Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

dimplak · #1

Καλημέρα!

Ξεκινώ μία συλλογή από μη γραμμικά συστήματα που συλλέγω από ξένα φόρουμ! Όποιος ανακαλύπτει κάτι νέο το προσθέτει!

Όλα να λύνονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός κι αν ζητείται κάτι άλλο!

Προσωπικά θα ήθελα μόνο τις βασικές ιδέες να μοιραστώ μαζί σας σε κάθε άσκηση κι να μην καταναλώνω τον πολύτιμο χρόνο σας σε latex!

Ξεκινώ και θα σταματήσω στις 1000!

1.

$\begin{cases} x + \frac{3x - y}{x^2 +y^2} = 3 \\ y - \frac{x + 3y}{x^2 +y^2} = 0 \end{cases}$

dimplak · #2

dimplak · #3

3.

$\begin{cases} 3(x^3 - y^3) - x^2 + 10y^2 = 12y - x - 5 \\ \sqrt[3]{3 - x^3} = 2x^3 + y - 4 \end{cases}$ .

dimplak · #4

4.

Αν ισχύει ότι:

$\begin{cases} ax + by = 3 \\ ax^2 + by^2 = 7 \\ ax^3 + by^3 = 16 \\ ax^4 + by^4 = 42 \end{cases}$

Τότε να βρείτε το ax^5 + by^5

.

dimplak · #5

5.

Αν

, να λύσετε το σύστημα:

$\begin{cases} xy + xz + yz = 12 \\ xyz = 2 + x + y + z \end{cases}$ .

dimplak · #6

6.

$\begin{cases} 5x + \frac{5x}{x^2 + y^2} = 12 \\ 5y - \frac{5y}{x^2 + y^2} = 4 \end{cases}$

dimplak · #7

7.

$\begin{cases} 36x^2 + 9y^2 + 4z^2 + 12xyz = 36 \\ 9x + 6y + 5z = 9 \sqrt{2 - 2x} + 6 \sqrt{2 - y} + \sqrt{18 - 6z} \end{cases}$

dimplak · #8

dimplak · #9

dimplak · #10

10.

$\begin{cases} 2x^2 + 2y^2 = 1 \\ 4x ( x^3 - x^2 + x - 1 ) = y^2 + 2xy - 2 \end{cases}$

dimplak · #11

11.

$\begin{cases} x - y = ( \sqrt{y} - \sqrt{x} ) ( 1 + xy) \\ x^3 + y^3 = 54 \end{cases}$

harrisp · #12

dimplak έγραψε:4.

Αν ισχύει ότι:

$\begin{cases} ax + by = 3 \\ ax^2 + by^2 = 7 \\ ax^3 + by^3 = 16 \\ ax^4 + by^4 = 42 \end{cases}$

Τότε να βρείτε το .

Απαντήθηκε πρόσφατα εδώ viewtopic.php?f=173&t=55719

#13

dimplak έγραψε:2.

$\begin{cases} log_2 x + log_4 y + log_4 z = 2 \\ log_3 y + log_9 z + log_9 x = 2 \\ log_4 z + log_{16} x + log_{16} y = 2 \end{cases}$

Για $\displaystyle{x > 0,0 < a \ne 1}$ , είναι: $\boxed{{\log _a}x = {\log _{{a^2}}}{x^2}}$ . Έτσι από αυτό τον τύπο και τις ιδιότητες λογαρίθμων το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {x^2}yz = 16 \hfill \\ x{y^2}z = 81 \hfill \\ xy{z^2} = 256 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Τώρα πλέον εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{(x,y,z) = \left( {\frac{2}{3},\frac{{27}}{8},\frac{{32}}{3}} \right)}$

#14

dimplak έγραψε:5.

Αν , να λύσετε το σύστημα:

$\begin{cases} xy + xz + yz = 12 \\ xyz = 2 + x + y + z \end{cases}$ .

Καταρχάς να επισημάνουμε ότι κάποια από τα γραμμικά συστήματα αυτά δεν είναι για Β' Λυκείου. Π.χ. το σύστημα αυτό λύνεται ως εξής.

Είναι

$\displaystyle{(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)\implies x+y+z\geq 6\implies xyz-2\geq 6\implies \boxed{xyz\geq 8}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bf 1}$ )

Επίσης από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{12=xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\implies \boxed{xyz\leq 8}}$

Τότε λόγω της ( $\displaystyle{\color{red}\bf 1}$ ) είναι $\displaystyle{xyz=8,}$ άρα $\displaystyle{x=y=z=2,}$ τριάδα που επαληθεύει τις εξισώσεις.

