Όριο αντίστροφης

Eukleidis · #1

Έστω $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f\left( x \right) = \tfrac{1}{x} - {x^3} + 1}$ .

α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .
β) Να αποδειχθεί οτι η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται και ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
γ) Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \tfrac{{{f^{ - 1}}\left( x \right) - x}}{{x + {f^{ - 1}}\left( x \right)}}}$ αν θεωρήσουμε ότι η αντίστροφη είναι συνεχής.

Ο προβληματισμός μου βρίσκεται στο τρίτο ερώτημα καθώς η λύση που δίνεται πίσω είναι -1. Αν έτεινε στο $\displaystyle{ + \infty }$ νομίζω θα ήταν καλά.

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μπήκαν τόνοι στον τίτλο για να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς μας.

dennys · #2

Bρίσκουμε την μονοτονία της συνάρτησης $f{'}(x)=-\cfrac{1}{x^2}-3x^2<0\Rightarrow f(x) \searrow (0,+\infty)$

$f(Df)=(\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to 0^{+}})=(-\infty,+\infty)$

για την $f^{-1}(x): (-\infty,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ ,και τα όρια πάνε "ανάποδα."

Eπειδή είναι φν.φθίνουσα θα είναι και "1-1", αρα αντιστρέφεται.

θεωρείται απαραίτητη η μονοτονία της $f^{-1}(x),$ η οποία είναι ίδια με της f(x),

$\lim_{x\to -\infty}\cfrac{f^{-1}(x)-x}{x+f^{-1}(x)}$ θέτω $x=-t\rightarrow +\infty\Rightarrow \lim_{-x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(-x)+x}{-x+f^{-1}(-x)}$

$lim_{t\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)-t}{t+f^{-1}(t)}=\lim_{t\to +\infty}\cfrac{t(\frac{f^{-1}(t)}{t}-1)}{t(1+\frac{f^{-1}(t)}{t})}=-1}$ γιατί το $lim_{x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)}{t}=0$

η μονοτονία της αντίστροφης βοηθάει στα οριά της.

φιλικά
dennys

sifis80 · #3

Νομίζω κάτι δεν κολάει με την αντικατάσταση που έγινε στα όρια.

chris · #4

Καταρχάς το 2ο ερώτημα καλύτερα να ήταν 1ο.Τώρα στο 3ο γιατί να τα μπλέξουμε τόσο τα πράγματα; Κάνουμε την κλασσική κίνηση θέτοντας x=f(t)

οπότε:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{f^{-1}(x)-x}{x+f^{-1}(x)}\stackrel{x=f(t)}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{t-f(t)}{f(t)+t}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{1-\frac{f(t)}{t}}{\frac{f(t)}{t}+1}\stackrel{+\infty/-\infty,u(t)=\frac{f(t)}{t}}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{-u'(t)}{u'(t)}=-1$

parmenides51 · #5

Το όριο $lim_{x\to +\infty}\cfrac{f^{-1}(t)}{t}=0$ στην λύση του dennys δεν είναι προφανές.

Η συνέχεια της αντίστροφης είναι περιττό δεδομένο.

dennys · #6

Kαλησπέρα στην υπέροχη παρέα

Θα ήθελα να τονίσω ότι είναι γνωστά τα όρια $\cfrac{0}{\pm\infty}=0$ και $\cfrac{\pm\infty}{0^{\pm}}=\pm\infty$

εκτός αν ο Παρμενιδης εννοεί κάτι άλλο.Αν θέλει του στέλνω την απόδειξη αν και δεν νομιζω ότι είναι εκει το θέμα

κατα την ταπεινή μου γνώμη η συνέχεια είναι απαραίτητη της αντίστροφης , γι αυτό δίνεται σε όλη την βιβλιογραφία

καλο βράδυ

parmenides51 · #7

δεν είχα προσέξει στην αρχή το

dennys έγραψε: ... για την $f^{-1}(x): (-\infty,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ ,και τα όρια πάνε "ανάποδα." ...

παρανόηση μου

Όριο αντίστροφης

Όριο αντίστροφης

Re: Οριο αντιστροφης

Re: Όριο αντίστροφης

Re: Όριο αντίστροφης

Re: Οριο αντιστροφης

Re: Όριο αντίστροφης

Re: Όριο αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση