4 άλυτες-πρώτη

#1

Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{f \in \Bbb{Q}[X]}$ με βαθμό $\displaystyle{ \ge 2}$ και το σύνολο $\displaystyle{A=\{x \in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Q} \wedge f(x) \in \Bbb{Q}\}}$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{inf\{\left|t-x\right|, t \in A \}=0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$

Gazeta Matematica C878

#2

Επαναφορά!

#3

s.kap έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2013 8:46 pm
Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{f \in \Bbb{Q}[X]}$ με βαθμό $\displaystyle{ \ge 2}$ και το σύνολο $\displaystyle{A=\{x \in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Q} \wedge f(x) \in \Bbb{Q}\}}$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{inf\{\left|t-x\right|, t \in A \}=0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$

Gazeta Matematica C878

Γράφω μια προσέγγιση. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.

Ας δούμε ποια ακριβώς είναι τα στοιχεία του

. Πρόκειται για εκείνους τους άρρητους που απεικονίζονται σε ρητούς. Δηλαδή για εκείνα τα $\rho \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{ Q}$ για τα οποία $f(\rho)=\frac{m}{n}$ με $m, n \in \mathbb{Z}$ . Ισοδύναμα για εκείνους τους πραγματικούς αλγεβρικούς που είναι ρίζες πολυωνύμων της μορφής mf+n

με $m, n \in \mathbb{Z}$ .

Το αποδεικτέο ισοδυναμεί με το ότι το

είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ .

Για την απόδειξη αρκεί να θεωρήσουμε πραγματικούς $\alpha<\beta$ και να αποδείξουμε ότι μεταξύ τους βρίσκεται στοιχείο του

. Μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι τα $0 \neq f(\alpha) \neq f(\beta) \neq 0$ διότι σε ενάντια περίπτωση μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε $\alpha', \beta'$ τέτοιους ώστε $\alpha<\alpha'<\beta'<\beta$ ,
$0 \neq f(\alpha') \neq f(\beta') \neq 0$ και να εργασθούμε με αυτούς.

To

έχει ρητούς συντελεστές και επομένως μπορεί να γραφεί
$\displaystyle{f=\frac{1}{r}f^{*}}$
όπου

ακέραιος και το $f^{\ast}$ έχει ακέραιους συντελεστές. Ας πούμε ότι
$\displaystyle{f^{\ast} (x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_{1}x+c_{0},\,\,\,\,\,c_{i}\in \mathbb{Z}.}$

Θεωρούμε τις τεμνόμενες ευθείες
$\displaystyle{\left( \varepsilon _{1}\right) :\,\,\,\,f^{\ast }\left( \alpha \right) x+y=0,\,\,\,\,\,\,\left( \varepsilon _{2}\right) :\,\,\,\,f^{\ast }\left( \beta \right) x+y=0}$
Το αρνητικό μέρος της $\left( \varepsilon _{1}\right)$ και το θετικό μέρος της $\,\left( \varepsilon _{2}\right)$ τέμνονται κατά το εσωτερικό μιας γωνίας του επιπέδου η οποία περιέχει άπειρα συνδεσμικά σημεία $(\kappa,\lambda)$ δηλαδή σημεία με συντεταγμένες ακεραίους. Είναι πάντα δυνατόν να επιλέξουμε ένα από αυτά ώστε:
$\bullet$ $\kappa=\pm p$ όπου

πρώτος που δεν διαιρεί κανένα από τους συντελεστές του $f^{*}$
$\bullet$ $\lambda$ που δεν διαιρείται από τον

.
Τότε για το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές:
$\displaystyle{P\left( y\right) =\left( \kappa c_{0}+\lambda \right) y^{n}+kc_{1}y^{n-1}+...+kc_{n-1}y+kc_{n},}$
έχουμε ότι:
$\bullet$ $p \cancel{|} \kappa c_{0}+\lambda$
$\bullet$ $p|kc_{i},\,\,i=1,...,n$
$\bullet$ $p^{2} \cancel{|} kc_{n}$
Επομένως από το κριτήριο του Eisenstein το

είναι ανάγωγο. Άρα κάθε ρίζα του είναι μιγαδικός αριθμός που δεν είναι ρητός.

Από την επιλογή των $\kappa, \lambda$ έχουμε ότι
$\displaystyle{\left( \,f^{\ast }\left( \alpha \right) \kappa +\lambda \right) \,\left( \,\,f^{\ast }\left( \beta \right) \kappa +\lambda \right) <0}$
άρα από το θεώρημα του Bolzano το πολυώνυμο $\kappa f^{\ast }\left( x\right) +\lambda$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα $\rho$ μεταξύ των $\alpha$ και $\beta$ . Επειδή $f^{\ast }\left( 0\right) =\kappa c_{0}+\lambda \neq 0$ αφού ο $\lambda$ δεν διαιρείται από τον

ο $\rho$ δεν είναι

. Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $\rho =\frac{1}{t}$ . Τότε από την σχέση
$\displaystyle{\kappa f^{\ast }\left( \frac{1}{t}\right) +\lambda =0,}$
έχουμε:
$\displaystyle{\kappa c_{n}\left( \frac{1}{t}\right) ^{n}+\kappa c_{n-1}\left( \frac{1}{t}\right) ^{n-1}+...+\kappa c_{1}\left( \frac{1}{t}\right) +\kappa c_{0}+\lambda =0}$
και επομένως
$\displaystyle{\left( \kappa c_{0}+\lambda \right) t^{n}+\kappa c_{1}t^{n-1}+...+\kappa c_{n-1}t+\kappa c_{n}=0.}$
Άρα P(t)=0

επομένως ο πραγματικός

είναι άρρητος. Άρα το αυτό θα ισχύει για τον αντίστροφο του $\rho$ .
Από την $\kappa f^{\ast }\left( \rho \right) +\lambda =0$ έχουμε $\kappa r\frac{1}{r}f^{\ast }\left( \rho \right) +\lambda =0$ συνάγουμε οτι ο άρρητος $\rho$ είναι ρίζα του $\left( \kappa r\right) f^{\ast }+\lambda$ άρα είναι στοιχείο του

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Edit 8/3/2023 15.35 Διόρθωση ονόματος πολυωνύμου από σε .

4 άλυτες-πρώτη

4 άλυτες-πρώτη

Re: 4 άλυτες-πρώτη

Re: 4 άλυτες-πρώτη

Μέλη σε σύνδεση