Συνέχεια ...αρνήσεις !

#1

Έστω

σταθερός αριθμός και η συνάρτηση $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ με την ιδιότητα :

f(f(x))=(x-a)^2+a

για κάθε $x\in \mathbb R$ .

Nα αποδείξετε ότι :

α) Η

είναι

στο διάστημα $[a,+\infty)$ , αλλά όχι 1-1

στο πεδίο ορισμού της.

β) Η

δεν είναι γνησίως μονότονη.

γ) Αν f(a)=a+1

, τότε η

δεν είναι συνεχής.

Μπάμπης(G-M)

#2

...να απαντήσουμε θετικά....

α) Για ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in [\alpha ,\,\,\,+\infty )$ αν ισχύει ότι $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ τότε

$f(f({{x}_{1}}))=f(f({{x}_{2}}))\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-\alpha )}^{2}}+\alpha ={{({{x}_{2}}-\alpha )}^{2}}+\alpha \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-\alpha )}^{2}}={{({{x}_{2}}-\alpha )}^{2}}$

απ όπου ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ ή ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\alpha$ που ισχύει μόνο αν ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\alpha$ αφού

${{x}_{1}}\ge \alpha ,\,\,\,{{x}_{2}}\ge \alpha$ άρα η

είναι

στο $[\alpha ,\,\,\,+\infty )$

Έστω ότι η

είναι

στο

επειδή $f(f(\alpha +1))=1+\alpha ,\,\,\,\,\,\,f(f(\alpha -1))=1+\alpha \,\,\,$ θα είναι

$f(f(\alpha +1))=f(f(\alpha -1))$ άρα $f(\alpha +1)=f(\alpha -1)$ άρα $\alpha +1=\alpha -1\Leftrightarrow 1=-1$ που είναι άτοπο, άρα η

δεν είναι

στο

β) Έστω ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

τότε εύκολα δείχνουμε ότι $f\circ f$ είναι γνήσια αύξουσα στο

.

Όμως η $g(x)={{(x-\alpha )}^{2}}+\alpha$ με ${g}'(x)=2(x-\alpha )$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,\alpha ]$

επομένως λόγω της ισότητας $f(f(x))={{(x-\alpha )}^{2}}+\alpha$ άτοπο

Ομοία και αν η

είναι γνήσια στο

καταλήγουμε σε άτοπο άρα δεν είναι γνήσια μονότονη στο

.

γ) Εστω ότι η

είναι συνεχής στο

με $f(\alpha )=\alpha +1$ τότε $f(f(\alpha ))=f(\alpha +1)\Leftrightarrow \alpha =f(\alpha +1)$

Θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=f(x)-x,\,\,\,\,\,x\in [\alpha ,\,\,\,\alpha +1]$ είναι συνεχής με $g(\alpha )=f(\alpha )-\alpha =\alpha +1-\alpha =1>0$ και

$g(\alpha +1)=f(\alpha +1)-\alpha -1=\alpha -\alpha -1=-1<0$ οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ${{x}_{0}}\in (\alpha ,\,\,\,\alpha +1)$

ώστε $g({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f({{x}_{0}})={{x}_{0}}$ επομένως στην $f(f(x))={{(x-\alpha )}^{2}}+\alpha$ με όπου

το

${{x}_{0}}$ έχουμε ότι $f(f({{x}_{0}}))={{({{x}_{0}}-\alpha )}^{2}}+\alpha \Leftrightarrow {{x}_{0}}=x_{0}^{2}-2\alpha {{x}_{0}}+{{\alpha }^{2}}+\alpha \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_{0}^{2}-(2\alpha +1){{x}_{0}}+{{\alpha }^{2}}+\alpha =0$ (1) όμως η ${{x}^{2}}-(2\alpha +1)x+{{\alpha }^{2}}+\alpha =0$

έχει ρίζες το $\alpha ,\,\,\,\alpha +1$ άρα από (1) άτοπο, αφού ${{x}_{0}}\in (\alpha ,\,\,\,\alpha +1)$ άρα η

δεν είναι συνεχής.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Συνέχεια ...αρνήσεις !

Συνέχεια ...αρνήσεις !

Re: Συνέχεια ...αρνήσεις !

Μέλη σε σύνδεση