#15

dimplak έγραψε:6.

$\begin{cases} 5x + \frac{5x}{x^2 + y^2} = 12 \\ 5y - \frac{5y}{x^2 + y^2} = 4 \end{cases}$

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίωση με $\displaystyle{i}$ και τις προσθέτουμς κατά μέλη, οπότε έχουμε ισοδύναμα

$\displaystyle{5(x+yi)+5\frac{x-yi}{x^2+y^2}=12+4i\stackrel{z=x+yi}{\iff } z+\frac{\bar{z}}{|z|^2}=\frac{12+4i}{5}\iff z+\frac{1}{z}=\frac{12+4i}{5}\iff}$

$\displaystyle{\iff z^2-\frac{12+4i}{5}z+1=0}$ .

Λύνουμε τη εξίσωση δευτέρου βαθμού, βρίσκουμε το $\displaystyle{z,}$ άρα τα $\displaystyle{x,y.}$

#16

dimplak έγραψε:10.

$\begin{cases} 2x^2 + 2y^2 = 1 \\ 4x ( x^3 - x^2 + x - 1 ) = y^2 + 2xy - 2 \end{cases}$

Είναι

$\displaystyle{8x(x^3-x^2+x-1)=2y^2+4xy-4=1-2x^2+4xy-4\stackrel{4xy\leq 2(x^2+y^2)=1}{\leq }-2-2x^2\implies }$

$\displaystyle{\implies (x^2+1)(2x-1)^2\leq 0\implies x=\frac{1}{2}.}$

Τότε είναι και $\displaystyle{y=\frac{1}{2}.}$

#17

dimplak έγραψε:8.

$\begin{cases} x^3 - 3x = y \\ y^3 - 3y = z \\ z^3 - 3z = x \end{cases}$

Αν κάνουμε διαδοχικές αντικαταστάσεις καταλήγουμε σε πολυωνυμική εξίσωση 27ου βαθμού, οπότε το σύστημα έχει το πολύ 27 λύσεις, άρα αν βρούμε 27 λύσεις, αυτές θα είναι οι μόνες.

Θέτουμε $\displaystyle{x=2\sin a,}$ οπότε η πρώτη εξίσωση γίνεται $\displaystyle{y=-2\sin 3a,}$ οπότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται $\displaystyle{z=2\sin 9a}$ και τελικά η τρίτη εξίσωση δίνει $\displaystyle{x=-2\sin 27a}$ .

Άρα $\displaystyle{2\sin a=-2\sin 27a\iff \sin a+\sin 27a=0\iff \sin 14a\cos 13a=0\iff a=\frac{k\pi}{14}\vee a=\frac{(2m+1)\pi}{26}.}$

Από εδώ βρίσκουμε τα $\displaystyle{x,y,z,}$ αλλά η πλήρης παράθεση των λύσεων έχει πολύ γράψιμο.

#18

dimplak έγραψε:8.

$\begin{cases} x^3 - 3x = y \\ y^3 - 3y = z \\ z^3 - 3z = x \end{cases}$

Ορίστε και οι 27 λύσεις $\displaystyle{(x,y,z)}$ με τα $\displaystyle{(x,y)}$ να ορίζονται ως οι τομές των καμπύλων $\displaystyle{x^3-3x=y, x=(y^3-3y)^3-3(y^3-3y).}$

: system.png (58.8 KiB) Προβλήθηκε 7020 φορές

#19

dimplak έγραψε:9.

$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 3 \\ z^2 + yz + 1 = 0 \end{cases}$

$\displaystyle{3=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\geq \frac{3y^2}{4}\implies y^2\leq 4\implies |y|\leq 2\implies }$

$\displaystyle{\implies \left|-\frac{z^2+1}{z}\right|\leq 2\implies (|z|-1)^2\leq 0\implies z=\pm 1}$ .

Με αντικατάσταση βρίσκουμε τις λύσεις $\displaystyle{(1,2,-1),(-1,-2,1).}$

#20

dimplak έγραψε:11.

$\begin{cases} x - y = ( \sqrt{y} - \sqrt{x} ) ( 1 + xy) \\ x^3 + y^3 = 54 \end{cases}$

Αν $\displaystyle{x>y}$ , το αριστερό μέλος της πρώτης είναι θετικό, ενώ το δεξί είναι αρνητικό. Αν $\displaystyle{x<y}$ , το δεξί μέλος της πρώτης είναι θετικό, ενώ το αριστερό είναι αρνητικό. Άρα $\displaystyle{x=y}$ και από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε $\displaystyle{x=y=3.}$

Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Re: Μη γραμμικά συστήματα - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση