχουμε :
$\alpha ^{2}+\left(\alpha -\lambda \sqrt{2} \right)^{2}=64\Leftrightarrow ...(\kappa \alpha \iota \alpha \pi o \left(1 \right))...\Leftrightarrow \lambda ^{2}+\alpha ^{2}=80 (2)$
Από (1) , (2) προκύπτει ότι λ² , α² ρίζες της εξίσωσης : t² - 80t + 1152 = 0 και λ² < α² άρα :
$\alpha ^{2}=40 + 4\sqrt{28}$

Ιστοσελίδα · #4

Σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας.
Άλλη μια άποψη.

Έστω x η πλευρά του τετραγώνου. Η διαγώνιος ${\rm B}\Delta = \sqrt 2 x$ και το τετράπλευρο $\Delta {\rm Z}{\rm B}\Gamma$ είναι εγγράψιμο με $\Gamma \widehat{\rm Z}{\rm B} = \Gamma \widehat\Delta {\rm B} = {45^ \circ }$ και ${\rm Z}\widehat\Delta {\rm B} = {\rm Z}\widehat\Gamma {\rm B} = \varphi$ . Έστω ΓΗ η προβολή του Γ στην ΖΒ. Το τρίγωνο ΖΓΗ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με πλευρές ${\rm Z}{\rm H} = {\rm H}\Gamma = 6 + y$ και υποτείνουσα ${\rm Z}\Gamma = \sqrt 2 \left( {6 + y} \right)$ . Από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΒΓΗ έχω:
${x^2} = {y^2} + {\left( {6 + y} \right)^2}(1)$
Από την ομοιότητα των τριγώνων ΓΒΖ και ΔΕΒ έχω:
${\displaystyle\frac{{\sqrt 2 \left( {6 + y} \right)}}{{\sqrt 2 x}} = \frac{x}{8} \Rightarrow {x^2} = 8\left( {6 + y} \right)(2)}$
Από τις σχέσεις (1),(2)

προκύπτει το τριώνυμο: ${y^2} + 2y - 6 = 0$ που έχει σαν θετική λύση την $y = \sqrt 7 - 1$ , οπότε από την (2)

παίρνω ότι ${\boxed{E\mu \beta . = {x^2} = 40 + 8\sqrt 7}}$ τ.μ.

: area2-sol.png (20.46 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Re: Εμβαδόν τετραγώνου (2)

Μέλη σε σύνδεση