Συναρτησιακή

#1

Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ για τις οποίες f(xf(y))=f(x)f(y)

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}$

(Gazeta Matematica)

#2

s.kap έγραψε:Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ για τις οποίες

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}$

(Gazeta Matematica)

Η δοθείσα, για $\displaystyle{x=1}$ γίνεται

$\displaystyle{f(f(y))=f(1)f(y),}$ για κάθε $\displaystyle{y\in \mathbb{R}.}$

Η δοθείσα, για $\displaystyle{y=1}$ γίνεται

$\displaystyle{f(xf(1))=f(x)f(1),}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Η $\displaystyle{f}$ ως γνησίως μονότονη είναι $\displaystyle{1-1}$ , οπότε, από τις δύο προηγούμενες σχέσεις έχουμε

$\displaystyle{f(x)=f(1)x,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Δηλαδή $\displaystyle{f(x)=ax,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{a>0,}$ λόγω του γνήσιου της μονοτονίας

και εύκολα βλέπουμε ότι όλες αυτές ικανοποιούν την αρχική συνθήκη.

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση