OΡΙΟ

irakleios · #1

α) Να δειχθεί ότι για κάθε $x \geq 0$ αληθεύει $|\eta \mu \sqrt{x+1} - \eta \mu \sqrt{x} | \leq |\sqrt{x+1} - \sqrt{x} |$ .

β) Να υπολογισθεί το όριο $\lim_{x \to \ +\infty }\left(\eta \mu {\sqrt{x+1}}-\sqrt{x} \right)$

freyia · #2

$\displaystyle{|sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x}|=|2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}.sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}|=}$

$\displaystyle{=2|cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}|.|sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}|\leq }$

$\displaystyle{\leq 2.|sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}|\leq 2.|\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}|=|\sqrt{x+1}-\sqrt{x}|}$

επειδή ισχύει ότι $\displaystyle{|sinx|\leq |x|}$ ,για κάθε $\displaystyle{xER}$ .

Τώρα, επειδή είναι $\displaystyle{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\rightarrow 0}$ , (όταν το $\displaystyle{x\rightarrow +\propto}$ )

Eπομένως το όριο που μας ζητά η άσκηση είναι το μηδέν.

#3

Η άσκηση δεν έχει ημίτονο στο $\sqrt{x}$ , εκτός αν είναι τυπογραφικό..

Για το πρώτο, από το ΘΜΤ στην $\sin x$ στο $[\sqrt{x},\sqrt{x+1}]$ , έχουμε απευθείας το ζητούμενο αφού $|\cos x|\leq1$ .

OΡΙΟ

OΡΙΟ

Re: OΡΙΟ

Re: OΡΙΟ

Μέλη σε σύνδεση