Παραλληλόγραμμο-διχ.-περιγ. κύκλοι- (Εικοσιδωδεκάεδρον 01)

p_gianno · #1

Η διχοτόμος της $\angle {\rm B}{\rm A}\Delta$ ενός παραλληλογράμμου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ (που δεν είναι ρόμβος), τέμνει τις ευθείες ${\rm B}\Gamma$ και $\Gamma \Delta$ στα σημεία ${\rm K}$ και $\Lambda$ αντιστοίχως. Να δειχθεί ότι το κέντρο του κύκλου που περνά από τα σημεία $\Gamma ,{\rm K},\Lambda$ βρίσκεται επί του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία ${\rm B},\Gamma ,\Delta$ .

hsiodos · #2

Μια λύση

Βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \mathop {{\rm A}_1 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm A}_2 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm K}_1 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm K}_2 }\limits^ \wedge = \mathop \Lambda \limits^ \wedge }$ και ακολούθως $\displaystyle{\Delta \Lambda = {\rm A}\Delta = {\rm B}\Gamma }$ . Έστω Ο το περίκεντρο του ισοσκελούς (ΓΚ= ΓΛ) τριγώνου ΓΚΛ . Προκύπτει ότι $\displaystyle{ \mathop {\Gamma _1 }\limits^ \wedge = \mathop {\Gamma _2 }\limits^ \wedge = \mathop {\Lambda _1 }\limits^ \wedge }$ .

Τα τρίγωνα ΟΔΛ και ΟΓΒ είναι ίσα αφού $\displaystyle{ \Lambda \Delta = {\rm B}\Gamma ,{\rm O}\Lambda = {\rm O}\Gamma \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\Lambda _1 }\limits^ \wedge = \,\mathop {\Gamma _1 }\limits^ \wedge \,}$ και έτσι $\displaystyle{ \mathop {\Delta _1 }\limits^ \wedge = \,\mathop {{\rm B}_1 }\limits^ \wedge }$ . Συνεπώς το ΒΔΓΟ είναι εγγράψιμο.

Γιώργος

: math_finder.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

#3

Ισχύει κατά κάποιο τρόπο και το αντίστροφο (το οποίο είναι εμφανώς δυσκολότερο βέβαια)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... e3#p893744

Παραλληλόγραμμο-διχ.-περιγ. κύκλοι- (Εικοσιδωδεκάεδρον 01)

Παραλληλόγραμμο-διχ.-περιγ. κύκλοι- (Εικοσιδωδεκάεδρον 01)

Re: Παραλληλόγραμμο - διχοτόμομος - περιγεγραμμένοι κύκλοι

Re: Παραλληλόγραμμο - διχοτόμομος - περιγεγραμμένοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση