Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Τετ Ιαν 27, 2010 7:18 pm

9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με \hat{BA\Gamma }=20^{0} . Από το σημείο Β φέρνουμε ημιευθεία που σχηματίζει με τη ΒΓ γωνία 30º και τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο Δ. Από την κορυφή Γ φέρνουμε κάθετο στη ΒΔ που τέμνει την ΒΔ στο Η και την ΑΒ στο Ε. Αν ΑΜ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ΓΝ η διχοτόμος της γωνίας του Γ, να δειχθεί ότι:
i) ΒΓ=2ΓΗ .
ii) Τα τρίγωνα ΓΜΝ, ΓΗΔ είναι ίσα.
iii) Το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ισοσκελές.
iv) Τα τρίγωνα ΝΓΑ, ΔΓΕ είναι ίσα.
v) Η γωνία \hat{\Gamma ZE} ισούται με 50º, όπου Ζ το σημείο τομής των ΕΔ, ΒΓ.

Για μαθητές μέχρι 08/02/2010-Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
σχήμα 9.PNG
σχήμα 9.PNG (3.49 KiB) Προβλήθηκε 3330 φορές


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Πέμ Ιαν 28, 2010 2:45 pm

Καλησπέρα! Να μερικές λύσεις...
ί) το τρίγωνο ΓΗΒ είναι ορθογώνιο με γωνίες 30 και 60, άρα η διάμεσος ΗΜ θα είναι ΗΜ=ΒΜ=ΜΓ=ΓΗ άρα ΒΓ=2ΓΗ.
ίί) τα τρίγωνα ΓΗΔ και ΓΜΝ είναι ίσα γιατί ΓΗ=ΓΜ, \Gamma \hat{H}\Delta =\Gamma \hat{M}N=90 μοίρες και τέλος H\hat{\Gamma }\Delta =M\hat{\Gamma }N=40 μοίρες γιατί H\hat{\Gamma }\Delta =A\hat{\Gamma }\Delta -A\hat{\Gamma }N-N\hat{\Gamma }M-M\hat{\Gamma }H=180-40-40-60=40 μοίρες.
ίίί) το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές γιατί ΒΗΕ είναι ορθογώνιο και H\hat{B}E=70 μοίρες άρα B\hat{E}H=20 μοίρες, άρα B\hat{A}\Gamma =B\hat{E}H=20 μοίρες.
ίν) τα τρίγωνα ΝΓΑ και ΔΓΕ είναι ίσα γιατί έχουμε ΑΓ=ΕΓ (επειδή τα τρίγωνα ΝΑΓ και ΓΕΔ είναι ίσα), A\hat{\Gamma }N=E\hat{\Gamma }\Delta =40 μοίρες και ΝΓ=ΔΓ (επειδή τα τρίγωνα ΝΓΜ και ΓΗΔ είναι ίσα).
ν) έχουμε B\hat{Z}E=180-Z\hat{B}E-B\hat{E}Z=180-100-30=50 επειδή Z\hat{B}E=180-A\hat{B}Z=180-80=100 μοίρες και B\hat{E}\Delta =B\hat{E}\Gamma +\Gamma \hat{E}\Delta =20+10=30 μοίρες.


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Κορυφή
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Πέμ Ιαν 28, 2010 10:33 pm

Stavroulitsa έγραψε:
ίν) τα τρίγωνα ΝΓΑ και ΔΓΕ είναι ίσα γιατί έχουμε ΑΓ=ΕΓ (επειδή τα τρίγωνα ΝΑΓ και ΓΕΔ είναι ίσα), A\hat{\Gamma }N=E\hat{\Gamma }\Delta =40 μοίρες και ΝΓ=ΔΓ (επειδή τα τρίγωνα ΝΓΜ και ΓΗΔ είναι ίσα).
Πολύ καλή η λύση σου, μόνο στο iv) είναι ΑΓ=ΕΓ γιατί το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ισοσκελές (από iii)).


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
ypatia
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 22, 2010 6:20 pm

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ypatia » Παρ Ιαν 29, 2010 4:24 pm

Σταύρος Σταυρόπουλος έγραψε:9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με \hat{BA\Gamma }=20^{0}...
Καλησπέρα σε όλους.

Μιας και καταφέραμε νά 'χουμε στη διάθεσή μας το παραπάνω ισοσκελές τρίγωνο της ωραίας άσκησης του κ. Σταυρόπουλου, ας προσπαθήσουμε και κάτι δυσκολότερο...

Επί της πλευράς ΑΓ παίρνουμε το σημείο Δ, έτσι ώστε να είναι ΑΔ=ΒΓ. Να δειχθεί ότι: \hat{AB\Delta} = 10^{0}


Μαθητές ερωτευμένοι με την Γεωμετρία, ας παρατηρήσουν ότι η ΒΓ είναι πλευρά ενός κανονικού 18γώνου, εγγεγραμένου σε κύκλο κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ. Επίσης ας παρατηρήσουν πως η γωνία ΒΑΓ θα προέκυπτε με την τριχοτόμηση της επίκεντρης γωνίας ΒΑΕ που βαίνει σε τόξο χορδής ΒΕ ίσης με την ακτίνα ΑΒ. (Η τριχοτόμηση αυτή είναι βεβαίως γεωμετρικά αδύνατη...)
τελευταία επεξεργασία από ypatia σε Παρ Ιαν 29, 2010 10:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Παρ Ιαν 29, 2010 9:50 pm

Πολύ ωραίο το ερώτημα. Πιστεύω με την υπόδειξη που δόθηκε από τη συνάδελφο και το σχήμα που παραθέτω θα αντιμετωπιστεί πιό εύκολα.
Άσκηση 9 (Β).PNG
Άσκηση 9 (Β).PNG (11.03 KiB) Προβλήθηκε 3198 φορές


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
ypatia
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Ιαν 22, 2010 6:20 pm

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ypatia » Παρ Ιαν 29, 2010 10:50 pm

Ευχαριστώ τον κ. Σταυρόπουλο για την παράθεση του επεξηγηματικού σχήματος.


Κορυφή
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Τετ Φεβ 03, 2010 8:12 pm

ypatia έγραψε:
Σταύρος Σταυρόπουλος έγραψε:9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με \hat{BA\Gamma }=20^{0}...
Καλησπέρα σε όλους.

Μιας και καταφέραμε νά 'χουμε στη διάθεσή μας το παραπάνω ισοσκελές τρίγωνο της ωραίας άσκησης του κ. Σταυρόπουλου, ας προσπαθήσουμε και κάτι δυσκολότερο...

Επί της πλευράς ΑΓ παίρνουμε το σημείο Δ, έτσι ώστε να είναι ΑΔ=ΒΓ. Να δειχθεί ότι: \hat{AB\Delta} = 10^{0}


Μαθητές ερωτευμένοι με την Γεωμετρία, ας παρατηρήσουν ότι η ΒΓ είναι πλευρά ενός κανονικού 18γώνου, εγγεγραμένου σε κύκλο κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ. Επίσης ας παρατηρήσουν πως η γωνία ΒΑΓ θα προέκυπτε με την τριχοτόμηση της επίκεντρης γωνίας ΒΑΕ που βαίνει σε τόξο χορδής ΒΕ ίσης με την ακτίνα ΑΒ. (Η τριχοτόμηση αυτή είναι βεβαίως γεωμετρικά αδύνατη...)

Επειδή δεν βλέπω συμμετοχή στη λύση της άσκησης, μήπως αυτό το σχήμα βοηθάει περισσότερο;
σχήμα 9α.PNG
σχήμα 9α.PNG (10.56 KiB) Προβλήθηκε 3139 φορές


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Τρί Φεβ 09, 2010 8:40 pm

Στο συνημμένο η λύση της άσκησης 9.
Λύση άσκησης 9.doc
(75 KiB) Μεταφορτώθηκε 200 φορές


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
Σταύρος Σταυρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 551
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:46 pm
Τοποθεσία: Κόρινθος

Re: Άσκηση Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου (9)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταύρος Σταυρόπουλος » Σάβ Φεβ 20, 2010 5:51 pm

ypatia έγραψε:
Σταύρος Σταυρόπουλος έγραψε:9) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με \hat{BA\Gamma }=20^{0}...
Καλησπέρα σε όλους.

Μιας και καταφέραμε νά 'χουμε στη διάθεσή μας το παραπάνω ισοσκελές τρίγωνο της ωραίας άσκησης του κ. Σταυρόπουλου, ας προσπαθήσουμε και κάτι δυσκολότερο...

Επί της πλευράς ΑΓ παίρνουμε το σημείο Δ, έτσι ώστε να είναι ΑΔ=ΒΓ. Να δειχθεί ότι: \hat{AB\Delta} = 10^{0}


Μαθητές ερωτευμένοι με την Γεωμετρία, ας παρατηρήσουν ότι η ΒΓ είναι πλευρά ενός κανονικού 18γώνου, εγγεγραμένου σε κύκλο κέντρου Α και ακτίνας ΑΒ. Επίσης ας παρατηρήσουν πως η γωνία ΒΑΓ θα προέκυπτε με την τριχοτόμηση της επίκεντρης γωνίας ΒΑΕ που βαίνει σε τόξο χορδής ΒΕ ίσης με την ακτίνα ΑΒ. (Η τριχοτόμηση αυτή είναι βεβαίως γεωμετρικά αδύνατη...)
Στην παραπάνω άσκηση μήπως αρκεί να κάνουμε μια σύγκριση τριγώνων;
σχήμα 9α.PNG
σχήμα 9α.PNG (10.56 KiB) Προβλήθηκε 3011 φορές


Σ τ α ύ ρ ο ς Σ τ α υ ρ ό π ο υ λ ο ς
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης