ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε $\displaystyle{4}$ μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία απ' αυτά τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά $\displaystyle{10, 18, 25 cm^2}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδό του τέταρτου ορθογωνίου.

2. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{333334⋅666663⋅333331+333327}{333333^2}}$ είναι ακέραιος και να βρεθεί ο ακέραιος αυτός.

3. Διαθέτουμε $\displaystyle{1}$ κόκκινο, $\displaystyle{2}$ μαύρους και $\displaystyle{3}$ πράσινους βόλους. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τις τοποθετήσουμε σε $\displaystyle{6}$ τρύπες που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή και ισαπέχουν;

4. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γραφεί ο αριθμός $\displaystyle{105}$ ως άθροισμα τουλάχιστον δύο θετικών διαδοχικών ακεραίων;

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να αποδειχτεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\frac{333334⋅666663⋅333331+333327}{333333^2}}$ είναι ακέραιος και να βρεθεί ο ακέραιος αυτός.

εδώ (άσκηση 30)

Υ.Γ. Ας προταθούν αυτές τις μέρες όλα τα υπόλοιπα Θέματα Θαλή Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου.
Μπορώ να βοηθήσω στην επίλυση τους μιας και ασχολουμαι αυτές τις μέρες με αυτά.

#3

parmenides51 έγραψε:1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε $\displaystyle{4}$ μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία απ' αυτά τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά $\displaystyle{10, 18, 25 cm^2}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδό του τέταρτου ορθογωνίου.

Aς ονομάσουμε x , z

τις διατάσεις του πρώτου (πάνω αριστερά) ορθογωνίου και y , z

του δεύτερου (αυτού που βρίσκεται κάτω αριστερά). Επίσης, ονομάζουμε x , w

τις διαστάσεις του τρίτου ορθογωνίου (αυτού που είναι πάνω δεξιά)
Ζητάμε να βρούμε το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου, (κάτω δεξιά στο σχήμα που θα κατασκευάσουμε), το οποίο θα έχει διαστάσεις y , w

. Δηλαδή ζητάμε να βρούμε το γινόμενο

Aπό την υπόθεση, έχουμε:

$\displaystyle{xz=10 , yz=18 , xw=25}$ . Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίεες εξισώσεις και παίρνουμε:

$\displaystyle{ywxz=450\Rightarrow yw.10=450\Rightarrow yw=45}$ . 'Aρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι

(τετραγωνικές μονάδες).

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προτείνω στους συναδέλφους να ενημερώσουν τους μαθητές που ενδιαφέρονται να διαγωνιστούν στον "ΘΑΛΗ" για την ύπαρξη αυτού του θέματος, και συγκεκριμένα για το "ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ" που έχει φτιάξει ο Αλέξανδρος Συγκελάκης.
Επίσης θεωρώ χρήσιμο να παρακινήσουμε τους μαθητές μας (όσους βέβαια έχουν διάθεση) να δίνουν αυτοί λύσεις στα προτεινόμενα θέματα γιατί έτσι θα τους κινήσει πιο πολύ το ενδιαφέρον τους προς τα μαθηματικά.

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Διαθέτουμε $\displaystyle{1}$ κόκκινο, $\displaystyle{2}$ μαύρους και $\displaystyle{3}$ πράσινους βόλους. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τις τοποθετήσουμε σε $\displaystyle{6}$ τρύπες που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή και ισαπέχουν;

Ο κόκκινος βόλος, μπορεί να τοποθετηθεί στις έξι τρύπες με

τρόπους.

Οι άλλοι δύο μαύροι βόλοι, μπορούν να τοποθετηθούν στις υπόλοιπες

τρύπες με

τρόπους

(Πράγματι, ας ονομάσουμε A,B,C,D,E

τις

τρύπες. Τότε οι δύο μαύροι βόλοι, μπορούν να τοποθετηθούν στις τρύπες αυτές με τους εξής τρόπους:

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE

, δηλαδή με

τρόπους)

Τέλος, οι υπόλοιποι

βόλοι, στις τρεις τρύπες που απομένουν , μπορούν να τοποθετηθούν μόνο με έναν τρόπο.

Άρα συνολικά οι τρόποι είναι 6.10.1=60

parmenides51 · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Προτείνω στους συναδέλφους να ενημερώσουν τους μαθητές που ενδιαφέρονται να διαγωνιστούν στον "ΘΑΛΗ" για την ύπαρξη αυτού του θέματος, και συγκεκριμένα για το "ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ" που έχει φτιάξει ο Αλέξανδρος Συγκελάκης.
Επίσης θεωρώ χρήσιμο να παρακινήσουμε τους μαθητές μας (όσους βέβαια έχουν διάθεση) να δίνουν αυτοί λύσεις στα προτεινόμενα θέματα γιατί έτσι θα τους κινήσει πιο πολύ το ενδιαφέρον τους προς τα μαθηματικά.

Για να είναι πιο χρήσιμο όμως το παραπάνω ευρετήριο θα πρέπει σε πρώτη φάση να είναι συγκεντρωμένες οι εκφωνήσεις των ασκήσεων,
τουλάχιστον του Θαλή όπως πρότεινα πάλι κι εδώ. Προέχει στην παρούσα φάση να ανεβάσουμε τις εκφωνήσεις.
Για όποιον ενδιαφέρεται και έχει χρόνο να βοηθήσει ας αντιγράψει εκφωνήσεις από εδώ.
Το copy paste λειτουργεί στα κείμενα από pdf's αλλά υπάρχουν απώλειες στα νούμερα και χάνουμε τα σχήματα.

#6

parmenides51 έγραψε:4. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γραφεί ο αριθμός $\displaystyle{105}$ ως άθροισμα τουλάχιστον δύο θετικών διαδοχικών ακεραίων;

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν

διαδοχικοί ακέραιοι ( $k\geq 2$ ): x, x+1 , x+2, ..., x+(k-1)

, τέτοιοι ώστε: x+(x+1)+(x+2)+ ... +(x+k-1)=105

. Τότε: $kx+[1+2+3+ ... +(k-1)]=105\Rightarrow kx+\frac{[1+(k-1)](k-1)}{2}=105\Rightarrow kx=105-\frac{k(k-1)}{2}$ . Αφού όμως οι αριθμοί: k , x

,είναι θετικοί ακέραιοι, θα πρέπει: $105-\frac{k(k-1)}{2}> 0\Rightarrow k(k-1)<210\Rightarrow k(k-1)<14.15$ . Από εδώ συμπεραίνουμε ότι πρέπει: k<14

και αφού είναι και: $k\geq 2$ , άρα: $k\epsilon$ { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ... , 13

}.

Αλλά έχουμε και: $kx=105- \frac{k(k-1)}{2}\Rightarrow x=\frac{105}{k}-\frac{k-1}{2}$ . Kαι αφού ο

, είναι ακέραιος, πρέπει να είναι ακέραιος και ο αριθμός : $\frac{105}{k}-\frac{k-1}{2}$ . Mε δοκιμές, βρίσκουμε ότι ο αριθμός αυτός είναι ακέραιος, όταν: $k\epsilon$ { 2,3,5,6,10

}

Άρα οι τρόποι που ζητάμε είναι:

.

#7

ΚΑΛΗΜΕΡΑ
εδώ σας έχω τα θέματα Θαλή Β και Γ γυμνασίου σε word

Χρήστος

ΔΙΟΡΘΩΜΕΝΟ
OK PARM καλη χρονιά

#8

και της Γ

ΔΙΟΡΘΩΜΕΝΟ ....ΔΙΣ

parmenides51 · #9

ευχαριστούμε τα μάλα Χρήστο,
αργότερα μέσα στην μέρα θα τα προτείνω όλα τα παραπάνω

#10

Parn
εδώ είναι και της Α Λυκείου
τα έχω zip γιατί είναι μεγαλύτερα από 500 Kbs

parmenides51 · #11

Αν υπάρχουν και τα θέματα Θαλή της Β' και Γ' Λυκείου σε word, θα βόλευε να τα ανεβάσει κάποιος για να περάσουμε και τις υπόλοιπες εκφωνήσεις (αφού μετατρέπονται απείρως πιο εύκολα σε $\displaystyle{\LaTeX}$ από word παρά από pdf

). Μέσα στο Σαβατοκύριακο θα περάσω και όλα τα υπόλοιπα θέματα του Θαλή σε Β' ,Γ' Γυμνασίου και Α' Λυκείου σαν ξεχωριστές δημοσιεύσεις από τα αρχεία του Χρήστου (εκτός κι αν με προλάβει κάποιος).

parmenides51 · #12

Ψάχνοντας πέτυχα παλιότερα θέματα Θαλή της Γ' Λυκείου σε word εδώ.

Οπότε μας λείπουν σε word παλιότερα θέματα Θαλή της Β' Λυκείου, από όλα τα θέματα Θαλή.

edit
Μολονότι είναι σε αρχεία word, είναι περασμένα σαν εικόνες, δεν είναι σε επεξεργάσιμη μορφή.
Οπότε εξακολουθούμε να αναζητούμε και παλιότερα θέματα Θαλή της Γ' Λυκείου σε word.

parmenides51 · #13

parmenides51 έγραψε:1. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε $\displaystyle{4}$ μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία απ' αυτά τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά $\displaystyle{10, 18, 25 cm^2}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδό του τέταρτου ορθογωνίου.

διαφορετικά εδώ (άσκηση 71)

#14

Ανεβάζω ανά το αρχείο για την Α Λυκείου διορθωμένο
μετά από μνμ του parm (ευχαριστώ)
ΤΕΛΙΚΟ

ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1998 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση