Απόδειξη ανισότητας
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5258
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη ανισότητας
Η είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο · Είναι
Συνεπώς, η είναι γνησίως αύξουσα στο . Άρα,
και η ανισότητα απεδείχθη.
Η λύση μου είναι λάθος… την αφήνω προς αποφυγήν …
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη ανισότητας
Αρκεί να δειχθεί ότι είναι φθίνουσα η συνάρτηση στο διάστημα Η ζητούμενη για προκύπτει από την
με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την
με την πρώτη ανισότητα να είναι ισοδύναμη προς την
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Απόδειξη ανισότητας
Γιώργο ευχαριστώ για την απόδειξη....
Έχω υπόψιν μου μια λίγο διαφορετική απόδειξη αλλά ούτε αυτή είναι απλή. Η απόδειξη γενικά αυτής της ανισότητας έχει δυσκολίες και παγίδες.
Για τη διευκόλυνση της ανάγνωσης της παραπάνω απόδειξης του Γιώργου, γράφω τα παρακάτω:
Η παράγωγος της συνάρτησης είναι:
Γνωρίζουμε ότι η τελευταία παρένθεση είναι μεγαλύτερη ή ίση του , αφού οι όροι του αθροίσματος είναι θετικοί αντίστροφοι αριθμοί. Το ίσον ισχύει για .
Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση και παραγωγίσουμε θα βρούμε ότι:
.
Έτσι, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα οπότε
άρα
...................
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη ανισότητας
Κώστα σ' ευχαριστώ και εγώ, και κάνω δύο παρατηρήσεις:
(Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η είναι ισοδύναμη προς την και άρα προς την και την
[Ενδιαφέρον το ότι χρησιμοποιήθηκε ΔΥΟ φορές η για ...]
(II) Απομακρυνόμενοι από τα παραπάνω ... ΑΝ μπορούμε να αποδείξουμε την ... τότε έχουμε άμεσα την αποδεικτέα ... μέσω κλπ
[Μπορούμε να το δούμε και ανάποδα: η αρχικώς ζητούμενη (που έχουμε ήδη αποδείξει) συνεπάγεται την (μάλλον πιο ενδιαφέρουσα) !]
(Ι) Στην παραπάνω απόδειξη σου δεν χρειαζόμαστε παραγώγους στο τέλος, καθώς η είναι ισοδύναμη προς την και άρα προς την και την
[Ενδιαφέρον το ότι χρησιμοποιήθηκε ΔΥΟ φορές η για ...]
(II) Απομακρυνόμενοι από τα παραπάνω ... ΑΝ μπορούμε να αποδείξουμε την ... τότε έχουμε άμεσα την αποδεικτέα ... μέσω κλπ
[Μπορούμε να το δούμε και ανάποδα: η αρχικώς ζητούμενη (που έχουμε ήδη αποδείξει) συνεπάγεται την (μάλλον πιο ενδιαφέρουσα) !]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Απόδειξη ανισότητας
Πολύ καλό και απλό Γιώργο!.... δεν το είδα, αν και το ανέφερες!
Ναι! Ουσιαστικά ήταν η αφορμή για τη δημιουργία της ανισότητας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες