Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016 (8η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

[b][i]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015-2016

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)[/i][/b]

[b]1.[/b] Στο νησί Κακοτυχία οι άνδρες την Τετάρτη λένε πάντα την αλήθεια, ενώ την Πέμπτη πάντα ψεύδονται και οι γυναίκες το ανάποδο. Την Τετάρτη ο καθένας τους είπε «Ο αριθμός των ανδρών που γνωρίζω είναι κατά ένα μεγαλύτερος από τον αριθμό των γυναικών που γνωρίζω», και την Πέμπτη «Ο αριθμός των γυναικών που γνωρίζω είναι κατά ένα μεγαλύτερος από των αριθμό των ανδρών που γνωρίζω». Μπορεί το νησί να έχει ακριβώς 2015 κατοίκους;

[b]2.[/b] Δίνονται οι αριθμοί $x,y \geq 0$ . Να αποδείξετε, ότι

$x^2+xy+y^2 \leq 3(x-\sqrt{xy}+y)^2$

[b]3.[/b] Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC

(

) φέρουμε την διχοτόμο

. Στη βάση

δίνεται σημείο

, τέτοιο ώστε AE = DC

. Η διχοτόμος της γωνίας AED

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι $\angle AFE = \angle DFE$ .

[b]4.[/b] Τετράγωνο διαστάσεων $60 \times 60$ κελιών, διαμερίζεται σε πλακίδια διαστάσεων $2 \times 5$ . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να ορίσουμε μια τέτοια διαμέριση του τετραγώνου σε ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 3$ , ώστε κάθε πλακίδιο $2 \times 5$ να περιέχει τουλάχιστον ένα ολόκληρο ορθογώνιο.

[b]Καταληκτική αίθουσα (**)[/b]

[b]5.[/b] Ο Βασίλης έγραψε σε μια γραμμή 100 διαδοχικούς αριθμούς. Στην δεύτερη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της πρώτης έγραψε ένα γνήσιο διαιρέτη του. Στην τρίτη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της δεύτερης γραμμής έγραψε έναν γνήσιο διαιρέτη του κ.ο.κ., μέχρι να φτάσει τις 1000 γραμμές. Είναι δυνατόν, κάθε γραμμή να αποτελείται από διαδοχικούς αριθμούς;

[b]6.[/b] Στο ράφι μιας αποθήκης είναι τοποθετημένες 13 βαλίτσες, αριθμημένες με κάποια σειρά με τους αριθμούς από το 1 έως το 13. Οι βαλίτσες έχουν διαφορετικά πλάτη και δεν είναι απαραίτητα κολλητά η μια στην άλλη και στα άκρα του ραφιού. Ο αποθηκάριος αφαιρεί την βαλίτσα $N\textsuperscript{\underline{o}}} 1$ και την τοποθετεί στην πιο αριστερά επιτρεπτή θέση, χωρίς να μετακινήσει τις άλλες βαλίτσες. Έπειτα αφαιρεί την βαλίτσα $N\textsuperscript{\underline{o}}} 2$ και την τοποθετεί στην πιο αριστερά επιτρεπτή θέση, χωρίς να μετακινήσει τις άλλες βαλίτσες κ.ο.κ. Μετά και από την επανατοποθέτηση της βαλίτσας $N\textsuperscript{\underline{o}}} 13$ ο αποθηκάριος εκ νέου συνεχίζει την διαδικασία με την βαλίτσα $N\textsuperscript{\underline{o}}} 1$ κ.ο.κ. Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό

τέτοιο, ώστε για οποιαδήποτε αρχική τοποθέτηση των βαλιτσών ύστερα από

επανατοποθετήσεις κάθε βαλίτσα ο αποθηκάριος με βεβαιότητα θα την τοποθετήσει σε εκείνη την θέση, από την οποία την πήρε. (αν η βαλίτσα τοποθετείτε στην θέση, από την οποία την πήρανε, τότε και αυτή η κίνηση προσμετράτε σαν επανατοποθέτηση).

[b]7.[/b] Στο εσωτερικό τριγώνου ABC

δίνεται σημείο

, από το οποίο κάθε πλευρά φαίνεται υπό γωνία 120 ^0

. Να αποδείξετε, ότι

$2AB+2BC+2CA \geq 4AT+3BT+2CT$ .

[size=85][i](*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν τρία από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα τρία σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.[/i]

Στατιστικά: Στον πρώτο πίνακα αναγράφεται ο αριθμός των λυτών ανά θέμα (πόσοι έλυσαν το πρώτο, δύτερο θέμα κτλ.). Στον δεύτερο πίνακα ο αριθμός των μαθητών ανά πλήθος θεμάτων που έλυσαν(πόσοι έλυσαν ένα, δυο κτλ θέματα).

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \text{\gr σύνολο} &\text{\gr καταληκτική} \\ \hline 8 & 55 & 46 & 28 & 18 & 10 & 15 & 3 & 89 & 29 \\ \hline \end{tabular}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 17 & 18 & 11 & 9 & 3 & 4 & 2 \\ \hline \end{tabular}$

Edit: 23/03/2017 έγινε διόρθωση των διαστάσεων του τετραγώνου στο πρόβλημα 4 και διόρθωση στην εκφώνηση του 5ου προβλήματος.[/size]

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015-2016

2. Δίνονται οι αριθμοί $x,y \geq 0$ . Να αποδείξετε, ότι

$x^2+xy+y^2 \leq 3(x-\sqrt{xy}+y)^2$

Αν , τότε ισχύει η ισότητα.

Αν και έχουμε ότι .

Εκτελούμε τις πράξεις και έχουμε:

$x^2+y^2+xy\leq 3(x^2+y^2+xy+2xy-2x\sqrt{xy}-2y\sqrt{xy})\Leftrightarrow$ $2x^2+2y^2+8xy\geq 6x\sqrt{xy}+6y\sqrt{xy}\Leftrightarrow$ $2(x+y)^2+4xy\geq 6x\sqrt{xy}+6y\sqrt{xy}\Leftrightarrow$ $2(x+y)+\dfrac{4xy}{x+y}\geq 6\sqrt{xy}$

Όμως από έχουμε ότι:

$x+y+\dfrac{4xy}{x+y}\geq 4\sqrt{xy}$ (1)

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$ (2)

Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε το ζητούμενο. Η ισότητα ισχύει όταν

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015-2016

3. Σε ισοσκελές τρίγωνο () φέρουμε την διχοτόμο . Στη βάση δίνεται σημείο , τέτοιο ώστε . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι $\angle AFE = \angle DFE$ .

Φέρνουμε από το παράλληλη προς την που τέμνει την στο . Επειδή θα είναι $\widehat{KAD}=\widehat{FAD}=\widehat{ADK}$ , έχουμε πως το τρίγωνο είναι ισοσκελές, με .

Ακόμα, από τα όμοια τρίγωνα και έχουμε ότι:

$\dfrac{DK}{AB}=\dfrac{DC}{BC}$

Έχουμε πως , άρα .

Όμως , άρα το ταυτίζεται με το .

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και άρα η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{AED}$ είναι και μεσοκάθετος του , δηλαδή και διχοτόμος της $\widehat{AFD}$ . Πράγματι λοιπόν $\widehat{AFE} = \widehat{DFE}$ .

Al.Koutsouridis · #4

1. Στο νησί Κακοτυχία οι άνδρες την Τετάρτη λένε πάντα την αλήθεια, ενώ την Πέμπτη πάντα ψεύδονται και οι γυναίκες το ανάποδο. Την Τετάρτη ο καθένας τους είπε «Ο αριθμός των ανδρών που γνωρίζω είναι κατά ένα μεγαλύτερος από τον αριθμό των γυναικών που γνωρίζω», και την Πέμπτη «Ο αριθμός των γυναικών που γνωρίζω είναι κατά ένα μεγαλύτερος από των αριθμό των ανδρών που γνωρίζω». Μπορεί το νησί να έχει ακριβώς 2015 κατοίκους;

Όχι δεν μπορεί.

Αν $x_{i}$ ο αριθμός των γυναικών που γνωρίζει ένας άντρας τότε αφού λένε την αλήθεια οι άντρες τις Τετάρτες ο αρθμός των ανδρών που γνωρίζει θα είναι $x_{i}+1$ . Δηλαδή συνολικά ένας άνδρας γνωρίζει $2x_{i}+1 =$ περιττό αριθμό ατόμων.

Ομοίως και κάθε γυναίκα γνωρίζει περιττό αριθμό ατόμων.

Μπορεί λοιπόν σε μια ομάδα με περιττό πλήθος ατόμων, κάθε άτομο να γνωρίζει περιττό αριθμό ατόμων της ομάδας; Όχι δεν μπορεί. Αυτό μπορούμε να το δούμε πιο εύκολα εφαρμόζοντας την λεγόμενη τεχνική της χειραψίας.

Βάζουμε κάθε κάτοικο του νησιού να κάνει χειραψία με τους γνωστούς του. Από την στιγμή που σε μια χειραψία συμμετέχουν δυο χέρια ο συνολικός αριθμός των χεριών που συμμετείχαν στις χειραψίες είναι άρτιος. Από την άλλη αν πάρουμε κάθε άτομο ξεχωριστά το χέρι του συμμετείχε σε περιττό αριθμό χειραψιών και αν το πλήθος των ατόμων είναι περιττό τότε ο συνολικός αριθμός των χεριών που συμμετέχουν σε χειραψίες θα είναι περιττός.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Ο Βασίλης έγραψε σε μια γραμμή 100 διαδοχικούς αριθμούς. Στην δεύτερη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της πρώτης έγραψε ένα γνήσιο διαιρέτη του. Στην τρίτη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της δεύτερης γραμμής έγραψε έναν γνήσιο διαιρέτη του κ.ο.κ., χωρίς να φτάσει τις 1000 γραμμές. Είναι δυνατόν, κάθε γραμμή να αποτελείται από διαδοχικούς αριθμούς;

Με παραξενεύει το «χωρίς να φτάσεις τις 1000

γραμμές». Φαίνεται να υπονοεί ότι γίνεται αν δεν φτάσει τις 1000

γραμμές αλλά για κάποιο λόγο χαλάει αν φτάσει 1000

ή περισσότερες γραμμές. Η απάντησή μου όμως είναι «Ναι, είναι δυνατόν, ακόμη και αν ξεπέρασε τις 1000

γραμμές».

Βάζω λοιπόν την απόδειξη με μια επιφύλαξη για το αν κατάλαβα καλά την εκφώνηση ή αν έχω κάποιο προφανές λάθος που δεν το βλέπω.

Αρκεί να δείξω ότι αν έχω μια γραμμή από 100

διαδοχικούς αριθμούς τότε μπορώ αμέσως από πάνω από κάθε αριθμό να γράψω ένα γνήσιο πολλαπλάσιό του ώστε και η από πάνω γραμμή να αποτελείται από διαφορετικούς αριθμούς.

Αυτό μπορώ να το κάνω ως εξής: Αν ξεκινήσω με την γραμμή $a+1,a+2,\ldots,a+100$ τότε από πάνω γράφω την γραμμή $t_1(a+1),t_2(a+2),\ldots,t_{100}(a+100)$ όπου $\displaystyle{ t_k = 1 + \frac{(a+100)!}{a+k}.}$ Ασφαλώς για $1 \leqslant k \leqslant 100$ ο t_k

είναι ακέραιος μεγαλύτερος του

. Επιπλέον

$\displaystyle{ t_{k+1}(a+k+1) - t_k(a+k) =k+1 + (a+100)! - (k + (a+100)!) = 1 }$

οπότε τελειώσαμε.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Τετράγωνο διαστάσεων $50 \times 50$ κελιών, διαμερίζεται σε πλακίδια διαστάσεων $2 \times 5$ . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να ορίσουμε μια τέτοια διαμέριση του τετραγώνου σε ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 3$ , ώστε κάθε πλακίδιο $2 \times 5$ να περιέχει τουλάχιστον ένα ολόκληρο ορθογώνιο.

Μήπως κάτι πάει λάθος; Αφού δεν μπορούμε να διαμερίσουμε το τετράγωνο σε ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 3$ .

Al.Koutsouridis · #7

Demetres έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Τετράγωνο διαστάσεων $50 \times 50$ κελιών, διαμερίζεται σε πλακίδια διαστάσεων $2 \times 5$ . Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να ορίσουμε μια τέτοια διαμέριση του τετραγώνου σε ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 3$ , ώστε κάθε πλακίδιο $2 \times 5$ να περιέχει τουλάχιστον ένα ολόκληρο ορθογώνιο.

Μήπως κάτι πάει λάθος; Αφού δεν μπορούμε να διαμερίσουμε το τετράγωνο σε ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 3$ .

ο δέμον του πληκτρολογίου και δεν το πήρα χαμπάρι, τόσο καιρό το τετράγωνο είναι $60 \times 60$ το διορθώνω και στην αρχική ανάρτηση.

Al.Koutsouridis · #8

Demetres έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Ο Βασίλης έγραψε σε μια γραμμή 100 διαδοχικούς αριθμούς. Στην δεύτερη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της πρώτης έγραψε ένα γνήσιο διαιρέτη του. Στην τρίτη γραμμή κάτω από κάθε αριθμό της δεύτερης γραμμής έγραψε έναν γνήσιο διαιρέτη του κ.ο.κ., χωρίς να φτάσει τις 1000 γραμμές. Είναι δυνατόν, κάθε γραμμή να αποτελείται από διαδοχικούς αριθμούς;
Με παραξενεύει το «χωρίς να φτάσεις τις γραμμές». Φαίνεται να υπονοεί ότι γίνεται αν δεν φτάσει τις γραμμές αλλά για κάποιο λόγο χαλάει αν φτάσει ή περισσότερες γραμμές. Η απάντησή μου όμως είναι «Ναι, είναι δυνατόν, ακόμη και αν ξεπέρασε τις γραμμές».

Τα έκανα μαντάρα με τις εκφωνήσεις αυτή την φορά. Το σωστό πρέπει να είναι "μέχρι να φτάσει τις 1000 γραμμές", ήταν λίγο περιέργη η σύνταξη και με μπέρδεψε. Το διορθώνω κι αυτό.

Γιατί επιλέχθηκε το 1000 δε ξέρω. Ίσως από την μία να δείξει το πεπερασμένο της διαδικασίας για τον ίδιο και από την άλλη να αφήσει μεγάλο αριθμό γραμμών ώστε να αναζητηθεί ο γενικός κανόνας εύρεσης τέτοιων αριθμών και όχι κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα με 2 γραμμές π.χ.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε:
7. Στο εσωτερικό τριγώνου δίνεται σημείο , από το οποίο κάθε πλευρά φαίνεται υπό γωνία . Να αποδείξετε, ότι

$2AB+2BC+2CA \geq 4AT+3BT+2CT$ .

Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq 2x+\frac{3y}{2}+z.}$

Είναι

$\displaystyle{\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}=}$

$\displaystyle{=\sqrt{\left(x+\frac{y}{2} \right )^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(x+\frac{z}{2} \right )^2+\left(\frac{\sqrt{3}z}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(y+\frac{z}{2} \right )^2+\left(\frac{\sqrt{3}y}{2}\right)^2}\stackrel{Minkowski}{\geq}}$

$\displaystyle{\geq \sqrt{\left(2x+\frac{3y}{2}+z\right)^2+\frac{3}{4}(2y+z)^2}\geq 2x+\frac{3y}{2}+z.}$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016 (8η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2015-16 (ΦΙΙ τάξη 8)

Μέλη σε σύνδεση