Ιαπωνική ανισότητα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1+b^{|x|}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{0} \frac{1+b^{-x}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x = -\int_{1}^{0} \frac{1+b^{x}}{1+a^{-x}} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} a^x \cdot \frac{1+b^{x}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x$

Άρα

$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1+b^{|x|}}{1+a^x} \,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} (1+b^x) \,\mathrm{d}x = \left[x + \frac{e^{x\ln{b}}}{\ln{b}} \right]_0^1 = 1 + \frac{b-1}{\ln{b}} < 1+b$

Για να δούμε την τελευταία ανισότητα χρησιμοποιούμε την ανισότητα e^x > 1+x

για $x \neq 0$ . Θέτοντας $x = -\ln(b) < 0$ παίρνουμε $\displaystyle \frac{1}{b} > 1 - \ln(b)$ που δίνει την $\displaystyle \frac{b-1}{\ln{b}} < b$ (αφού $\ln{b} > 0$ ).

Το ζητούμενο τώρα έπεται από συμμετρία.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

$\displaystyle \int_{0}^{1} (1+b^x)dx=1+ \int_{0}^{1} b^xdx<1+b$

Για 0<x<1

είναι $b^{x}<b$

Ιαπωνική ανισότητα

Ιαπωνική ανισότητα

Re: Ιαπωνική ανισότητα

Re: Ιαπωνική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση